基于Nutall窗的時移綜合相位差諧波分析法

劉海升，陳文禮，付志紅，張淮清

(1．輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國家重點實驗室 重慶大學(xué)，重慶400044; 2．國網(wǎng)重慶市電力公司電力科學(xué)研究院，重慶401123)

基于Nutall窗的時移綜合相位差諧波分析法

劉海升1，陳文禮2，付志紅1，張淮清1

(1．輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國家重點實驗室 重慶大學(xué)，重慶400044; 2．國網(wǎng)重慶市電力公司電力科學(xué)研究院，重慶401123)

快速傅里葉變換(FFT)是諧波分析的主要方法，在穩(wěn)態(tài)諧波信號分析中廣泛采用的交流采樣技術(shù)，由于采樣器件的有限性，實際工程中很難做到完全同步采樣和整周期截斷。為消除采樣過程中同步采樣誤差產(chǎn)生的頻譜泄漏，提出了一種基于Nutall窗結(jié)合綜合相位差校正信號諧波分析法，對傳統(tǒng)的相位差頻譜校正方法進(jìn)行了改進(jìn)。采用Nutall窗對諧波信號進(jìn)行加權(quán)，通過時移和加可變長度的窗進(jìn)行兩次FFT分析，并利用離散頻譜對應(yīng)的峰值譜線相位差求得頻率和相位校正量，推導(dǎo)出基波及各次諧波參量的計算公式。仿真實例表明，提出的改進(jìn)綜合相位差校正算法可有效提高諧波分析精度，基波幅值的測量誤差小于0.00001%，基波相位誤差小于0.01°，2～21次諧波電壓測量誤差小于0.01%，諧波相位測量誤差小于0.09°，為高精度諧波檢測提供了可能。

諧波分析;頻譜泄漏;快速傅里葉變換;相位差

1 引言

大量非線性、非周期性、沖擊性和時變波動負(fù)荷不斷投入使用，帶來了嚴(yán)重的諧波污染，使電能質(zhì)量日益惡化，而且由于某些設(shè)備嚴(yán)重的功率沖擊，三相不平衡，電網(wǎng)中存在大量的諧波和間諧波，電壓與電流劇變等復(fù)雜特性直接影響著電力系統(tǒng)的安全經(jīng)濟(jì)運行［1］。因此對電網(wǎng)中的諧波參數(shù)進(jìn)行快速、準(zhǔn)確地檢測，對于電能質(zhì)量的提高和治理具有重要的意義。本文將重點討論電網(wǎng)諧波參數(shù)的精確估計方法。

最直接、有效的分析電網(wǎng)諧波參數(shù)的方法是應(yīng)用FFT算法。為減小諧波分析的誤差，國內(nèi)外學(xué)者提出了加窗插值的FFT算法，例如矩形窗、Hanning窗、Blackman窗、Rife-Vincent(I)窗和 Blackman-Harris窗等，這些對幅值譜進(jìn)行校正的比值方法在一定程度上抑制了頻譜泄漏，改善了諧波分析的精度［2，3］。但要求諧波負(fù)頻分量的頻譜泄漏很小，這樣的條件要求較為嚴(yán)格，只能通過加長時間來滿足，增加了計算量和響應(yīng)時間［4］。此外國內(nèi)學(xué)者還提出了能量重心校正法［5］，它需要主瓣峰值內(nèi)的三根譜線進(jìn)行卷積運算，校正難度較大［6］;FFT+FT譜連續(xù)細(xì)化分析傅里葉變換法的缺點是不適合頻率過于密集的分析場合，計算速度較慢［7］;另外，丁康等人提出了基于傳統(tǒng)窗函數(shù)的相位差校正法［8-10］。

