基于雜波數(shù)據(jù)Frobenius范數(shù)擬合的陣元誤差估計方法

姜 磊，王 彤

（西安電子科技大學(xué)雷達信號處理國家重點實驗室，陜西西安710071）

基于雜波數(shù)據(jù)Frobenius范數(shù)擬合的陣元誤差估計方法

姜 磊，王 彤

（西安電子科技大學(xué)雷達信號處理國家重點實驗室，陜西西安710071）

機載雷達的陣元誤差會影響運動目標的參數(shù)估計與定位性能。為了解決這個問題，提出一種基于雜波數(shù)據(jù)Frobenius范數(shù)擬合的陣元誤差估計方法。該方法首先利用雜波譜分布結(jié)構(gòu)和雷達構(gòu)型參數(shù)計算雜波空時導(dǎo)向矢量矩陣，接著利用截斷的奇異值分解求解雜波幅度矢量并重構(gòu)雜波數(shù)據(jù)，最后將實際的數(shù)據(jù)矩陣與重構(gòu)的數(shù)據(jù)矩陣進行Frobenius范數(shù)擬合來估計陣元誤差。數(shù)值仿真實驗結(jié)果表明，該方法在低脈沖數(shù)目、低樣本數(shù)目的情況下均具有較好的參數(shù)估計精度與穩(wěn)健性。

機載雷達；陣元誤差估計；雜波數(shù)據(jù)重構(gòu)；截斷奇異值分解；范數(shù)擬合

0 引 言

機載雷達在下視工作時會受到地面雜波的影響。由于載機與地面的相對運動，雜波多普勒譜會出現(xiàn)展寬，給運動目標檢測帶來困難。空時自適應(yīng)處理［13］（space time adaptive processing，STAP）是一種聯(lián)合空域和時域的二維濾波技術(shù)，它可以有效抑制雜波，提高雷達對運動目標的檢測能力。

在理想情況下，STAP可以取得較好的性能，然而在實際的工程應(yīng)用中，機載雷達系統(tǒng)不可避免地存在著各種誤差。在目前的技術(shù)水平下，時間維的精度通常較高，其誤差一般可以忽略不計；空間維則不一樣，由于制造工藝的限制，各個接收陣元之間的幅相特性常常存在不一致性。當雷達系統(tǒng)中存在陣元誤差這種非理想因素時，基于STAP的運動目標參數(shù)估計與定位性能受到很大的影響［4-5］。因此，陣元誤差的估計或校正具有重要的實際意義。

陣元誤差的校正主要可以分為有源校正和自校正兩類。有源校正［6-7］是利用外部精確已知的輔助信源對陣元誤差進行離線校正的方法，該方法理論上可以取得較好效果，但對輔助信源有較高的性能要求，并且增加了系統(tǒng)的復(fù)雜度。本文關(guān)注于陣元誤差的自校正方法。自校正是將陣元誤差校正轉(zhuǎn)化為一個參數(shù)估計問題，即利用接收的回波數(shù)據(jù)對陣元誤差進行估計。對于機載動目標顯示雷達來說，其接收的回波主要為雜波分量，此時就可以利用雜波數(shù)據(jù)來估計陣元誤差。文獻［8］提出基于相鄰陣元干涉的方法，該方法以一個陣元作為參考，利用參考陣元與其他陣元接收回波間相位歷程的關(guān)系來估計陣元誤差。該方法運算量低，但是在雜噪比較低、駐留時間較短的情況下性能較差。文獻［9］提出基于主瓣雜波特征矢量的方法，該方法取主瓣雜波對應(yīng)的多普勒頻率的數(shù)據(jù)計算空域協(xié)方差矩陣，然后將空域協(xié)方差矩陣特征分解取最大特征值對應(yīng)的特征矢量作為實際的導(dǎo)向矢量。該方法在雷達多普勒分辨率較高時可以取得較好的效果，然而機載動目標顯示雷達為了實現(xiàn)對運動目標較高的重訪率，其在單個波位發(fā)射的脈沖數(shù)目較少，此時主瓣雜波特征矢量法性能下降。文獻［10］提出基于雜波子空間的方法，該方法利用雜波分布構(gòu)型參數(shù)與實際數(shù)據(jù)，分別構(gòu)造理論雜波正交補空間與實際雜波子空間，然后利用兩者的正交性估計陣元誤差。該方法在雷達相干積累時間較短的情況下，可以取得較好的效果，然而內(nèi)雜波運動、通道失配等因素會導(dǎo)致子空間泄漏［11］，此時子空間正交性下降，陣元誤差估計性能出現(xiàn)下降。

