群體選擇結(jié)果的穩(wěn)定性分析及其度量方法

吳 凡，陳 陽(yáng)，趙 勇

（1.華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院系統(tǒng)工程研究所，湖北武漢430074；2.江蘇省郵電規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限責(zé)任公司，江蘇南京210000）

群體選擇結(jié)果的穩(wěn)定性分析及其度量方法

吳 凡1，2，陳 陽(yáng)1，趙 勇1

（1.華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院系統(tǒng)工程研究所，湖北武漢430074；2.江蘇省郵電規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限責(zé)任公司，江蘇南京210000）

群體選擇的結(jié)果往往受個(gè)體主觀因素的影響而具有一定的波動(dòng)性，需要借助某些分析工具來(lái)考察其穩(wěn)定或可靠程度。文中采用幾何學(xué)方法，針對(duì)一類(lèi)典型、常見(jiàn)的群體選擇方法——加權(quán)計(jì)分規(guī)則（weighted scoring rules，WSRs），提出了一種基于評(píng)分向量夾角正弦的穩(wěn)定性分析和度量方法，結(jié)合三候選方案情況闡述了該方法的合理性和相關(guān)概念的直觀幾何解釋?zhuān)o出了具體求解方法及其證明，并進(jìn)一步針對(duì)候選方案數(shù)不同時(shí)可能引起的穩(wěn)定度可比性問(wèn)題擴(kuò)展了相關(guān)問(wèn)題、概念和方法。本文提出的群體選擇結(jié)果的穩(wěn)定性度量方法具有較好的直觀性和可公度性，可作為多目標(biāo)群決策問(wèn)題中穩(wěn)定性或敏感性分析的一個(gè)有力工具。

群體選擇；向量夾角；穩(wěn)定度；擾動(dòng)評(píng)分向量

0 引 言

穩(wěn)定性分析的目的是獲知某些關(guān)鍵參數(shù)發(fā)生改變的情況下決策結(jié)果的可靠程度，是多人多目標(biāo)決策分析的一個(gè)重要環(huán)節(jié)或經(jīng)典問(wèn)題。在決策分析的研究領(lǐng)域，專(zhuān)家學(xué)者大多致力于探討多目標(biāo)決策的穩(wěn)定性問(wèn)題。例如，文獻(xiàn)［1- 2］分別針對(duì)可加性多屬性決策問(wèn)題和貝葉斯環(huán)境下的多目標(biāo)決策問(wèn)題，提出了基于L2距離測(cè)度的穩(wěn)定度概念，旨在利用屬性或權(quán)重之間的最短距離（或差）對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行度量；文獻(xiàn)［3］將穩(wěn)定性概念引入到?jīng)Q策過(guò)程中的概率誤差估計(jì)環(huán)節(jié)，將L2距離測(cè)度擴(kuò)展為任意范數(shù)，提出了基于線性規(guī)劃模型求解的LP距離穩(wěn)定度；文獻(xiàn)［4］針對(duì)區(qū)間數(shù)多屬性決策中基于“期望方差”的排序法，采用L2距離測(cè)度給出了兩個(gè)方案之間排序位置顛倒時(shí)某一指標(biāo)的權(quán)重最小變化量計(jì)算方法；文獻(xiàn)［5］針對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的綜合評(píng)估建模問(wèn)題，進(jìn)一步提出了權(quán)向量到無(wú)差異邊界的最短距離和最長(zhǎng)距離綜合考慮的穩(wěn)定度概念。由于群體選擇比多目標(biāo)決策要復(fù)雜得多，到目前為止關(guān)于其穩(wěn)定性問(wèn)題的研究并不多見(jiàn)。文獻(xiàn)［6］以質(zhì)量置信區(qū)間為依據(jù)，通過(guò)判斷群體選擇結(jié)果是否落在置信區(qū)間內(nèi)來(lái)確定層次分析法中準(zhǔn)則權(quán)重的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)［7- 8］針對(duì)加權(quán)計(jì)分規(guī)則（weighted scoring rules，WSRs），借助基于距離的權(quán)重穩(wěn)定度概念，研究了WSRs中Condorcet效率以及偏好斷面逼近單峰偏好的問(wèn)題；文獻(xiàn)［9］針對(duì)基于OWA算子的群體選擇方法，考慮在保持任意兩個(gè)方案優(yōu)劣關(guān)系不變的條件下，給出了在保持群意見(jiàn)穩(wěn)定的條件下專(zhuān)家評(píng)價(jià)信息允許變化范圍的計(jì)算方法；文獻(xiàn)［10］研究了內(nèi)生政策下委員會(huì)決策的穩(wěn)定性問(wèn)題，并結(jié)合單核概念給出了多數(shù)票規(guī)則下穩(wěn)定策略存在的充要條件。從文獻(xiàn)來(lái)看，現(xiàn)有的這些多目標(biāo)決策和群體選擇的穩(wěn)定性研究大多建立在狹義或廣義距離測(cè)度的基礎(chǔ)上，而文獻(xiàn)［11］從幾何角度指出了這類(lèi)穩(wěn)定度概念的局限性，即數(shù)據(jù)的歸一化或標(biāo)準(zhǔn)化使得不同維度下基于距離測(cè)度的穩(wěn)定度的直觀性和可比性不強(qiáng)。本文嘗試探討基于非距離測(cè)度的穩(wěn)定性度量方法［12］。

