“數(shù)學(xué)歸納法”課堂教學(xué)引例價(jià)值的思考

●卓 杰 (南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué) 江蘇南京 210048)

“數(shù)學(xué)歸納法”課堂教學(xué)引例價(jià)值的思考

●卓 杰 (南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué) 江蘇南京 210048)

2015年1月13日，南京市化工園區(qū)李宏志名師工作室在筆者所任教學(xué)校舉行了賽課評(píng)課活動(dòng).活動(dòng)分為2個(gè)階段:1)工作室中的3位教師進(jìn)行同課異構(gòu)，課題為“數(shù)學(xué)歸納法”(蘇教版選修2-2第2章第3節(jié))［1］;2)由工作室成員及專家進(jìn)行評(píng)課，本次活動(dòng)邀請(qǐng)了南京師范大學(xué)寧連華教授參加.評(píng)課教師都對(duì)3位教師的教學(xué)引例給予了關(guān)注，且觀點(diǎn)不一.筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)遵循“以簡(jiǎn)馭繁”的設(shè)計(jì)原則，對(duì)教學(xué)資源進(jìn)行了優(yōu)化甚至重組，充分挖掘其教學(xué)價(jià)值.本文就本節(jié)課教學(xué)引例的教學(xué)價(jià)值談?wù)勛约旱挠^點(diǎn).

1 課堂回顧

片段1教師A的引例、處理方式及評(píng)注.

師(PPT展示引例):已知數(shù)列{an}滿足(其中n∈N*)，a1=0，請(qǐng)你計(jì)算a2，a3，a4，猜想出數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式?

師(追問(wèn)):數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是猜想出來(lái)的，不一定正確，你能給出嚴(yán)格的證明嗎?

(學(xué)生思考片刻，但沒(méi)人發(fā)言.)

師:我們一起來(lái)分析一下如何證明吧.

緊接著，教師引導(dǎo)學(xué)生感受“由a1求a2，由a2求a3，……，由an求an+1”的過(guò)程，并結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的2個(gè)步驟說(shuō)明其結(jié)果是正確的.本引例處理到此結(jié)束.

評(píng)注教師還沒(méi)有講述數(shù)學(xué)歸納法原理，就結(jié)合具體問(wèn)題予以證明，教師的設(shè)計(jì)本意是想通過(guò)分析過(guò)程，感受數(shù)學(xué)歸納法證明的2個(gè)步驟，然后通過(guò)多米諾骨牌游戲進(jìn)行類比，這樣做顯然違背了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，不利于思維能力的培養(yǎng).再者，若有學(xué)生提前預(yù)習(xí)，并利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，這樣的課堂一定很尷尬.

片段2教師B的引例、處理方式及評(píng)注.

教師B的引例與教師A相同，不同的是:

師(追問(wèn)):同學(xué)們能否對(duì)猜出的通項(xiàng)公式給出嚴(yán)格的證明呢?

(學(xué)生沒(méi)人發(fā)言.)

師:要解決這個(gè)問(wèn)題，需要新的知識(shí)來(lái)解決，首先我們來(lái)看一個(gè)游戲……

在后續(xù)的教學(xué)中，教師把本例作為課堂練習(xí)進(jìn)行訓(xùn)練.

評(píng)注從教學(xué)過(guò)程看，教師將引例作為新課引入的問(wèn)題切入，后面又把它作為練習(xí)進(jìn)行鞏固.顯然教師的設(shè)計(jì)思路是:先設(shè)疑激發(fā)興趣，再合作探究原理的生成，最后借助原理解決問(wèn)題.前后呼應(yīng)，效果很好.好在沒(méi)有學(xué)生就如何證明提出質(zhì)疑，否則此問(wèn)題的有效性將大大降低.

片段3教師C的引例、處理方式及評(píng)注.

師:前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)推理，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下完全歸納法與不完全歸納法有什么區(qū)別?

生:完全歸納法推導(dǎo)的結(jié)論一定正確，但不便操作;不完全歸納法就是歸納猜想，因此推導(dǎo)的結(jié)論不一定正確.

師:很好!請(qǐng)大家解決這個(gè)問(wèn)題(PPT展示):已知數(shù)列{an}中，a1=1，且(其中n=1，2，3…)，請(qǐng)你計(jì)算a2，a3，a4，a2014，an.