為了提高陣元誤差的估計精度與穩(wěn)健性，本文提出一種基于雜波數(shù)據(jù)Frobenius范數(shù)擬合的陣元誤差估計方法。該方法通過擬合實際接收的雜波數(shù)據(jù)與由雜波譜分布軌跡重構(gòu)得到的雜波數(shù)據(jù)來得到陣元誤差的估計。仿真實驗分析表明，本文方法在低樣本數(shù)目、低脈沖數(shù)目的情況下均能取得良好的參數(shù)估計精度與穩(wěn)健性。

1 信號模型

機載脈沖多普勒雷達幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示。載機速度為v，速度方向沿x軸正方向，載機高度為h。陣列為由N個陣元組成的等距線陣，陣元間距為d，陣列軸向沿x軸方向。雷達在一個相干處理間隔內(nèi)發(fā)射M個脈沖，脈沖重復(fù)頻率為fr，雷達工作波長為λ，地面雜波塊相對于雷達的方位角與俯仰角分別為φ與θ。雷達在接收時對每個陣元的回波數(shù)據(jù)進行采樣、錄取。

圖1 機載雷達平臺幾何結(jié)構(gòu)

按照圖1的平臺幾何結(jié)構(gòu)，地面雜波塊相對于雷達的歸一化多普勒頻率為

歸一化空間頻率

則雜波塊對應(yīng)的時域?qū)蚴噶颗c空域?qū)蚴噶靠梢员硎緸?/p>

對應(yīng)于單個距離環(huán)，各個陣元接收的雜波分量的信號形式為

式中，⊙表示Hadamard積；?表示Kronecker積；α為不同方位角對應(yīng)的雜波塊的接收電壓幅度；ts為陣元響應(yīng)矢量，具體形式為

式中，γi為陣元幅度誤差；βi為陣元相位誤差。將式（3）進行適當整理，可以得到

式中，v＝vt?vs為雜波空時導(dǎo)向矢量；t＝1?ts為錐削矢量，表示陣元對雜波信號的調(diào)制。

雷達在每個距離單元接收的空時快拍數(shù)據(jù)為

式中，xn表示高斯白噪聲分量。

2 算法原理

2.1 基于截斷的奇異值分解的雜波數(shù)據(jù)重構(gòu)

此時在角度多普勒域?qū)㈦s波離散化采樣后，重構(gòu)的雜波信號可以表示為

為了使實際的量測數(shù)據(jù)與重構(gòu)的雜波數(shù)據(jù)之間均方誤差最小，可以得到以下優(yōu)化問題：

式中，‖·‖F(xiàn)表示Frobenius范數(shù)；X＝［x1，…，xK］為量測的數(shù)據(jù)矩陣。

將式（9）展開，可以得到

式（10）可以等效為K個獨立的優(yōu)化問題，即

式中，‖·‖2表示2范數(shù)。

式（11）是一個線性欠定最小二乘問題，理論上可以采用正規(guī)方程或QR分解法求解。但由于空時導(dǎo)向矢量矩陣V是一個超完備矩陣，其列矢量之間存在相關(guān)性。在這種情況下，矩陣V的條件數(shù)cond（V）數(shù)值過大：