投票幾何學(xué)［13］是Saari提出的一種借助幾何分析工具來(lái)解釋和表達(dá)諸如投票一類(lèi)社會(huì)選擇問(wèn)題的理論，并從幾何解釋和建模出發(fā)系統(tǒng)地研究了三候選方案下WSRs、Condorcet等群體選擇方法的投票規(guī)則、策略、悖論和選擇結(jié)果的概率估計(jì)等問(wèn)題。考慮到大部分群體選擇方法都可以歸結(jié)為WSRs范疇，本文結(jié)合最優(yōu)化理論［14］與投票幾何學(xué)方法，主要針對(duì)WSRs提出和探討了一類(lèi)基于評(píng)分向量間夾角正弦的穩(wěn)定性度量方法及相關(guān)算法。

1 問(wèn)題描述

設(shè)群體選擇問(wèn)題由m（m≥2）個(gè)投票人和n（n≥2）個(gè)候選方案構(gòu)成，并記Vm＝｛v1，v2，…，vm｝為投票人集合或群，Cn＝｛c1，c2，…，cn｝為候選方案集合，其中vi和cj分別表示第i個(gè)投票人和第j個(gè)候選方案。

本文討論的群體選擇規(guī)則WSRs是一類(lèi)規(guī)則的總稱(chēng)，以權(quán)值向量的不同區(qū)分具體規(guī)則或選擇函數(shù)。具體講，權(quán)值向量W＝（w1，w2，…，wn）T定義了某個(gè)具體的加權(quán)計(jì)分規(guī)則（weight scoring rule，WSR），其中w1≥w2≥…≥wn≥0且w1＞wn。若投票人vi的選擇中將方案cj排在第k位，那么權(quán)向量W中第k個(gè)分量wk就是vi對(duì)cj的評(píng)價(jià)值。WSRs要求群中個(gè)體或投票人對(duì)Cn中的所有候選方案均能給出完全序。

進(jìn)一步地，所有投票人對(duì)方案cj的評(píng)價(jià)值之和sj稱(chēng)為方案cj的總評(píng)分，而稱(chēng)S＝（s1，s2，…，sn）T∈為群Vm的總評(píng)分向量，并記其在n維空間中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為S，其中是一個(gè)n維向量的集合，表示在給定群Vm、候選方案集Cn和具體WSR選擇規(guī)則的情況下S的取值范圍。這里，可以具體表示為

式中，N表示自然數(shù)集；W是由WSR確定的權(quán)向量。

其中，aij表示將方案ci排在第j位的投票人數(shù)。

式中，?和?分別表示“優(yōu)于”和“不劣于”關(guān)系。下面，以候

－選方案數(shù)n＝3的情況為例對(duì)做進(jìn)一步說(shuō)明和解釋。記候選方案集合C3＝｛c1，c2，c3｝，權(quán)值向量W＝（w1，w2，w3）T≥0，那么在群Vm中存在6種可能的個(gè)體選擇排序，如表1所示。其中，mi∈N（i＝1，2，…，6），且