在上述方法中，由于經(jīng)典窗函數(shù)的旁瓣特性不夠理想，采用經(jīng)典窗函數(shù)對諧波信號進(jìn)行加權(quán)處理后仍存在較大的頻譜泄漏［11-13］，導(dǎo)致諧波信號參量計算結(jié)果不準(zhǔn)，無法達(dá)到諧波測量的國標(biāo)要求。而采用性能優(yōu)良的窗函數(shù)可以減小頻譜泄漏引起的誤差。本文將具有理想旁瓣特性的Nutall窗應(yīng)用于電力諧波分析中，提出基于 Nutall窗的綜合相位差電力諧波分析算法，推導(dǎo)出諧波參量的計算公式。仿真結(jié)果表明，在非同步采樣和非整周期截斷的條件下，本文提出的諧波分析方法具有更高的精度。

2 Nutall窗及其定義

在離散傅里葉變換中，窗函數(shù)的最主要指標(biāo)是旁瓣電平和旁瓣衰減速度。窗函數(shù)的頻譜旁瓣峰值電平越大，越可能淹沒峰值電平小的實際諧波信號，造成的頻譜泄漏越多;旁瓣衰減越快，對泄漏的抑制能力越強［14］。為抑制頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)，應(yīng)主要考慮窗函數(shù)的旁瓣峰值電平和旁瓣衰減速率。Nutall窗是一種具有優(yōu)良旁瓣性能的余弦組合窗，其時域表示為:

式中，M為窗函數(shù)的項數(shù);N為窗函數(shù)的長度;n=1， 2，…，N－1;bm應(yīng)滿足。

由式(1)可得Nutall窗的頻域表達(dá)式為:

表1給出了Nutall窗及其他余弦組合窗的旁瓣特性［15］。

表1 幾種余弦組合窗的旁瓣特性Tab．1 Comparison of typical window characteristics

采用加窗對信號截斷進(jìn)行頻譜分析時，窗函數(shù)的旁瓣電平大小和旁瓣漸進(jìn)衰減速率直接影響諧波頻譜分析的結(jié)果。選用旁瓣峰值電平小且旁瓣衰減速率大的窗函數(shù)，可很好地抑制鄰近泄漏和遠(yuǎn)離泄漏［16］，提高諧波分析的準(zhǔn)確度。由表1可見，在幾種余弦組合窗中，4項1階和4項3階Nutall窗具有理想的旁瓣特性，旁瓣峰值電平為 －82.6dB以下，旁瓣衰減速率大于18dB/oct。本文采用4項3階Nutall窗函數(shù)對輸入信號進(jìn)行比較分析和處理。

3 Nutall窗諧波信號分析法

設(shè)最高諧波次數(shù)為 P，基波頻率為 f0的諧波信號x(t)以采樣頻率fs均勻采樣，得到離散信號為:

式中，Am、θm為諧波信號的幅值、相位。

用長度為N的Nutall窗對時域信號 x(n)加權(quán)截斷得到xw(n)=x(n)wNutall(n)，根據(jù)頻域卷積定理，時域相乘對應(yīng)于頻域卷積，因此xw(n)的DTFT為:

式中，ωm=2πfm為各次諧波的數(shù)字角頻率。

對信號 xw(n)進(jìn)行 DFT變換求離散頻譜Xw(k)，相當(dāng)于在頻域 Xw(ejω)中以 Δω =2π/N (對應(yīng)的 Δf=fs/N=1/(NTs))的間隔抽樣，忽略負(fù)頻點 －f0處頻譜波峰的旁瓣影響，ω≥0部分的頻譜分量為:

信號采樣不同步時，第 m次諧波的峰值頻率LmΔf(Lm為第m次諧波的峰值譜線)很難正好位于采樣頻點上，則可設(shè)第m次諧波的頻率為:

式中，λm為考慮非同步采樣時的頻率校正量，0≤λm＜ 1。

考慮到 ωm=2πfm，將式(6)代入式(2)，同時由式(5)即可得到第m次諧波的幅值為:

式中，k為所采用的Nutall窗函數(shù)的項數(shù)。

將ωm=2πfm代入式(7)，取式子兩邊的相角，可得第m次諧波的相位:

式中，函數(shù)arg(·)表示求相角。

由式(6)～式(8)即可得到基波和各次諧波的頻率、幅值和相位信息，而這3個參量的計算又是以頻率偏差量λm為基礎(chǔ)的。

4 基于時移綜合相位差原理的頻率校正量計算

以采樣頻率fs對諧波信號x(t)進(jìn)行離散采樣，采樣點數(shù)為max(N，M+L)，其中第一段序列x1(n)的起點為0，點數(shù)為N，第二段序列x2(n)的起點為L，點數(shù)為M，假定 x2(n)相對 x1(n)的延遲時間為μ1T，x2(n)采樣時間為μ2T。

由式(4)可知第一段信號加窗后的相位為:

式中，λ =f0－F1為頻率偏差;F1為第一段信號峰值譜線處的頻率;T為第一段信號的窗長NTs。

則第二段信號加窗后的相位為:

式中，F(xiàn)2為第二段信號峰值譜線處的頻率。

式(9)減去式(10)取相位差得:

則可求出頻率偏差量λ:

式中，F(xiàn)1=Lm1Δf1;F2=Lm2Δf2;頻率分辨率 Δf1= 1/(NTs);Δf2=1/(MTs);μ1=L/N;μ2=M/N。將各變量代入式(12)中，由此可求出各次諧波的頻率校正量為:

注意，在實際計算中，當(dāng)諧波次數(shù)不太高時，應(yīng)使ΔΦ的值在［－π，π)區(qū)間內(nèi)。λm的取值范圍為［－0.5，0.5］，校正精度高;若λm超出［－0.5，0.5］范圍，需要進(jìn)行歸一化調(diào)整:λ'm=λm－fix(λm)，其中fix(·)表示取整函數(shù)。

5 算法仿真分析

為驗證所提出算法的有效性，采用如下形式的諧波信號進(jìn)行分析:

式中，基波頻率f1為50.5Hz;采樣頻率fs為6.4kHz; Ai和θi分別為第i次諧波幅值和初相角。具體取值見表2，表中hi表示第i次諧波。

表2 基波及諧波參數(shù)Tab．2 Parameters of signal

表3給出了長度N=1024的4項3階Nutall窗進(jìn)行仿真的結(jié)果。采用本文算法對表2中含有21次諧波分量的信號進(jìn)行檢測，其中頻率和幅值最大誤差出現(xiàn)在2次諧波處，分別為0.828×10－4%和－0.018%，相位的最大誤差為 0.0845°;幅值誤差均小于0.01%，相位絕對誤差均小于0.09°。結(jié)果表明，基于4項3階Nutall窗的綜合時移相位差法，能實現(xiàn)基波到21次諧波分量的頻率、幅值和相位的精確檢測。

表3 Nutall窗綜合時移相位差法諧波分析結(jié)果Tab．3 Simulation results with Nutall window and synthesized phase difference correction

表3中Efi、EAi分別表示第 i次諧波的頻率、幅值的相對誤差，Eθi表示第 i次諧波的相角絕對誤差。此外，分別采用Hanning窗插值法、Blackman窗插值法與本文算法進(jìn)行了對比分析，圖1、圖2和圖3給出了采用不同算法進(jìn)行仿真得到的頻率、幅值和相位的誤差曲線。

由圖1、圖2和圖3誤差曲線可見，采用三種算法進(jìn)行頻率、幅值和相位檢測時，Hanning窗插值法和Blackman窗插值法均在2次諧波處出現(xiàn)了較大的誤差，這是由于基波分量的頻譜泄漏嚴(yán)重影響了2次諧波分量的頻譜，從而導(dǎo)致頻譜分析產(chǎn)生誤差。從圖2和圖3可見，Hanning窗插值法和 Blackman窗插值法得到的幅值和相位檢測結(jié)果波動較為明顯，均在偶次諧波處出現(xiàn)了較大波動，其中Hanning窗插值法偶次諧波幅值誤差大于0.01%，相位誤差大于0.1°，而Nutall窗綜合相位差法的幅值檢測結(jié)果較為穩(wěn)定，4項3階 Nutall窗由于其具有優(yōu)良的旁瓣性能，可有效地抑制頻譜泄漏，結(jié)合改進(jìn)的綜合相位差算法進(jìn)行校正，得到的諧波三個參量的檢測結(jié)果比較精確和穩(wěn)定。在信號截斷窗相同時，考慮到實時諧波分析的需要，本文對三種算法的運算時間做了仿真測試，Hanning窗插值法與Blackman窗插值法的運算時間相當(dāng)，而本文提出的方法在Matlab環(huán)境下運算一次僅比兩種插值方法多用了20ms。因此，與兩種插值方法相比，在運算時間增加不明顯的情況下，本文提出的方法能明顯提高諧波參數(shù)的檢測精度。

