基于等距面模型的葉片精密測量方法研究

北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院 王軍偉 寧 濤 陳志同

隨著葉片加工精度與自動化程度的不斷提升，應(yīng)用三坐標(biāo)測量機(jī)實現(xiàn)葉片幾何精度的測量已成為一種常用工藝。但是測量機(jī)在測量過程中只能得到測頭球心的坐標(biāo)，而測頭與葉片的實際接觸點及其法矢是未知的。針對此情況，傳統(tǒng)測量方法是按照理論測量點所在曲面的法矢對測頭球心點進(jìn)行半徑補(bǔ)償，該補(bǔ)償方法只有在理論模型與實際葉片模型完全重合時才不會導(dǎo)致補(bǔ)償誤差。但是考慮到葉片檢測中的定位誤差以及葉片加工變形的存在，如圖1所示，理論模型St與實際模型Sr并不重合，測頭與被測葉片實際接觸點pr的法矢nr與理論測點pt的法矢nt方向也不同，因此按理論法矢nt對測頭球心點ps進(jìn)行測頭半徑補(bǔ)償?shù)玫降难a(bǔ)償點pc并非被測葉片上的點，這樣就導(dǎo)致了補(bǔ)償誤差。

圖1 測量誤差

提高測頭與葉片實際接觸點法矢方向的估計精度是提高葉片測量精度的一個求解方向。微平面法[1]與微球面法[2]均是通過測量被測點周圍的若干點來估計被測點處法線方向的。這兩種方法原理類似，可一定程度上減小補(bǔ)償誤差，但是都存在測量不確定度影響求法線方向的問題[3]，且兩種方法測量過程繁瑣，測量數(shù)據(jù)處理復(fù)雜。Menq等[4]提出了一種迭代測量的方法，通過反復(fù)測量來不斷修正測量方向，該方法雖然提高了測量精度，但測量時間也相應(yīng)增加，測量效率大大降低。曲面擬合法[5]是通過擬合測頭球心曲面Ss，然后在測頭球心曲面上得到相應(yīng)點的法線方向。該方法避免了其他方法的不足，并不針對單個的測量點進(jìn)行補(bǔ)償，而是通過擬合測頭球心曲面進(jìn)而求得被測曲面的?；谠摲椒ǖ乃枷耄疚奶岢隽艘环N基于等距面幾何模型的葉片測量方法。

基于等距面模型的葉片測量方法原理

設(shè)葉片理論模型為St（u，v），其等距面模型為St'（u，v）；葉片實際模型為Sr（u，v），其等距面模型為Sr'（u，v）。則可以得到：

其中：R為測頭半徑，nt'（u，v）為St'（u，v）的單位法矢，nr'（u，v）為Sr'（u，v）的單位法矢。

基于等距面幾何模型葉片測量方法的原理如下：

（1） 根據(jù)式（1）求出St'（u，v），并以St'（u，v）為指導(dǎo)模型，進(jìn)行測量路徑規(guī)劃，得到理論測量點集p'ti（i=1，2，3，…）及其觸測方向，如圖2（a）所示；

圖2 測量方法原理

（2）用半徑為R的測頭進(jìn)行測量，將得到的測頭球心點集psi（i=1，2，3，…）進(jìn)行插值構(gòu)造曲面Sr'（u，v），如圖 2（b）所示；

（3） 根據(jù)式（2）求出Sr（u，v），如圖2（c）所示。

（4）比較Sr（u，v）與St（u，v）得到被測葉片的加工誤差分布。

與傳統(tǒng)的葉片測量方法相比較，該方法不會因為實際葉片與理論模型的差異而導(dǎo)致測量誤差，更加適用于葉片的測量，且葉片定位誤差以及葉片加工變形等問題對該方法影響較小。另外，應(yīng)用該方法進(jìn)行測量，以可行的不同觸測方向ni·k，逼近理論測量點p'ti，根據(jù)式（2）可知，測頭球心點psi·k均位于Sr'（u，v）上，如圖3所示，增加了測量路徑規(guī)劃的靈活性，減少了實際測量中測頭逼近方向的限制。

圖3 以不同觸測方向測量

基于等距面模型的葉片型面CMM測量

葉片型面CMM測量主要分為測量路徑規(guī)劃、測量和數(shù)據(jù)處理3個階段。

1 測量路徑規(guī)劃

為了降低數(shù)據(jù)處理的復(fù)雜度，提高曲面擬合的精度，基于二維約束，按照“曲面—曲線—點集—測點集”的分解次序，實現(xiàn)從曲面到測點集的分解。具體的測量路徑規(guī)劃方法步驟如下：