表1 三候選方案情況下群Vm的一個(gè)投票斷面

由表1可知，方案c1、c2和c3的總評(píng)分分別如下：

于是

顯然A中各元素均為非負(fù)整數(shù)，每行每列元素之和都等于m。

定義1 給定WSR的權(quán)值向量W＝（w1，w2，…，wn）T和候選方案集Cn＝｛c1，c2，…，cn｝。對(duì)于n維向量F＝（f1，f2，…，fn）T，如果?λ＞0且?m∈N＋，其中N＋表示正整數(shù)集，使得λF∈Ω，則稱(chēng)F為該WSR的一個(gè)可行評(píng)價(jià)結(jié)果，簡(jiǎn)稱(chēng)可行結(jié)果。

定義1的含義是，一個(gè)可行結(jié)果F就是基于WSR的某個(gè)群體選擇總評(píng)分向量的1／λ。因此，可行結(jié)果是對(duì)WSRs中評(píng)分向量的一種擴(kuò)展，即兩者的矢量方向是一致的。顯然，WSRs下的總評(píng)分向量一定是可行結(jié)果，反之不一定成立。下面，給出可行結(jié)果的一個(gè)重要性質(zhì)。

證畢

本文討論的群體選擇穩(wěn)定性問(wèn)題是指在保持群體選擇結(jié)果（即候選方案間排序關(guān)系）不變的條件下群Vm的總評(píng)分向量的允許變化范圍。范圍越大，則說(shuō)明結(jié)果越穩(wěn)定。具體地，給定WSR的權(quán)值向量W、候選方案集Cn和群Vm的總評(píng)分向量S0∈Ω，設(shè)另一個(gè)群Vk的總評(píng)分向量為S′∈Ω，如果群Vm＋k的總評(píng)分向量S＝S0＋S′∈Ω所代表的候選方案排序和S0所代表的候選方案排序完全相同，那么S′的允許取值范圍就體現(xiàn)了群Vm的選擇結(jié)果、即總評(píng)分向量S0的穩(wěn)定程度。為便于敘述，不妨稱(chēng)群Vk為擾動(dòng)群，而稱(chēng)S′為擾動(dòng)群Vk的擾動(dòng)評(píng)分向量。

2 基于評(píng)分向量夾角的穩(wěn)定性度量方法

2.1 基于角度的穩(wěn)定性度量

先對(duì)群的總評(píng)分向量S的取值范圍進(jìn)行劃分。

定義2 給定WSR的權(quán)值向量W、候選方案集Cn＝｛c1，c2，…，cn｝、群Vm及其總評(píng)分向量S＝（s1，s2，…，sn）T∈Ω，以及i，j∈｛1，2，…，n｝且i≠j，那么集合Ω可以劃分為

或

其中

當(dāng)群Vm的總評(píng)分向量S0∈Ω（i～j）時(shí)，如果擾動(dòng)評(píng)分向量S′中關(guān)于ci和cj的評(píng)分值s′i≠s′j，則必然有S＝S0＋S′和S0所代表的候選方案排序不同——這是S0穩(wěn)定性最差的一種極端情況。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題、并不失一般性，本文后續(xù)部分將只討論S0∈Ω（i?j）的情況。

通常，距離測(cè)度會(huì)受原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化或預(yù)處理的影響而導(dǎo)致相關(guān)度量不具有不變性和可公度性。而基于角度的測(cè)度可不受數(shù)據(jù)變換的影響，具有不變性、直觀性和一定的可公度性［11］。定義3給出了一種基于角度的穩(wěn)定度概念。

上述定義中，S′＝S－S0可視為擾動(dòng)評(píng)分向量。由于穩(wěn)定角和穩(wěn)定度的定義與S′無(wú)關(guān)，因此定義3中采用變量α，而不用常量m＋k。這表明S是一個(gè)變量，不可以事先規(guī)定它所在的超平面或擾動(dòng)群的規(guī)模k，這樣做可以使上述定義更具一般性。另外，由于向量S0和S的各分量均不小于0，表明S0和S均在第一象限，因此可以規(guī)定θij∈［0°，90°］和σij∈［0，1］。圖1是兩候選方案情況下穩(wěn)定角的一個(gè)示意圖。

