求函數(shù)類型y=Cx+DAx+B值域的教法的改進(jìn)

彭增軍

【摘要】求函數(shù)類型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D為常數(shù)，且A≠0）的值域直接用反函數(shù)法和分離常數(shù)法顯得突兀生硬，學(xué)生難以接受.本文從反比例函數(shù)出發(fā)利用函數(shù)圖像的平移得到分離常數(shù)法，進(jìn)而層層深入得到求函數(shù)類型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D為常數(shù)，且A≠0）的值域的方法.這種教法循序漸進(jìn)過渡自然，學(xué)生更容易接受.

【關(guān)鍵詞】反函數(shù)法;常數(shù)分離法;反比例函數(shù);圖像的平移

眾所周知，對(duì)函數(shù)而言最為重要的是函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系.從歷屆學(xué)生對(duì)函數(shù)三要素掌握的情況來看，值域是最薄弱的一個(gè)環(huán)節(jié).因?yàn)榍蠛瘮?shù)值域的題目形式多難度大，學(xué)生在眾多的求函數(shù)值域的方法中往往莫衷一是舉手無措.求函數(shù)值域的一些常用方法有：反函數(shù)法、分離常數(shù)法、換元法、配方法、判別式法、單調(diào)性法等等.求函數(shù)類型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D為常數(shù)，且A≠0）的值域，反函數(shù)法和分離常數(shù)法是最簡(jiǎn)單、最普遍，也最具典型性的方法.然而從學(xué)生做作業(yè)反饋的情況來看，這兩種方法掌握得并不理想.通過聽課翻閱資料發(fā)現(xiàn)，在求函數(shù)類型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D為常數(shù)，且A≠0）的值域的教法上略作改進(jìn)，效果則要好得多.下面將通過一個(gè)例子來具體說明：

例 求函數(shù)y=3x-2x-1的值域.

解 反函數(shù)法：

由y=3x-2x-1經(jīng)過整理變形得x=y-2y-3，此時(shí)把y看作自變量，x看作因變量，x是y的函數(shù)，函數(shù)x=y-2y-3的定義域?yàn)閧y|y≠3}，所以函數(shù)y=3x-2x-1的值域?yàn)閧y|y≠3}.

分離常數(shù)法：

∵y=3x-2x-1=3（x-1）+1x-1=1x-1+3，

∴函數(shù)y=3x-2x-1的值域?yàn)閧y|y≠3}.

求函數(shù)的值域是在高一第一章集合與函數(shù)概念中學(xué)習(xí)的，學(xué)生的具體情況是剛剛從初三步入高一，之前沒有接觸過“反函數(shù)”和“分離常數(shù)”，老師為講授這一道題直接用這兩種方法，學(xué)生會(huì)感到突兀生硬甚至困惑不解.如果用反函數(shù)法，勢(shì)必要引入反函數(shù)的有關(guān)概念，這樣一來，那么要講的知識(shí)就多了.如果用分離常數(shù)法，之前沒有任何鋪墊過渡，那么學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生疑惑，比如，為什么要分離出來一個(gè)常數(shù)呢？鑒于以上考慮，反函數(shù)法是不可取的，當(dāng)然在學(xué)完反函數(shù)的有關(guān)概念之后上例可以作為反函數(shù)應(yīng)用的一個(gè)很好的例子.倘若從反比例函數(shù)出發(fā)，再利用函數(shù)圖像的平移，最終得到分離常數(shù)法，解法就更加完美了.下面給出上例改進(jìn)后的做法：

此時(shí)，老師點(diǎn)出由3x-2x-1到1x-1+3就是“分離常數(shù)法”.這樣由反比例函數(shù)圖像經(jīng)過平移得到分離常數(shù)法，可以消除沒有過渡直接用分離常數(shù)法的突兀生硬.老師進(jìn)一步說上面這個(gè)表格只是一個(gè)過渡，同學(xué)們以后做題時(shí)直接用分離常數(shù)法即可.但是在一開始講授分離常數(shù)法時(shí)，類似于上面表格的過渡一定要呈現(xiàn)給學(xué)生看.其次老師引領(lǐng)學(xué)生得到函數(shù)類型y=cax+b+d（a，b，c，d為常數(shù)，且a≠0）的值域{y|y≠d}.最后老師可以舉一個(gè)類似于求函數(shù)y=6x+52x-1的值域的例子，從而得到函數(shù)類型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D為常數(shù)，且A≠0）的值域，即函數(shù)y=Cx+DAx+B（A，B，C，D為常數(shù)，且A≠0）利用分離常數(shù)法總能化為函數(shù)y=cax+b+d（a，b，c，d為常數(shù)，且a≠0）的形式，所以其值域?yàn)閧y|y≠d}（d為常數(shù)）.

結(jié)合新課改和學(xué)情，從初中所學(xué)的反比例函數(shù)出發(fā)利用函數(shù)圖像的平移得到分離常數(shù)法，進(jìn)而層層深入得到求函數(shù)類型y=Cx+DAx+B（A，B，C，D為常數(shù)，且A≠0）的值域的方法.這樣做至少有以下三點(diǎn)好處：第一，使學(xué)生體會(huì)到以往所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)是有用的;第二，進(jìn)一步加深了反比例函數(shù)的性質(zhì)和圖像的平移;第三，循序漸進(jìn)，由易到難，由簡(jiǎn)到繁，過渡自然，學(xué)生容易接受很難忘記.