式中，cond（·）表示矩陣的條件數(shù)；σmax、σmin分別為V的最大與最小奇異值。

根據(jù)擾動分析理論［12］，最小二乘方法參數(shù)估計精度的界限為

由式（13）可以看出，當cond（V）數(shù)值過大時，線性系統(tǒng)式（11）的敏感程度較高，微小的噪聲擾動將導(dǎo)致估計值嚴重偏離實際值。

為了提高數(shù)值求解的穩(wěn)健性，本文采用截斷的奇異值分解（truncated singular value decomposition，TSVD）方法［1314］求解式（11）。此時，將導(dǎo)向矢量矩陣V展開，并且對其進行秩r截斷，可以得到

式中，ui、wi與σi分別對應(yīng)于V的左奇異矢量、右奇異矢量與奇異值。r為V的數(shù)值秩（或稱為有效秩），可以按照以下準則計算

式中，η為一個接近于1的常數(shù)。選取使式（15）成立的最小q值作為V的數(shù)值秩r。

根據(jù)式（14）可以計算得到秩r截斷后新的導(dǎo)向矢量矩陣的條件數(shù)為cond（Vr）＝σ1／σr，其遠小于原有的量測矩陣的條件數(shù)cond（V）＝σ1／σNM。因此，線性系統(tǒng)的穩(wěn)健性得到提高。

此時式（11）對應(yīng)的優(yōu)化問題需修正為

對應(yīng)的解為

2.2 基于Frobenius范數(shù)擬合的陣元誤差估計

由于雜波信號通過天線時會受到陣元誤差的影響，為了提高重構(gòu)的雜波信號的準確性，需對做相應(yīng)處理，以補償陣元誤差帶來的影響。由式（5）可知，陣元對雜波信號的調(diào)制表現(xiàn)為理想雜波信號點積上錐削矢量。按照這個模型，將重構(gòu)的雜波信號修正為

此時可以通過擬合實際的量測數(shù)據(jù)與補償后重構(gòu)的雜波數(shù)據(jù)來估計，對應(yīng)的目標函數(shù)為

根據(jù)分塊矩陣的加法性質(zhì)，式（19）可以展開表示為

式（20）可以等效表示為

式中，Yk＝diag（）。

根據(jù)Kronecker積的性質(zhì)可以得到

式中，IN為N×N維的單位陣。

將式（22）代入式（21）中，同時令P＝（1?IN），可以得到

根據(jù)矩陣Frobenius范數(shù)的性質(zhì)，可以得到

式中，vec（·）為矩陣矢量化算子，表示將矩陣按列重排為一個列矢量。

因此，式（23）可以等效表示為

式中，Zk＝Y(jié)kP。

根據(jù)分塊矩陣乘法性質(zhì)，式（25）做適當整理可以得到

此時可以看出，式（26）為一個無約束最小二乘問題，對應(yīng)的解為

本文所提出的基于雜波數(shù)據(jù)Frobenius范數(shù)擬合的陣元誤差估計方法的主要步驟如下所示：

步驟1利用式（1）、式（2）與式（7）計算雜波譜線對應(yīng)的基矩陣V；

步驟2利用式（8）、式（17）重構(gòu)雜波數(shù)據(jù)矩陣；

步驟3利用式（19）、式（27）估計陣元誤差。

3 仿真分析

本節(jié)通過計算機仿真實驗驗證本文方法的性能。仿真實驗參數(shù)設(shè)置為：雷達載頻為1 200 MHz；脈沖重復(fù)頻率為2 000 Hz；天線陣元數(shù)目為10，陣元間距為0.125 m；載機高度為5 km，速度為100 m／s；雜噪比為50 d B；陣元誤差中幅度誤差為5%，相位誤差為5°；計算數(shù)值秩時的門限設(shè)為0.99。仿真時考慮無去相關(guān)效應(yīng)和有去相關(guān)效應(yīng)（內(nèi)雜波運動、通道起伏等非理想因素導(dǎo)致）兩者情況，其中雜波去相關(guān)的形式參考文獻［11］所提出的數(shù)學(xué)模型。實驗中將本文提出的雜波數(shù)據(jù)Frobenius范數(shù)擬合法與文獻［8］提出的相鄰陣元干涉法，文獻［9］提出的主瓣雜波特征矢量法以及文獻［10］提出的雜波子空間正交法進行對比分析。文中以均方根誤差（root mean square error，RMSE）為準則衡量各方法性能，相應(yīng)的形式為