圖1 兩候選方案情況下穩(wěn)定角示意圖

圖1中，二維空間的兩個(gè)坐標(biāo)軸分別表示方案c1和c2的評(píng)分值s1和s2，線段X0Y0和XY分別為總評(píng)分點(diǎn)S0和S所在超平面（二維空間中即為線段），M0和M分別表示線段X0Y0和XY的中點(diǎn)。根據(jù)定義2可知，?X0Y0（1?－2）?X0M0（2?－1）?Y0M0且（1?2）?X0M0＼M0，線段XY的劃分類(lèi)似于X0Y0，只是線段上點(diǎn)的坐標(biāo)不同而已。因?yàn)镾0∈X0M0＼M0，S∈YM，所以根據(jù)定義3，S0關(guān)于（2－?1）的穩(wěn)定角θ12＝〈S0，M〉，其中M∈（1～2）。

定義3只是一個(gè)局部穩(wěn)定度的概念。下面，進(jìn)一步定義“全局穩(wěn)定度”。

定義4 給定WSR的權(quán)值向量W、候選方案集Cn、群Vm及其總評(píng)分向量S0∈Ω（ρ1?ρ2?…?ρn），其中ρl∈｛1，2，…，n｝（l＝1，2，…，n）表示群體選擇結(jié)果中排在第l位的候選方案，且i≠j時(shí)ρi≠ρj，Ω（ρ1?ρ2?…?ρn）表示滿足cρ1?cρ2?…?cρn的總評(píng)分向量集合，則稱(chēng)θ＝mini，j∈｛1，2，…，n｝andi＜jθρiρj為S0的全局穩(wěn)定角，而稱(chēng)σ＝sinθ為S0的全局穩(wěn)定度。

為了便于理解定義4，以S0∈Ω（1?2?…?n）為例說(shuō)明。此時(shí)，ρl＝l（l＝1，2，…，n），全局穩(wěn)定度可以表示為σ＝mini，j∈｛1，2，…，n｝andi＜jsinθij。綜合定義3和定義4可知，θ越大，則σ越大，即群體選擇結(jié)果保持不變的前提下S0的可擾動(dòng)范圍越大，意味著群體選擇結(jié)果越穩(wěn)定。命題1給出了穩(wěn)定度σij的計(jì)算方法。

命題1 設(shè)ci，cj∈Cn且ci≠cj，S0∈Ω（i?j），則S0關(guān)于Ω（j?i）的穩(wěn)定度un）T為規(guī)劃Prog1的解。

證明由定義3可知，S0∈Ω（i?j）關(guān)于Ω（j?－i）的穩(wěn)定度中的S滿足規(guī)劃

式中，S0·表示向量S0和的內(nèi)積。，因此有

易證sin〈S0，S〉＝sin〈S0，φS〉＝sin〈S0／φ，S〉，式中，φ＞0和φ＞0。令U＝φT，于是，min｜S0－U｜＝min｜S0－φT｜＝UTminφ｜S0／φ－T｜?min｜S0／φ－T｜?min sin〈S0／φ，S〉?TTSmin sin〈S0，S〉，這表明Prog1和Prog1′的目標(biāo)是等價(jià)的。S

由于向量S0和S的各分量均不小于0，或者說(shuō)，它們均位于第一象限，因此｜（1－λ）S｜＜｜λS0＋（1－λ）S｜，于是sin〈S0，S1〉＜sin〈S0，S〉。由此可知sj＞si時(shí)sin〈S0，S〉不可能達(dá)到最小值，因此sin〈S0，S〉取最小值時(shí)必有si＝sj，對(duì)應(yīng)于Prog1則有ui＝uj。

因此，Prog1和Prog1′的約束條件等價(jià)。

綜合上述分析，Prog1和Prog1′的目標(biāo)和約束條件均等價(jià)，即命題得證。 證畢

不難發(fā)現(xiàn)，上述命題1及其分析中尚存在一些不足，即命題1的成立還需要保證Prog1的解U是WSR的一個(gè)可行結(jié)果，即U和中某個(gè)向量的方向必須相同。由Prog1可以判斷出，U就是S0到（超）平面的一個(gè)垂足，下面證明該垂足是WSR的一個(gè)可行結(jié)果，并求出它的具體值。

