脈沖響應不變法在IIR濾波器設(shè)計中的應用

張登奇, 彭 鑫

(湖南理工學院 信息與通信工程學院, 湖南 岳陽 414006)

脈沖響應不變法在IIR濾波器設(shè)計中的應用

張登奇, 彭 鑫

(湖南理工學院 信息與通信工程學院, 湖南 岳陽 414006)

數(shù)字濾波器的設(shè)計是數(shù)字信號處理課程的重要教學內(nèi)容, 脈沖響應不變法是間接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的基本方法. 本文以巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的設(shè)計為例, 根據(jù)脈沖響應不變法的基本原理, 歸納了該方法的設(shè)計步驟, 并對設(shè)計過程進行了深入分析, 最后實例給出了MATLAB實現(xiàn)的程序.

數(shù)字信號處理; 數(shù)字濾波器; 脈沖響應不變法; MATLAB

引言

脈沖響應不變法是間接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的基本方法, 該方法以成熟的模擬濾波器設(shè)計技術(shù)為基礎(chǔ),利用脈沖響應不變原理, 對模擬濾波器的沖激響應進行等間隔采樣, 將得到的抽樣序列作為數(shù)字濾波器的單位脈沖響應, 從而完成數(shù)字濾波器的設(shè)計. 但在一般的教材中, 模擬濾波器的設(shè)計和從模擬到數(shù)字的轉(zhuǎn)換都是分開講解, 沒有進行完整的過程分析, 導致學習理解困難. 本文以巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的設(shè)計為例, 根據(jù)脈沖響應不變法設(shè)計的基本原理, 歸納該方法的設(shè)計步驟, 并對設(shè)計過程進行深入分析, 最后用實例給出MATLAB實現(xiàn)的程序.

1 脈沖響應不變法

1.1 設(shè)計原理

利用模擬濾波器成熟的設(shè)計理論和技術(shù)間接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器, 其基本思想是先設(shè)計一個合適的模擬濾波器Ha(s), 再按照某種映射關(guān)系轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z). 這種從s平面到z平面的映射關(guān)系必須滿足兩個基本要求: 一是因果穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)轉(zhuǎn)換得到的數(shù)字濾波器也必須因果穩(wěn)定, 即映射關(guān)系應使s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi); 二是數(shù)字濾波器的頻率響應要能模仿模擬濾波器的頻率響應, 即s平面的虛軸必須映射到z平面的單位圓上. 脈沖響應不變法以模擬濾波器沖激響應的理想采樣信號(t)為橋梁, 導出的映射關(guān)系z=esT既滿足上述兩個基本要求, 又能使理想采樣信號的拉氏變換與采樣序列的z變換對應[1], 即

理想采樣信號的拉氏變換與原模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)存在下列關(guān)系[2]:

假設(shè)模擬濾波器只有單階極點, 且分母多項式的階次高于分子多項式的階次(一般都滿足), 將Ha(s)展開成部分分式形式

利用數(shù)字濾波器的單位脈沖響應來自模擬濾波器沖激響應的等間隔理想采樣, 即可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)[1]

(4) 式中T是為了使數(shù)字濾波器的增益不隨采樣周期變化而將單位脈沖響應修正為h(n) =T ha(nT)的結(jié)果[3].

1.2 設(shè)計步驟

根據(jù)脈沖響應不變法的設(shè)計原理, 設(shè)計IIR數(shù)字濾波器大致包括四個環(huán)節(jié). 首先根據(jù)實際任務要求,選擇濾波器類型(典型濾波器類型有巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器和橢圓濾波器), 確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標; 然后設(shè)置采樣周期T, 并按將數(shù)字指標轉(zhuǎn)化成模擬指標; 再按模擬指標設(shè)計一個合適的模擬濾波器; 最后利用脈沖響應不變法的轉(zhuǎn)換關(guān)系將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器. 下面以巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計為例, 結(jié)合圖1所示設(shè)計過程, 介紹脈沖響應不變法的設(shè)計步驟.

圖1 巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的設(shè)計過程示意圖

實例設(shè)計一個巴特沃斯數(shù)字低通濾波器, 采樣頻率Fs=20000Hz , 要求通帶臨界頻率fp=3000Hz,通帶內(nèi)的最大衰減Ap=2dB, 阻帶臨界頻率fs=6000Hz , 阻帶內(nèi)的最小衰減As=7db .

(1)確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標. 數(shù)字指標為ωp=0.3π rad ,ap=2dB (0.7943倍),ωs=0.6π rad,as=7dB (0.4467倍). 衰減指標以分貝為單位適于公式, 用倍率為單位圖示明顯. 數(shù)字指標如圖1(a)點狀圖所示.

(2) 將數(shù)字指標轉(zhuǎn)化成模擬指標. 設(shè)采樣周期T=1s(后面的分析可知T不參與設(shè)計, 設(shè)為1s既可使計算簡單也便于頻譜對比), 轉(zhuǎn)化的模擬指標為Ωp=0.3π rad/s,Ap=2dB (0.7943倍), Ωs=0.6πrad/s ,As=7dB(0.4467倍). 模擬指標如圖1(b)點狀圖所示.

(3) 根據(jù)模擬指標設(shè)計模擬濾波器[3]. 模擬濾波器的階次和3dB截止頻率可按下列公式計算:

模擬濾波器的幅頻特性如圖1(b)曲線所示. 由于Ωc=Ωcp, 設(shè)計的模擬濾波器可使通帶邊界指標Ωp,Ap精確滿足, 同時阻帶邊界指標Ωs,As留有余量.

