壓電彈性力學(xué)中第二類Volterra積分方程的直接Flion方法

方春華

(湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 湖南 岳陽 414006)

壓電彈性力學(xué)中第二類Volterra積分方程的直接Flion方法

方春華

(湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 湖南 岳陽 414006)

針對壓電彈性力學(xué)中的第二類Volterra積分方程, 給出了直接Flion方法. 該方法格式簡單, 計算速度快, 且并行度高. 數(shù)值實驗驗證了格式的高效性.

壓電彈性力學(xué); 第二類Volterra積分方程; 直接Flion方法; 高效率

引言

在物理和工程領(lǐng)域中, 常常涉及Volterra 積分方程的求解, 如信號傳輸, 波動問題, 煙霧過濾, 等等. 著名數(shù)學(xué)家Cauchy, Fredholm, Volterra 等都對Volterra 積分方程進(jìn)行了系統(tǒng)的研究. 但絕大部分只能找到近似解, 只有一些相當(dāng)特殊的問題才能找到精確解. 相關(guān)算法目前主要有Nystrom, Galerkin 邊界元, 譜方法[1]等.

丁皓江等在文[2～4]中將徑向變形的壓電空心圓柱和空心球彈性動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為如下的第二類Volterra 積分方程:

其中E1,E2i是已知常數(shù), 且與ωi有關(guān);f(t)是關(guān)于時間的已知函數(shù), 與電勢和外載荷有關(guān);u(t)為未知函數(shù), 與電位移有關(guān);從小到大排列, 與某一特征方程的正根有關(guān), 一般有無窮多個. 在數(shù)值計算時, 通常截取前m項.

對于方程(1)的數(shù)值解法, 丁皓江[5]等有過討論: 利用對未知函數(shù)在節(jié)點上做分片線性插值和分段Hermite插值, 給出了兩種遞推公式.

注意到方程(1)與ωi有關(guān), 且ωi是越來越大的, 所以當(dāng)選取項數(shù)較多時, 此問題是一個高振蕩問題.對于高振蕩第二類Volterra積分方程

筆者已有一定的研究. 在拙作[6,7]中分析了帶Bessel核和Fourier核的第二類Volterra積分方程的直接Flion方法、分片常數(shù)法和分片線性法關(guān)于頻率的收斂階. 從分析的結(jié)果看直接Flion法和文[5]中的分片線性方法對高振蕩問題來說都是非常有效的方法, 它們關(guān)于頻率2階收斂, 且頻率越大, 計算結(jié)果越精確. 直接Flion法計算起來比文[5]中的分片線性方法更簡單. 本文用Filon方法的思想求解方程(1).

1 直接Flion方法

在區(qū)間[0,t]上利用線性插值

其中u為函數(shù)在t時刻的近似值,u0為開始時刻的值. 積分可以利用顯式公式解析計算.

2 數(shù)值實例

為了更好的對比分析, 采用文[5]中的數(shù)值算例.

解析解u(t)=100+50t+2t2+0.1t3. 計算過程中的f(t)由解析解代入方程左端求積分得到. 本文分別采用3種方法求解方程: 文[8]中的面積法(梯形公式求積分), 直接Flion法, 文[5]中的分片線性公式法,并對誤差與時間進(jìn)行比較.

表1 步長△t=0.1

表2 步長△t=1.0

從數(shù)值例子可以看出, 直接Filon方法與梯形公式求積分相比, 計算精度更高. 文[5]中的分片線性公式雖然精度比較高, 但后一節(jié)點的計算需用到前一節(jié)點的信息, 計算量比較大. 而直接Filon法只需用到起始點的信息, 速度明顯快得多, 且有很高的并行度, 當(dāng)t越大時, 優(yōu)勢越明顯. 所以對于求解彈性力學(xué)中的第二類Volterra積分方程, 直接Filon 方法是一種非常有效的方法.

[1] H. Brunner,Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Equations[M]. Cambridge University Press, 2004

[2] Ding Hao-jiang, Wang Hui-ming, Hou Peng-fei.The transient responses of piezoelectric hollow cylinders for axisymmetric plane strain problems[J]. International Journal of Solids and Structures, 2003, 40(1):105～123

[3] Ding Hao-jiang, Wang Hui-ming, Ling Dao-sheng.Analytical solution of a pyroelectric hollow cylinder for piezothermoelastic axisymmetric dynamic problems[J]. Journal of Thernal stresses, 2003, 26(3): 261～276.

[4] Ding Hao-jiang, Wang Hui-ming, Chen Wei-qiu.Transient responses in a piezoelectric spherically isotropic hollow sphere for symmetric problems[J] . ASME Journal of Applied Mechanics 2003, 70(3): 436～445

[5] 丁皓江, 王惠明, 陳偉球. 壓電彈性力學(xué)中第二類Volterra積分方程的數(shù)值解法[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2004, 24(1): 15～20

[6] Chunhua Fang , Junjie Ma, Meiying Xiang.On Filon methods for a class of Volterra integral equations with highly oscillatory Bessel kernels[J]. Applied Mathematics and Computation, 2015(268): 783～792

[7] Junjie Ma, Chunhua Fang, Shuhuang Xiang.Modified asymptotic orders of the direct Filon method for a class of Volterra integral equations[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2015(281): 120～125

[8] Delves L M, Mohamed J L.Computational Method for Integral Equation[M].Cambridge: Cambridge University Press, 1985

Direct Filon Method for Volterra Integral Equation of the Second Kind in Piezoelastic Dynamic Problems

FANG Chun-hua
(College of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

This paper focus on the direct Filon method for Volterra integral equation of the second kind in piezoelastic dynamic problems. The present method is simple construction, fast computation speed and high degree of parallelism. The high efficiency is verified by numerical experiment.

piezoelastic dynamic; Volterra integral equation of the second kind; direct Filon method; high efficiency

O241.82

: A

: 1672-5298(2015)04-0013-02

2015-09-29

方春華(1979? ), 女, 湖南新化人，博士研究生, 湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院講師. 主要研究方向: 偏微分方程數(shù)值解