命題2 給定WSR的權(quán)值向量W，規(guī)劃Prog1的解U是WSR的一個(gè)可行結(jié)果。

證明顯然，Prog1是一個(gè)凸規(guī)劃。對(duì)于規(guī)劃Prog1中的各約束條件分別引入廣義拉格朗日乘子λ1，λ2以及γ1，γ2，…，γn，并設(shè)U＝（u1，u2，…，un）T是一個(gè)滿足下述K－T條件的點(diǎn)［14］：

求解上述方程組可得到規(guī)劃Prog1的解U，式中

證畢

由命題2的證明過(guò)程可以得到推論1。

推論1 規(guī)劃Prog1的解U＝（u1，u2，…，un）T中，uk＝

2.2 與基于距離測(cè)度的穩(wěn)定性度量的比較

Saltelli A從幾何角度指出了基于距離測(cè)度的穩(wěn)定性度量的局限性，即數(shù)據(jù)的歸一化或標(biāo)準(zhǔn)化使得不同維度下基于距離測(cè)度的穩(wěn)定度的直觀性和可比性不強(qiáng)。本節(jié)從群體選擇這一特定類(lèi)型的問(wèn)題出發(fā)，對(duì)比分析兩種穩(wěn)定性度量的合理性及各自的適用范圍。

（1）當(dāng)k和W均為常量時(shí)，S0的穩(wěn)定度可以采用基于角度或距離測(cè)度的度量。此時(shí)，S0離Ω（i～j）的距離越遠(yuǎn)，S0與對(duì)應(yīng)的U之間形成的角度越大，意味著S0對(duì)應(yīng)的群體選擇結(jié)果越難以改變，即S0越穩(wěn)定。值得一提的是，當(dāng)k＝0時(shí)，S0的穩(wěn)定度仍然可以采用兩種度量方法中的任一種，然而這并非本文討論的模型范疇，故不予詳述。

（3）當(dāng)W為常量，而k為變量時(shí)，基于距離測(cè)度的度量方法可能出現(xiàn)無(wú)法公度和比較的現(xiàn)象，此時(shí)基于角度的度量方法可以克服這一缺陷。這種情況下基于距離測(cè)度的度量方法的缺陷是群體選擇問(wèn)題所特有的。

圖2 基于距離的穩(wěn)定性度量的缺陷

3 基于三候選方案的幾何解釋與分析

本節(jié)對(duì)n＝3情況下群體選擇穩(wěn)定性的概念做更直觀、更一般的幾何解釋與說(shuō)明。n＝3情況下的幾何作圖類(lèi)似于n＝2的情況，即將3個(gè)候選方案c1、c2和c3的得分值s1、s2和s3分別定義為三維空間中的3個(gè)坐標(biāo)。由式（1）可知，群的總評(píng)分向量必然位于某個(gè)超平面上，具體情況如圖3所示。

圖3 三候選方案情況下S0的穩(wěn)定角示意圖

圖3中，ΔX0Y0Z0表示群Vm的總評(píng)分點(diǎn)S0所在的超平面（在三維空間中即為平面）區(qū)域，其3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為X0，0，0），Y0（0，Q，0）和Z0（0，0，Q），邊界Y0Z0、X0Z0和X0Y0上的點(diǎn)表示3個(gè)方案c1、c2和c3的得分值分別為0的總評(píng)分點(diǎn)，而ΔX0Y0Z0的中心點(diǎn)M0則對(duì)應(yīng)于方案c1、c2和c3的得分值相等的總評(píng)分點(diǎn)。另外，I0、J0和K0分別為邊界Y0Z0、X0Z0和X0Y0上的中點(diǎn)，于是由定義2可知?ΔX0Y0Z0（1?2）?ΔK0X0Z0（1～2）?K0Z0－和（1?2）?ΔK0X0Z0＼K0Z0，其中ΔK0X0Z0＼K0Z0表示ΔK0X0Z0去掉邊界K0Z0后的區(qū)域。具體地，位于ΔX0Y0Z0各區(qū)域內(nèi)的總評(píng)分點(diǎn)S0與對(duì)應(yīng)的方案優(yōu)先關(guān)系如表2所示。