(4) 將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器. 先將(7)式的Ha(s)化成部分分式展開形式

設(shè)計的數(shù)字濾波器幅頻特性如圖1(d)曲線所示, 與圖1(b)對比可知兩者偏離嚴重, 設(shè)計結(jié)果也不滿足圖1(a)所示的指標要求, 這都是因為頻譜混疊造成的.

2 設(shè)計過程的深入分析

2.1 頻譜混疊現(xiàn)象

如果將單位脈沖響應的取值修正為h(n) =T ha(t)|t=nT, 根據(jù)(1)式和(2)式可知, 用脈沖響應不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器頻響函數(shù)

(11)式可理解為數(shù)字濾波器的頻響是模擬濾波器的頻響函數(shù)以為周期進行周期延拓并相加后再經(jīng)坐標變換得到. 圖1(b)繪出了模擬濾波器的幅頻曲線, 圖1(e)是模擬濾波器幅頻曲線的周期延拓, 示意了幅頻曲線的形成過程. 注意的幅頻曲線不是模擬濾波器幅頻曲線周期延拓后的直接相加, 而是模擬濾波器頻響函數(shù)周期延拓后無窮項相加取模的結(jié)果. 圖1(d)繪出的數(shù)字濾波器的幅頻曲線,是的幅頻曲線經(jīng)坐標變換得到的結(jié)果, 它不是圖1(e)波形的簡單疊加. 與圖1(e)對比可知, 波形中間幅度明顯變小, 兩邊幅度明顯變大, 仔細觀察還可發(fā)現(xiàn)設(shè)計的數(shù)字濾波器幅頻曲線不再經(jīng)過通帶邊界指標, 在通帶內(nèi)也不再單調(diào)變化, 所有這些都是頻譜混疊的結(jié)果. 但如果阻帶衰減越大、阻帶邊界頻率離采樣頻率越遠, 頻譜混疊就越小.

2.2 采樣周期T對設(shè)計的影響

在間接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的過程中, 模擬濾波器的設(shè)計和從模擬到數(shù)字的轉(zhuǎn)換是不可分割的兩個環(huán)節(jié). 采樣周期T對模擬濾波器的設(shè)計影響和從模擬到數(shù)字的轉(zhuǎn)換影響可以相互抵消, 這可從三方面進行理解. 從時域上看, 采樣周期不同會使設(shè)計的模擬濾波器沖激響應在幅度和時間上都會發(fā)生伸縮變化, 但經(jīng)過h(n) =T ha(t)|t=nT進行等間隔理想采樣后得到的序列相同. 如圖1(c)的實虛線分別繪出了T=1s和T=1.3s時的沖激響應波形, 圖1(f)繪出的實點線采樣序列和虛點線采樣序列實際上是同一序列. 從頻域上看, 采樣周期不同會使設(shè)計的模擬濾波器頻譜在頻率軸上按發(fā)生伸縮, 但在濾波器轉(zhuǎn)換過程中頻譜又會按ω=ΩT變換回來. 從復頻域上看, 采樣周期不同只會改變模擬濾波器極點的模, 但經(jīng)轉(zhuǎn)換后得到的數(shù)字濾波器極點并沒有改變. 所以, 采樣周期T不影響設(shè)計, 理論上可任意設(shè)置. 但考慮到計算簡單和計算機的有限字長效應, 一般不宜過大或過小.

2.3 3dB截止頻率對設(shè)計的影響

在模擬濾波器的設(shè)計過程中, 3dB截止頻率有兩個計算公式, Ωcp和Ωcs分別是通帶指標與阻帶指標精確滿足的3dB截止頻率. 當Ωc=Ωcp時設(shè)計的模擬濾波器幅頻曲線過Ωp、Ap點, 如圖2中實線所示; 當Ωc=Ωcs時曲線過Ωs、As點, 如圖2中虛線所示. 當Ωc∈(Ωcp,Ωcs)時曲線在通帶邊界和阻帶邊界都富有余量. 考濾到頻譜混疊和計算方便,可取Ωc=Ωcp.

圖2 3dB截止頻率對設(shè)計的影響

3 MATLAB實現(xiàn)程序

根據(jù)實例確定的濾波器設(shè)計指標, 用脈沖響應不變法設(shè)計巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的MATLAB程序如下:

Application of the Impulse Invariance in IIR Digital Filter Design

ZHANG Deng-qi, PENG Xin
(College of Information and Communication Engineering, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

Digital filter design is the most important component in teaching of digital signal processing. Impulse invariance is a basic method in the indirect design of IIR filter. This paper deduced the procedure of IIR filter design based on the fundamentals of impulse invariance. After thoroughly making analysis of the design steps, the design approach of Butterworth low pass filter was introduced as an example. Finally, the paper attached MATLAB code of the Butterworth low pass filter.

digital signal processing; digital filter; impulse invariance; MATLAB

TN713.7

: A

: 1672-5298(2015)04-0023-04

2015-09-13

湖南省教育廳科學研究項目(12A057); 湖南理工學院教學改革研究項目(2014B20)

張登奇(1968? ), 男, 湖南臨湘人, 碩士, 湖南理工學院信息與通信工程學院副教授. 主要研究方向: 信號與信息處理