（1） 求取理論葉片型面St的等距面St'，距離為測頭半徑R；

（2）用截平面法在St'上選取適當(dāng)?shù)臏y量線集L，測量線數(shù)為N，具體算法如圖4所示；

（3）將各測量線li離散成測量點集Pi，其中i=1，2，…，N，具體算法如圖5所示；

（4）求各測量點所在測量線處的二維法矢方向作為測頭觸測方向。

上述測量路徑規(guī)劃方法，以最優(yōu)替代曲面原則進(jìn)行測量點布局，更好地代表了曲面特征，且保證同一測量線對應(yīng)的測頭球心點均處于同一平面內(nèi)。因此，曲面擬合的過程可以分解為二維平面中的測量點擬合成線以及三維空間中的線擬合成面兩個步驟，避免了傳統(tǒng)曲面擬合法點云直接擬合成面所需大量測量點，且測量點無規(guī)律的弊端，降低了數(shù)據(jù)處理的復(fù)雜度，提高了曲面擬合的精度。

2 葉片測量

測量坐標(biāo)系建立的準(zhǔn)確性是影響測量精度的一個重要因素。當(dāng)葉片加工變形過大、基準(zhǔn)過小就會導(dǎo)致葉片初始測量基準(zhǔn)不準(zhǔn)，實際測量中可能造成葉片前后緣采點失敗，甚至中斷測量。為了確保測量過程的連續(xù)性以及進(jìn)一步的提升測量精度，在實際測量環(huán)節(jié)中增加了測量坐標(biāo)系的配準(zhǔn)定位，并提出了一種新的定位方法。該定位方法可精確地按誤差最小原則配準(zhǔn)葉片型面的測量坐標(biāo)系。

由于對測量坐標(biāo)系的配準(zhǔn)定位并不需要大量的測量點，因此為提高測量效率，以及在葉片發(fā)生彎扭變形時，能夠保證定位精度，故選擇已規(guī)劃測量點中上下兩條邊界測量線以及中間部位的一條測量線上的測量點進(jìn)行測量即可。

（1）葉片定位。

設(shè)葉片型面模型為S（u，v），則其等距面S'（u，v）可表示為：

其中：R為距離，n（u，v）為曲面單位法矢。

圖4 選取測量線算法

圖5 選取測量點算法

假設(shè)葉片理論模型曲面為S1（u，v），其等距面為S1'（u，v）；葉片實際型面為S2（u，v），其對應(yīng)的等距面為S2'（u，v）。如果曲面S2（u，v）經(jīng)變換矩陣T剛性變換后為S1（u，v），則可得到：

根 據(jù) 式（3）、（4）、（5），可得到：

因此，可得出兩曲面之間的變換關(guān)系與其對應(yīng)的兩等距面之間的變換關(guān)系對等。

傳統(tǒng)的定位方法采用補(bǔ)償后的測點與理論模型進(jìn)行最佳擬合定位，但是補(bǔ)償后的數(shù)據(jù)存在誤差，必然會降低定位的準(zhǔn)確性。本文提出的定位方法采用無補(bǔ)償?shù)臏y頭球心點作為測量點數(shù)據(jù)，與葉片理論模型等距面（距離為測頭半徑）進(jìn)行最佳擬合定位，以得到坐標(biāo)變換矩陣T。根據(jù)上述的推導(dǎo)，可知將初始坐標(biāo)系按變換矩陣T進(jìn)行變換，即可使理論模型與實際葉片達(dá)到最佳匹配，提高了葉片定位的準(zhǔn)確性。

（2）最佳擬合定位。

最佳擬合定位就是通過測量數(shù)據(jù)與CAD理論模型進(jìn)行精確匹配，即通過精確匹配使葉片實測點相對于理論模型的誤差達(dá)到最小，從而減小系統(tǒng)誤差的影響。

測量數(shù)據(jù)點集P與理論模型間的變換映射關(guān)系，可以轉(zhuǎn)換為點集P與理論模型上的對應(yīng)的最近點集Q間的旋轉(zhuǎn)平移變換，故測量數(shù)據(jù)點與葉片CAD理論模型匹配采用最近點的歐式距離平方和作為目標(biāo)函數(shù)，定義為：

其中：qi為測量點pi對應(yīng)CAD理論模型上的點坐標(biāo)，為pi距模型上最近的點；R為旋轉(zhuǎn)矩陣；T為平移矢量。

具體的匹配過程描述如下：

·初始迭代時，令點集初始位置P0=P，k=0，d0=0 。

·迭代執(zhí)行以下步驟，直到符合條件。

① 計算最近點集Qk=C（Pk，S）；

② 求解點集P到點集Qk的旋轉(zhuǎn)矩陣Rk和平移向量Tk；

③ 將點集P按Rk和Tk進(jìn)行旋轉(zhuǎn)平移變換得到新的位置Pk+1=Rk P+Tk；

④ 求點集Pk+1到理論模型S的歐式距離平方和dk+1=F（Pk+1，S）；

⑤ 如果滿足給定的閾值，｜dkdk+1｜≤ε，終止迭代。Rk和Tk就是所求旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矢量。否則k=k+1，轉(zhuǎn)①。

上述解法的關(guān)鍵就是步驟①的求解最近點集和步驟②的求解旋轉(zhuǎn)平移矩陣。為了實現(xiàn)程序的人機(jī)交互，可依托于UG的二次開發(fā)平臺，用標(biāo)準(zhǔn)的ICP算法作為基本算法來實現(xiàn)測量數(shù)據(jù)點與理論CAD模型的匹配。