表2 各方案優(yōu)先關(guān)系對(duì)應(yīng)的S0所在區(qū)域

圖3中，S0∈ΔK0X0Z0＼K0Z0，ΔX0Y0Z0⊥ΔOK0Z0，且S0U⊥K0Z0，U為S0在直線K0Z0上的垂足。因此由命題1和命題2知，穩(wěn)定角θ12＝〈S0，U〉。顯然，當(dāng)S0處于ΔX0Y0Z0的中線I0X0，J0Y0或K0Z0上，即S0∈（1～2）∪（1～3）∪（2～3）時(shí)，S0的穩(wěn)定度最小。例如S0∈（1～2），此時(shí)只要給出的任一個(gè)擾動(dòng)評(píng)分向量S′?（1～2），群Vm選擇結(jié)果必然發(fā)生改變。

下面，命題3給出了三候選方案情況下群體選擇結(jié)果的全局最大穩(wěn)定度及對(duì)應(yīng)的總評(píng)分向量的特征。

命題3 設(shè)A1∈X0J0為圖3中ΔX0Y0Z0邊X0Z0上的一個(gè)三等分點(diǎn)，S0為ΔX0J0M0內(nèi)任意一點(diǎn)，且它們的全局穩(wěn)定度分別為σA1和σS0，則有σA1≥σS0。

圖4 三候選方案情況下具有最大穩(wěn)定度的總評(píng)分向量A1

證明由于ΔX0Y0Z0是等邊三角形，線段X0A1＝X0Z0，因此根據(jù)圖中的幾何關(guān)系可知，A1M0是∠X0M0J0的角平分線，且可證明A1到邊I0X0和邊J0Y0的距離相等，并小于A1到邊K0Z0的距離。

另外，當(dāng)S0∈ΔA1M0J0時(shí)，S0的全局穩(wěn)定度σS0＝sin〈S0，U〉，其中U為S0在直線Y0J0上的垂足。連接并延長(zhǎng)M0S0與X0Z0相交于S1，在四面體OM0J0S1中顯然有∠J0OS1＞∠UOS0。而∠J0OA1＞∠J0OS1，因此∠J0OA1＞∠UOS0，即sin〈A1，J0〉＞sin〈S0，U〉，只有當(dāng)S0與A1重合時(shí)sin〈A1，J0〉＝sin〈S0，U〉。綜上分析，當(dāng)S0∈ΔA1M0J0時(shí)，σA1≥σS0。

當(dāng)S0∈ΔA1M0X0時(shí)，利用σ23同樣可以證明σA1≥σS0。因此，在ΔX0J0M0中A1的穩(wěn)定度最大，即σA1≥σS0。證畢

根據(jù)命題3的證明過(guò)程及對(duì)稱(chēng)性易知，ΔX0Y0Z0邊上的其他三等分點(diǎn)Ai（i＝2，3…，6）對(duì)應(yīng)的總評(píng)分向量的全局穩(wěn)定度同A1相等，都是最大的。

4 相對(duì)穩(wěn)定度

雖然全局穩(wěn)定度σ體現(xiàn)了群體選擇結(jié)果S0發(fā)生改變的難易程度，且具有一定的不變性和可公度性，但是在某些情況下，決策者直覺(jué)上可能仍然難以把握。例如，給定候選方案集Cn、群V30和Borda選擇規(guī)則（即W＝（n－1，n－2，…，0）T），考慮兩種情況：①n＝2，候選方案集合C2＝｛c1，c2｝，群的總評(píng)分向量S′0＝（20，10）T；②n＝3，C3＝｛c1，c2，c3｝，S″0＝（60，30，0）T。根據(jù)命題1和命題2，計(jì)算可得S′0和S″0的全局穩(wěn)定度均為／10。由第4節(jié)的幾何分析可知，10是n＝3情況下能達(dá)到的最大全局穩(wěn)定度；而n＝2的情況卻并非如此，借助圖1可知其最大全局穩(wěn)定度能夠達(dá)到／2（當(dāng)S0＝（30，0）T或（0，30）T時(shí)）。因此，／10并不能完全表明n＝2和n＝3兩種情形下群體選擇結(jié)果的全局穩(wěn)定性的比較情況。由此例可見(jiàn)，相同的全局穩(wěn)定度在不同方案數(shù)情況下群體選擇結(jié)果發(fā)生改變的難易程度不完全相同，因此我們還需要考慮不同方案數(shù)情況下穩(wěn)定度的可比性。