圖1 諧波頻率相對誤差比較Fig．1 Comparisons of relative errors of harmonic frequency

圖2 諧波幅值相對誤差比較Fig．2 Comparisons of relative errors of harmonic amplitude

圖3 諧波相位絕對誤差比較Fig．3 Comparisons of absolute errors of harmonic phase

6 結(jié)論

本文根據(jù)Nutall窗函數(shù)的頻譜特性，提出了一種基于Nutall窗的時移綜合相位差分析算法，推導(dǎo)出頻率、幅值和相角的估計式，對它們的誤差進(jìn)行了比較分析。仿真結(jié)果表明，本文算法能夠在一定長度數(shù)據(jù)的情況下對諧波進(jìn)行準(zhǔn)確分析，隨著采樣長度的增加，估計精度還可進(jìn)一步提高。此外，估計精度還與窗函數(shù)有關(guān)，選擇具有優(yōu)良旁瓣性能的窗函數(shù)可以有效提高估計的精度。本文算法的不足之處是分析窗的長度一般要達(dá)到十個以上的工頻信號周期，增加了計算量，因此在算法的實時性方面還需要進(jìn)一步的改進(jìn)。此外，還需要對算法的抗噪性方面做進(jìn)一步的研究。

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Approach for power harmonic analysis based on Nutall window and synthesized phase difference correction

LIU Hai-sheng1，CHEN Wen-li2，F(xiàn)U Zhi-hong1，ZHANG Huai-qing1
(1．State Key Laboratory of Power Transmission Equipment＆System Security and New Technology，Electrical Engineering College of Chongqing University，Chongqing 400044，China; 2．Electric Power Experimental Research Institute of Chongqing，Chongqing 401123，China)

The fast Fourier transform(FFT)has already become a main method of the electrical harmonic analysis since it is easily realized in embedded system．In the process of widespread adoption of the AC sampling，there were difficulties in performing synchronized sampling and integral period truncation in the electric power harmonic analysis．To eliminate the leakage of the spectrum generated by the synchronization error in the sampling process，the approach for power harmonic analysis based on Nutall window synthesized phase correction were proposed．The traditional phase spectrum correction method is improved，and the harmonic signals are weighted by Nutall window，the FFT analysis is carried out twice by time shift and symmetrical windows of different lengths．The discrete spectrum corresponding to the peak spectrum phase is used to obtain the phase and frequency correction，and the(，cont．on p.70)(，cont．from p.58)fundamental and harmonic parameters formula is derived．The simulation results show that，suggestions for improving the phase difference correction algorithm can effectively improve the accuracy of the harmonic analysis，namely，the fundamental amplitude measurement error is＜0.00001%，the fundamental phase error is＜0.01 degrees，and 2nd～21st harmonic voltage measurement error is＜0.01%，the measurement error of harmonic phase is less than 0.09 degrees，and it provides the possibility for real-time energy measuring．

harmonic analysis;spectral leakage;FFT;phase difference

TM714

:A

:1003-3076(2015)12-0054-05

2014-12-10

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費資助項目(CDJZR12150025)

劉海升(1985-)，男，河南籍，工程師，碩士，研究方向為電能質(zhì)量;陳文禮(1986-)，男，重慶籍，工程師，研究方向為電能計量。