（3）測量。

具體測量步驟如下：

·將葉片測量件以適當(dāng)?shù)姆绞焦潭ㄔ谌鴺?biāo)測量機(jī)平臺上，在測量軟件Metrology XG7下，手動測量得到葉片的加工基準(zhǔn)特征，以此建立初始測量坐標(biāo)系。

·開啟自動測量模式，對已規(guī)劃好的測量點中上下兩條邊界測量線以及中間部位一條測量線上的測量點進(jìn)行采樣，按上文所述的定位方法進(jìn)行定位，即可得到變換矩陣T，修改初始坐標(biāo)系，建立精確坐標(biāo)系。

·在精確坐標(biāo)系下，對已規(guī)劃的所有測量點進(jìn)行測量，測量完畢之后，將測量數(shù)據(jù)導(dǎo)出，用于后續(xù)數(shù)據(jù)處理。

3 測量數(shù)據(jù)處理

由于對測頭觸測方向進(jìn)行了約束，得到同一測量線的測量球心點均位于同一平面，對后續(xù)的實際葉片造型提供了方便?；贜URBS造型理論，借助于UG自由曲面造型平臺，具體處理步驟如下：

（1） 基于UG平臺，針對每條測量線得到的測量點進(jìn)行樣條插值擬合；

（2） 將第一步得到的擬合曲線通過曲線組命令擬合成面；

（3） 將擬合得到的曲面向內(nèi)偏置一個測頭半徑的值得到該曲面的等距面。

圖6 測量點規(guī)劃

按以上步驟得到的等距面即為實際葉片的擬合模型，可直接對該模型與理論葉片模型進(jìn)行面分析，即可得到實際葉片加工質(zhì)量的有關(guān)信息。如將實際葉片擬合模型與理論截面線所在平面相交，可得到相應(yīng)的實際葉片擬合截面線，與理論截面線進(jìn)行分析比較，也可得到線輪廓度、葉型扭轉(zhuǎn)誤差以及位置度誤差等信息。

實例

表1 傳統(tǒng)方法分析結(jié)果

表2 本文方法分析結(jié)果

以某型發(fā)動機(jī)葉片為例，采用傳統(tǒng)測量方法以及本文方法對同一葉片進(jìn)行了測量。本文測量方法測量點規(guī)劃如圖 6所示，圖中1、2、3、4為理論截面線。

當(dāng)理論指導(dǎo)模型與被測件完全重合時，傳統(tǒng)測量方法的測量誤差為0。比較兩種測量方法的測量精度，分別以兩種測量方法的測量結(jié)果擬合實際葉片曲面，并以擬合曲面作為指導(dǎo)模型，采用傳統(tǒng)測量方法再次進(jìn)行測量。表1為傳統(tǒng)測量方法擬合曲面作為指導(dǎo)模型的測量分析結(jié)果，表2為本文方法。從表中數(shù)據(jù)可以得出：本文方法擬合曲面較傳統(tǒng)方法擬合曲面更接近實際被測葉片，證明了本文方法較傳統(tǒng)方法有效的提高了測量精度。

結(jié)論

針對傳統(tǒng)葉片測量方法中存在的測頭半徑補(bǔ)償誤差問題，本文提出了一種基于等距面模型的葉片測量方法，并給出了具體的測量工藝方案。提出的二維約束測量路徑規(guī)劃方法，避免了傳統(tǒng)曲面擬合法點云直接擬合成面所需大量測量點，且測量點無規(guī)律的弊端，降低了數(shù)據(jù)處理的復(fù)雜度，提高了曲面擬合的精度；提出的精確定位方法較傳統(tǒng)定位方法有效地提高了定位精度；最后通過實際測量試驗驗證了上述方法的有效性和實用性。試驗結(jié)果表明本文測量方法較傳統(tǒng)測量方法有效地提高了葉片測量的精度。

[1] SUH S H，LEE S K，LEE J J.Compensating probe radius in free surface modeling with CMM： Simulation and experiment.Int. J. Prod. Res.，1996，34(2)： 507-523.

[2] 頡赤鷹，陳少克. 三坐標(biāo)測量機(jī)測頭半徑補(bǔ)償?shù)男路椒? 組合機(jī)床與自動化加工技術(shù)，2006(1)： 50-52.

[3] 藺小軍，王增強(qiáng)，單晨偉. 自由曲面CMM測量測頭半徑補(bǔ)償方法. 航空制造技術(shù)，2011(10)： 75-77，85.

[4] MENQ C，CHEN F L. Curve and surface approximation from CMM measurement data. Computers ind. Engng.，1996,30(2)： 211-225.

[5] MAYER J R，MIR Y A，VAFAEESEFAT A，et al. Touch probe radius compensation for coordinate measurement using kriging interpolation. Proc. Instn. Mech. Engrs.，1997，211(1)： 11-18.