請(qǐng)注意：定義5中向量T可能不是WSR的可行結(jié)果或總評(píng)分向量，因此最大穩(wěn)定度σn－max只是一個(gè)理論上具有參考價(jià)值的穩(wěn)定度，或者說(shuō)是一個(gè)理想的參考穩(wěn)定度。但是，T的全局穩(wěn)定度計(jì)算方法類(lèi)似于S0∈，區(qū)別在于T不受屬于的限制。顯然，計(jì)算相對(duì)穩(wěn)定度σr的關(guān)鍵在于σn－max的獲取。下面的引理給出了σn－max對(duì)應(yīng)的向量T的一個(gè)必要性質(zhì)。

引理2 給定WSR的權(quán)值向量W、候選方案集Cn、群Vm及其總評(píng)分向量S0＝（s01，s02，…，s0n）T∈（1?2?…?n）。若S0的全局穩(wěn)定度σ＝σij，其中為S0關(guān)于i）的穩(wěn)定度，U＝（u1，u2，…，un）T，那么ui＝uj且j－i＝1。

顯然，這與S0的全局穩(wěn)定度σ＝σij矛盾。因此j－i＝1。

證畢

如果將引理2中的S0∈（1?2?…?n）改為定義5中的T，則相關(guān)結(jié)論仍然成立。根據(jù)引理2，可以推導(dǎo)出σn－max及其對(duì)應(yīng)的向量。

根據(jù)Tmax進(jìn)一步計(jì)算可以得到最大穩(wěn)定度的表達(dá)式為

證畢

表3 Borda規(guī)則下最大穩(wěn)定度及對(duì)應(yīng)的總評(píng)分向量

5 案例分析

某軟件開(kāi)發(fā)公司主營(yíng)財(cái)務(wù)分析類(lèi)和產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)類(lèi)軟件。為拓展公司的業(yè)務(wù)，由研發(fā)團(tuán)隊(duì)制定了4項(xiàng)未來(lái)的開(kāi)發(fā)項(xiàng)目：

（1）c1某大型超市的供應(yīng)鏈管理信息系統(tǒng)；

（2）c2某事業(yè)單位的協(xié)同辦公管理系統(tǒng)；

（3）c3某電子商務(wù)網(wǎng)站的個(gè)性化推薦系統(tǒng)；

（4）c4某汽車(chē)制造企業(yè)的產(chǎn)品創(chuàng)新設(shè)計(jì)系統(tǒng)。

由于公司的人員和財(cái)力所限，當(dāng)前只能從候選方案集C4＝｛c1，c2，c3，c4｝中挑選出一個(gè)進(jìn)行實(shí)施。公司評(píng)估新項(xiàng)目開(kāi)發(fā)的指標(biāo)體系如表4所示。

表4 新項(xiàng)目開(kāi)發(fā)評(píng)估指標(biāo)

公司召開(kāi)董事會(huì)會(huì)議進(jìn)行投票表決，群體選擇規(guī)則選用Borda規(guī)則。公司董事會(huì)由7名成員組成，即V7＝｛v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7｝，其中｛v1，v2，v3，v4，v5｝是執(zhí)行董事（常務(wù)董事），｛v6，v7｝是非執(zhí)行董事（外聘專(zhuān)家）。各董事由于考慮問(wèn)題側(cè)重點(diǎn)的差異，給表4中評(píng)估指標(biāo)賦予的主觀權(quán)重有所不同。投票表決之前，董事長(zhǎng)對(duì)C4＝｛c1，c2，c3，c4｝中的每個(gè)候選方案進(jìn)行了介紹。各董事經(jīng)過(guò)思考，對(duì)C4中的所有候選方案給出了一個(gè)完全序，如表5所示。