實驗1中設(shè)置脈沖數(shù)目為128，分析各方法性能和距離樣本數(shù)目的關(guān)系，所得結(jié)果如圖2、圖3所示。由圖2、圖3可以看出，在樣本數(shù)目較少的情況下，雜波子空間正交法與Frobenius范數(shù)擬合法優(yōu)于相鄰陣元干涉法與主瓣雜波特征矢量法。這是因為相鄰陣元干涉法與主瓣雜波特征矢量法在樣本數(shù)目較少的情況下受到噪聲起伏擾動的影響較大。由圖2、圖3還可以看出，當存在去相關(guān)效應(yīng)時，F(xiàn)robenius范數(shù)擬合法優(yōu)于雜波子空間正交法，這是因為去相關(guān)效應(yīng)會導(dǎo)致雜波子空間擴散，從而使得雜波子空間向噪聲子空間泄漏，兩者之間的正交性減弱，雜波子空間正交法性能下降，而Frobenius范數(shù)擬合法是一種基于范數(shù)擬合的參數(shù)化估計方法，其利用數(shù)據(jù)矩陣本身而不是對應(yīng)的子空間來估計陣元誤差，使得其對子空間泄漏問題具有穩(wěn)健性。

圖2 幅度誤差RMSE隨距離樣本數(shù)目變化曲線

圖3 相位誤差RMSE隨距離樣本數(shù)目變化曲線

實驗2中設(shè)置距離樣本數(shù)目為100，分析各算法性能和發(fā)射脈沖數(shù)目的關(guān)系，所得結(jié)果如圖4、圖5所示。由圖4、圖5可以看出，在脈沖數(shù)目較少的情況下，雜波子空間正交法與Frobenius范數(shù)擬合法優(yōu)于相鄰陣元干涉法與主瓣雜波特征矢量法。這是因為在脈沖數(shù)目較少的情況下，多普勒分辨率較低，天線主瓣對應(yīng)的多普勒帶寬較大。此時，相鄰陣元干涉法和主瓣雜波特征矢量法假設(shè)的主瓣雜波近似于單頻信號的模型不再成立，而Frobenius范數(shù)擬合法是一種基于原始空時數(shù)據(jù)擬合的方法，與多普勒分辨率的好壞無關(guān)，只要雜波譜線準確，就可以獲得良好的參數(shù)估計精度。

圖4 幅度誤差RMSE隨脈沖數(shù)目變化曲線

圖5 相位誤差RMSE隨脈沖數(shù)目變化曲線

實驗3中設(shè)置脈沖數(shù)目為32，距離樣本數(shù)目為20，分析本文方法性能與計算數(shù)值秩時的門限η的關(guān)系，所得結(jié)果如圖6所示。由圖6可以看出，當η在0.99～0.998之間變化時，算法性能變化不大。這是因為空時導(dǎo)向矢量矩陣V奇異值分解后得到的奇異值分為主奇異值與次奇異值兩部分。次奇異值是導(dǎo)致線性系統(tǒng)數(shù)值求解不穩(wěn)健的因素，而次奇異值的數(shù)值極小，其占總的奇異值能量的比重較小。η設(shè)為0.99或者0.998計算得到的數(shù)值秩r變化不大，因此參數(shù)估計性能也相對保持平穩(wěn)。需要指出的是，η取值不宜過于接近于1，因為此時計算得到的r接近于NM，TSVD方法退化為傳統(tǒng)的正規(guī)方程法。