師(追問(wèn)):你是怎么求出a2014和an的，能保證其一定正確嗎?

生:通過(guò)歸納推出的，應(yīng)該正確.

師:通過(guò)不完全歸納法推出的結(jié)論，怎么能保證其正確性呢?

(學(xué)生不知如何回答.)

師:我們只有通過(guò)嚴(yán)密的證明才能說(shuō)明其正確性，那么能否找到一種方法，通過(guò)盡可能少的步驟來(lái)解決很多步甚至無(wú)限步才能解決的問(wèn)題呢?這就是我們本節(jié)課要解決的問(wèn)題.

在后續(xù)的教學(xué)過(guò)程中，教師C始終利用本例輔助說(shuō)明數(shù)學(xué)歸納法的生成過(guò)程.

評(píng)注教師C的設(shè)計(jì)思路也很明確，先說(shuō)明通過(guò)不完全歸納法推導(dǎo)的結(jié)論不一定成立，達(dá)到設(shè)疑的目的，由此拋出本節(jié)課要解決的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù).整個(gè)課堂上教師C對(duì)引例的利用很到位.

2 爭(zhēng)鳴與建議

多數(shù)評(píng)課教師對(duì)教師A和教師B的引例給予肯定，認(rèn)為教師C的引例略顯不足，原因是學(xué)生能通過(guò)取倒數(shù)的方法求解，不需要進(jìn)行歸納.還有一部分教師對(duì)教師C的引例給予肯定，認(rèn)為問(wèn)題簡(jiǎn)單，有利于學(xué)生歸納，并且題目要求先計(jì)算a2，a3，a4，然后求a2014，從上課結(jié)果上看沒(méi)有學(xué)生(授課班級(jí)為江蘇省四星級(jí)高中普通班)采用取倒數(shù)的方法進(jìn)行求解.

筆者認(rèn)為評(píng)課教師基本上是從課堂操作的層面予以評(píng)價(jià)，并沒(méi)有看到后續(xù)課堂對(duì)引例的深層次需求.教師對(duì)精心設(shè)計(jì)的引例使用僅僅停留在表面上，沒(méi)能挖掘其內(nèi)在更高的教學(xué)價(jià)值，造成教學(xué)資源的浪費(fèi).筆者建議本節(jié)課就以此引例為主線，將數(shù)學(xué)歸納法的理論探究和解題鞏固載入到引例中，以最少的信息量呈現(xiàn)給學(xué)生，實(shí)現(xiàn)最大的教學(xué)效益.

數(shù)學(xué)課堂若能以簡(jiǎn)單問(wèn)題為載體，對(duì)教學(xué)資源進(jìn)行深層次挖掘，以最少的信息量實(shí)現(xiàn)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)的突破，這才是真正高效的數(shù)學(xué)課堂，也是課堂教學(xué)追求的最高境界［2］.

3 價(jià)值分析

應(yīng)該說(shuō)3位教師的引例大同小異，目的都很明確，我們不能僅僅停留在課堂操作的層面上看問(wèn)題，而是要分析引例的教學(xué)價(jià)值所在，用好這個(gè)引例來(lái)優(yōu)化本節(jié)課的教學(xué).筆者總結(jié)了以下幾點(diǎn):

3.1 問(wèn)題價(jià)值

當(dāng)代美國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈爾斯說(shuō)過(guò):“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，沒(méi)有問(wèn)題的存在，就沒(méi)有數(shù)學(xué)活動(dòng)的開(kāi)始，有了問(wèn)題，思維才能有方向.”課堂上，教師要依據(jù)教學(xué)內(nèi)容、生活現(xiàn)象和學(xué)生的認(rèn)知心理設(shè)置問(wèn)題(設(shè)疑)，制造認(rèn)知沖突，把學(xué)生引入一種參與問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的情境之中，讓原本枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)變得活潑有趣，激發(fā)孩子們的求知欲望.

