解題中的數(shù)學(xué)史

孫承輝

解題的真正快樂來源于我們對數(shù)學(xué)題的深入探究以及對其內(nèi)在美的體悟.許多經(jīng)典試題的背后都隱藏著一段極為精彩的數(shù)學(xué)故事.現(xiàn)在，讓我們跟隨著這些題目，走一趟奇妙的歷史與文化之旅吧，

一、穿越時空的畢達(dá)哥拉斯形數(shù)

形數(shù)理論可以上溯到古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究數(shù)的概念時，用一點(diǎn)（或一個小石子）代表1，兩點(diǎn)（或兩個小石子）代表2，三點(diǎn)（或三個小石子）代表3，等等，小石子可以擺成不同的幾何圖形，從而就產(chǎn)生了一系列的形數(shù).

例1 （2013年高考湖北理科卷改編）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如：他們研究過圖1中的1.3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數(shù)為正方形數(shù).記第n個k邊形數(shù)為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式：

解后語 通過形數(shù)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在世界數(shù)學(xué)史上首次建立了數(shù)和形之間的聯(lián)系，有效地印證了該學(xué)派“萬物皆數(shù)”的觀點(diǎn).另外，畢達(dá)哥拉斯還給出了形數(shù)的有趣性質(zhì)，比如：兩個相鄰三角形數(shù)之和是正方形數(shù)，即N（n，3）+N（n+1，3）=N（n+1，4）.

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的學(xué)者甚至將這種數(shù)形結(jié)合的思想推廣到三維空間，從而構(gòu)造出了立體數(shù).例如，前四個三棱錐數(shù)為

時光倒流，2006年高考廣東理科卷中出現(xiàn)了一道以“三棱錐數(shù)”為背景的試題：

在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球壘成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有一層，就一個球；第2，3，4，…堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放.從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球.以f（n）表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則f（3）=

；f（n） =

（答案用n表示）.

由此可見，畢達(dá)哥拉斯形數(shù)是多么神奇，充滿了無窮的魅力.

二、經(jīng)久不衰的阿波羅尼斯圓

古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：“在平面上給定兩點(diǎn)A，B，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足

，當(dāng)λ>0且λ≠1時，P點(diǎn)的軌跡是一個圓.”這個圓我們就稱之為“阿波羅尼斯網(wǎng)”.

例2 （2008年高考江蘇卷）若AB=2，AC= BC，則S△ABC的最大值是

阿波羅尼斯圓在高考中已出現(xiàn)過多次，如2006年四川理科卷的第6題，201 3年江蘇卷的第17題，等等.

關(guān)于阿波羅尼斯的生平事跡記載并不多，但他的著作對數(shù)學(xué)的發(fā)展具有十分重大的影響.他是利用數(shù)學(xué)方法研究天文學(xué)（即用幾何的模型去解釋星球理論）的重要創(chuàng)始人，他與歐幾里得、阿基米德合稱為古稀臘亞歷山大前期三大數(shù)學(xué)家.

三、妙趣橫生的米勒問題

在《100個著名初等數(shù)學(xué)問題——?dú)v史和解》這本書中有個著名的雷奇奧莫塔努斯（ Regiomontanus）的極大值問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長？（即在什么部位，可見角為最大？）

這個問題是德國數(shù)學(xué)家J.米勒于1471年向教授C.諾德爾提出的，這是載入古代數(shù)學(xué)史的第一個極值問題，它最初源于米勒對與欣賞美術(shù)作品有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的思考.

例3 如圖5，有一壁畫，最高點(diǎn)A處離地面4m，最低點(diǎn)B處離地面2m，若從離地高1.5 m的C處觀賞它，則當(dāng)視角θ最大時，C處離開墻壁

m.

解后語 米勒問題通常也稱為最大視角問題，除了欣賞壁畫外，在生活中它還有其他的表現(xiàn)形式，比如，

在某場足球比賽中，已知足球場寬為90m，球門寬為7. 32 m，一名隊(duì)員沿邊路帶球突破時，距底線多遠(yuǎn)處射球，所對球門的張角最大？

不僅如此，在水利工程測量和水文測驗(yàn)的實(shí)際工作中，米勒問題對提高測量精度具有重大的指導(dǎo)作用.

下面給出一般化的“米勒問題”：

已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的動點(diǎn)，則當(dāng)C在何處時，∠ACB最大？

上述問題的結(jié)論稱之為“米勒定理”：已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的動點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)△ABC的外接圓與邊OM相切于點(diǎn)C時，∠ACB最大，此時OC=

（如圖7）.

米勒問題在高考題中頻頻亮相，常常以解析幾何、平面幾何和實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行考查.以下一題請同學(xué)們動筆練一練，從中感悟一下米勒問題的魅力，

練習(xí)（2010年高考江蘇卷改編）某興趣小組測量電視塔AE的高度H（單位：m），如圖8所示，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使∠BED（即α與β之差）較大，可以提高測量精確度.若電視塔的實(shí)際高度為125 m，試問d為多少時，∠BED最大？

綜合以上例子不難看出，許多“相貌平平”的數(shù)學(xué)題尤其是高考題竟然蘊(yùn)含著如此濃厚的歷史氣息.因此，對于解題，解法的多樣性固然精彩，然而更重要的是要了解一些數(shù)學(xué)史方面的知識，理清著名數(shù)學(xué)問題的來龍去脈，使我們知其然，更知其所以然.