圖6 陣元誤差RMSE隨數(shù)值秩門限變化曲線

實驗4中設(shè)置脈沖數(shù)目為64，距離樣本數(shù)目為60，分析系統(tǒng)參數(shù)存在誤差時本文方法的性能。Frobenius范數(shù)擬合法在計算雜波分布曲線時需要利用系統(tǒng)構(gòu)型參數(shù)，其可以通過慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（inertial navigation system，INS）獲得。實際中由于INS的精度問題，雷達獲取的參數(shù)與實際的參數(shù)之間存在偏差，因此需要研究系統(tǒng)參數(shù)誤差對本文方法的影響。實驗所得結(jié)果如圖7所示。由圖7可以看出，當存在系統(tǒng)參數(shù)誤差時，相鄰陣元干涉法、主瓣雜波特征矢量法、雜波子空間正交法以及Frobenius范數(shù)擬合法性能均出現(xiàn)下降。對于相鄰陣元干涉法與主瓣雜波特征矢量法，這是由于雜波多普勒中心計算不準確；對于雜波子空間正交法與Frobenius范數(shù)擬合法，這是由于雜波分布曲線位置不準確。因此，本文所提出的Frobenius范數(shù)擬合法在實施時，對系統(tǒng)構(gòu)型參數(shù)的精確性有較高要求。

圖7 陣元誤差RMSE隨慣導(dǎo)精度變化曲線

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于雜波數(shù)據(jù)Frobenius范數(shù)擬合的陣元誤差估計方法，其基本思想是通過擬合由雜波分布譜線重構(gòu)的數(shù)據(jù)和實際的接收數(shù)據(jù)來估計陣元誤差。仿真實驗結(jié)果表明，該方法在低樣本數(shù)目、低脈沖數(shù)目的情況下均能有較好的參數(shù)估計性能。此外，當存在去相關(guān)效應(yīng)時，該方法仍然具有較好的參數(shù)估計精度，說明其具有較好的穩(wěn)健性。需要指出的是，本文方法能取得良好性能的重要前提條件是雜波分布曲線準確已知，這就要求系統(tǒng)的構(gòu)型參數(shù)足夠精確。若系統(tǒng)參數(shù)不準，將造成本文方法性能下降。一種不依賴于系統(tǒng)參數(shù)的全自適應(yīng)的范數(shù)擬合方法值得進一步研究。

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Array error estimation based on Frobenius norm fitting of clutter data

JIANG Lei，WANG Tong
（National Lab of Radar Signal Processing，Xidian University，Xi’an 710071，China）

In the airborne radar system，the parameter estimation and geolocation accuracy of moving targets will be affected by array error.To deal with this problem，a array error estimation method based on Frobenious norm fitting of clutter data is proposed.Firstly，the clutter space-time steering matrix is computed by using the knowledge of clutter distribution and radar geometry parameters.Then，the truncated singular value decomposition method is utilized to estimate the clutter amplitude vector and reconstruct the clutter data.Finally，array error is estimated by minimizing the distance induced by the Frobenious norm between the

data and the reconstructed data.Numerical simulation results validate that the method can achieve a fine parameter estimation accuracy and provide robustness when the number of snapshots or pulses is limited.

airborne radar；array error estimation；reconstructed clutter data；truncated singular value decomposition；norm fitting

TN 959.73

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.12.08

姜 磊（198-7- ），男，博士研究生，主要研究方向為陣列信號處理、空時自適應(yīng)信號處理。

E-mail：jianglei0823＠gmail.com

王 彤（197-4- ），男，教授，博士，主要研究方向為合成孔徑雷達成像、機載雷達運動目標檢測。

E-mail：twang＠m(xù)ail.xidian.edu.cn

1001-506X（2015）12-2713-06

2014- 12- 12；

2015- 03- 17；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015- 05- 28。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150528.0920.001.html

國家自然科學(xué)基金（61372133）資助課題