數(shù)學(xué)歸納法是典型的數(shù)學(xué)原理課，每一個(gè)數(shù)學(xué)原理都有其產(chǎn)生的背景，都是建立在解決某些問(wèn)題需要的基礎(chǔ)上的.數(shù)學(xué)歸納法是建立在經(jīng)驗(yàn)歸納(不完全歸納法)的不可靠性和逐項(xiàng)驗(yàn)證(完全歸納法)的不可操作性的背景下提出的，這正是本節(jié)課要解決的問(wèn)題.因此我們可以結(jié)合引例提出本節(jié)課的引領(lǐng)問(wèn)題，即:能否找到一種嚴(yán)格的、非經(jīng)驗(yàn)的推理方法，通過(guò)有限的步驟來(lái)解決無(wú)限的問(wèn)題?教師能結(jié)合這個(gè)引例，提出本節(jié)課的引領(lǐng)問(wèn)題，讓學(xué)生明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)，其問(wèn)題價(jià)值是顯然的.

數(shù)學(xué)之所以被稱為思維的體操，是因?yàn)閿?shù)學(xué)發(fā)展始終都在不斷地提出問(wèn)題和解決問(wèn)題.事實(shí)上，問(wèn)題是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，也是思維的起點(diǎn)，有了問(wèn)題才會(huì)去思考解決問(wèn)題的辦法.數(shù)學(xué)教學(xué)正是在不斷地提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的循環(huán)反復(fù)過(guò)程中向前推進(jìn)的.

3.2 建構(gòu)價(jià)值

數(shù)學(xué)原理課教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷原理的形成過(guò)程，通過(guò)安排合適的數(shù)學(xué)活動(dòng)去理解和掌握數(shù)學(xué)原理，做到“知其然且知其所以然”，是實(shí)現(xiàn)有意義學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在.

數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)中有2處難點(diǎn)，即:把無(wú)限步的三段論推理轉(zhuǎn)化為有限步的驗(yàn)證和“假設(shè)結(jié)論成立，然后再去證明結(jié)論成立”.只有通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法建構(gòu)的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法原理的自然生成過(guò)程，才能降低理解的難度，真正理解數(shù)學(xué)歸納法［3］.

多米諾骨牌游戲雖然是一種生活現(xiàn)象，但對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的生成過(guò)程能從本質(zhì)上給予揭示，類比價(jià)值非常高.要實(shí)現(xiàn)從生活實(shí)例向數(shù)學(xué)知識(shí)的自然遷移，將多米諾骨牌游戲中的2步類比到引例中來(lái)，并用引例加以驗(yàn)證，數(shù)學(xué)歸納法原理的生成水到渠成.表1以教師C的引例為例予以說(shuō)明.

表1 多米諾骨牌游戲與數(shù)學(xué)歸納法

上述類比過(guò)程，實(shí)現(xiàn)了從生活現(xiàn)象向數(shù)學(xué)知識(shí)的自然過(guò)渡，建構(gòu)了數(shù)學(xué)歸納法原理的2個(gè)步驟，重要的是實(shí)現(xiàn)了生活現(xiàn)象數(shù)學(xué)化的過(guò)程［4］.也從本質(zhì)上揭示了數(shù)學(xué)歸納法證明的2個(gè)步驟，更易于理解2個(gè)步驟“缺一不可”.

3.3 示范價(jià)值

從對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)反饋來(lái)看，規(guī)范書(shū)寫對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)所在，尤其證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立時(shí)忘記使用“假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立”，此處是初學(xué)者最容易忽略之處.借助多米諾骨牌游戲正好可以強(qiáng)化“當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立必是建立在當(dāng)n=k時(shí)命題成立的基礎(chǔ)之上”，也是數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)中的難點(diǎn).而本引例若能在類比的同時(shí)，教師規(guī)范書(shū)寫數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程，則可以讓學(xué)生在強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法證明中的易錯(cuò)點(diǎn)、突破難點(diǎn)的同時(shí)，規(guī)范了書(shū)寫過(guò)程，尤其是第2步，顯然會(huì)達(dá)到事半功倍的效果.

以簡(jiǎn)馭繁，返璞歸真，不僅是哲學(xué)的思考，更是現(xiàn)代人必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).作為數(shù)學(xué)教師，必須深刻理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)，-才能充分挖掘教學(xué)資源的教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，關(guān)注學(xué)生的長(zhǎng)期發(fā)展，落實(shí)高效課堂［5］.

［1］單墫.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)(選修2-2)［M］.南京:江蘇教育出版社，2007.

［2］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京:人民教育出版社，2003.

［3］曹才翰，章建躍.教學(xué)數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］.北京:北京師范大學(xué)出版社，2014.

［4］弗萊登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］.上海:上海教育出版社，1999.

［5］章建躍.理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015(1):61-63.