表5 董事會(huì)的投票斷面

根據(jù)Borda規(guī)則對(duì)表5中的投票斷面進(jìn)行匯總，得到總評(píng)分向量S0＝（9，2，16，15）T。投票結(jié)果表明，c3?c4?c1?c2，候選方案c3獲勝。

表6 董事會(huì)擴(kuò)大會(huì)議的投票斷面

采用Borda規(guī)則對(duì)表6中的投票斷面進(jìn)行匯總，得到總評(píng)分向量S′0＝（s3，s4）T＝（15，18）T。投票結(jié)果表明，c4?c3，候選方案c4獲勝，投票結(jié)果與董事會(huì)會(huì)議相比發(fā)生了改變。

S′0關(guān)于（3?4）的穩(wěn)定度σ′43≈0.090 5，對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定

－角為arcsin0.149 8≈5.194 4°。表3中，σ2－max≈0.707 1，由此可以算得相對(duì)穩(wěn)定度≈0.128 0。結(jié)果表明，σ34＜σ′43，但＞。因此考慮到選擇的穩(wěn)定性，方案c3和c4的優(yōu)先順序仍然難以區(qū)分，可以認(rèn)為它們是無(wú)差異的，任選一項(xiàng)即可。

6 結(jié) 論

考慮到基于距離測(cè)度的穩(wěn)定度的缺陷，本文針對(duì)一類(lèi)典型的群體選擇方法——WSRs提出了一種基于評(píng)分向量間夾角正弦的穩(wěn)定性度量方法，并探討了具體求解方法及其擴(kuò)展問(wèn)題。本文給出的穩(wěn)定角和穩(wěn)定度的概念僅與具體的評(píng)分向量有關(guān)，而與采用的WSRs規(guī)則、投票人數(shù)和候選方案數(shù)均無(wú)關(guān)，因此具有較好的適用性、直觀性和可公度性。為了克服不同候選方案數(shù)引起的穩(wěn)定角或穩(wěn)定度的不可比性，通過(guò)引入最大穩(wěn)定度作為理論上的參考值，進(jìn)一步提出了相對(duì)穩(wěn)定角和相對(duì)穩(wěn)定度的概念，以方便決策者對(duì)群體選擇結(jié)果的穩(wěn)定或可靠程度有更準(zhǔn)確的把握。本文探討的群體選擇結(jié)果的穩(wěn)定性度量方法可以用于社會(huì)選擇領(lǐng)域與穩(wěn)定性分析相關(guān)的諸多理論問(wèn)題的研究。

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Analysis and measurement methods of the stability of group decision making

WU Fan1，2，CHEN Yang1，ZHAO Yong1
（1.Institute of Systems Engineering，School of Automation，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China；2.Jiangsu Posts&Telecommunications Planning and Designing Institute Limited Liability Company，Nanjing 210000，China）

The result of group selection is always unstable with the influence of some individual subjective factors.Thus，it is necessary to analyze the stability or reliability of the decision result by some tools.A geometric measurement method of the stability of weighted scoring rules（WSRs）which are representative group selection rules is proposed based on the inclined angle of two score vectors.Rationality and geometric interpretation of this method are elaborated in the situation that the number of candidates is three，then the computing method of the stability degree and its proof are proposed.Considering the comparability problem of stability degrees with different numbers of candidates，extended concepts and solutions of the stability degree are also discussed.The proposed stability measurement method is well visualized and commensurable.It can be an effective tool of sensitivity or stability analysis in multi-objective group decision making problems.

group selection；inclined angle of vectors；stability degree；disturbance vector of scores

C 934

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.12.20

吳 凡（1988- ），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)槿簺Q策理論。

E-mail：dragonwufan＠126.com

陳 陽(yáng)（1977- ），男，講師，博士，主要研究方向?yàn)闆Q策理論、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析。

E-mail：chenyang＠m(xù)ail.hust.edu.cn

趙 勇（1967- ），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)闆Q策理論、大型工程項(xiàng)目管理、系統(tǒng)分析與集成。

E-mail：zhiwei98530＠sohu.com

1001-506X（2015）12-2791-08

2015- 01- 10；

2015- 04- 27；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015- 08- 31。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：∥www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150831.1753.008.html

國(guó)家自然科學(xué)基金（61273206）資助課題