數(shù)學(xué)思維中的哲學(xué)

劉翔

【摘要】自然辯證法作為哲學(xué)的重要組成部分，研究和揭示了自然界存在和演化的一般規(guī)律，自然界屬于客體地位，是人類所要認識和改造的對象，而數(shù)學(xué)屬于自然科學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科，是自然科學(xué)的一部分，數(shù)學(xué)源自于自然界，研究自然界的存在與發(fā)展的一般規(guī)律，進而抽象出其形式，建構(gòu)數(shù)學(xué)體系.所以了解數(shù)學(xué)與自然辯證法之前的關(guān)系，可以提升數(shù)學(xué)思維，也能加強學(xué)科之間的聯(lián)系，對研究自然界發(fā)展規(guī)律提供更好的思維空間.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué);自然辯證法;數(shù)學(xué)思維

一、數(shù)學(xué)與哲學(xué)的聯(lián)系

自然辯證法作為馬克思主義哲學(xué)的重要組成部分，它是馬克思主義關(guān)于自然界和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的一般規(guī)律以及我們?nèi)祟悂碚J識自然和改造自然的一般方法的理論.自然辯證法所研究的對象之一就是我們的自然界，自然辯證法研究和解釋了自然界存在和演化的一般規(guī)律，可以簡單地稱之為自然界的辯證法.而數(shù)學(xué)這門自然科學(xué)就源自于自然界，是依據(jù)自然辯證法所揭示的自然界存在的客觀規(guī)律而發(fā)展起來的，數(shù)學(xué)的發(fā)展伴隨著哲學(xué)的不斷進步，數(shù)學(xué)與哲學(xué)之間相互滲透，相輔相成，歷史上很多古希臘的哲學(xué)家就是為了解釋一些哲學(xué)問題而去研究數(shù)學(xué)，也有很多數(shù)學(xué)家為了研究數(shù)學(xué)問題最后投向了哲學(xué)的懷抱，比如，亞里士多德、畢達哥拉斯和歐幾里得等等，同時是偉大的數(shù)學(xué)家也是著名的哲學(xué)家，從畢達哥拉斯的自然哲學(xué)、機械決定論到邏輯實證主義都表明，數(shù)學(xué)在很多方面上不同程度地影響了許多哲學(xué)的思想方法和內(nèi)容，而同時，哲學(xué)的不斷發(fā)展也為數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展提供了更為廣闊的思維空間與思維方式.

古希臘哲學(xué)中認為，萬物的本原就是數(shù)，所有的事物都可以用數(shù)來表示，無限是偶數(shù)，把偶數(shù)拿來用奇數(shù)限定，就會賦予現(xiàn)實事物以無限性.萬物都是成雙的，任何對偶的事物都可以用來平分，平分出來的兩部分可以無限地進行下去，因為這樣的二分法可以無限進行，但是如果增加到奇數(shù)，平分就有限了，就會使無限的二分終結(jié)，可見，進入哲學(xué)殿堂的階梯就是數(shù)學(xué)方法，也是認識理想世界的準備工具.最早的畢達哥拉斯學(xué)派研究數(shù)學(xué)的目的其實是為了解釋宇宙生成這一哲學(xué)問題，從數(shù)學(xué)研究中去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，認為所有的對象事物都能有整數(shù)來構(gòu)成，而數(shù)就是構(gòu)成我們宇宙的要素，隨著對數(shù)的研究，歷史上非常著名的“畢達哥拉斯定理”也就是我們所稱的“勾股定理”就這樣自然而然地產(chǎn)生了.所以說，哲學(xué)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)的進步，數(shù)學(xué)的發(fā)展也離不開對人類哲學(xué)的追求.

二、哲學(xué)中的兩個悖論與自然辯證法

（一）二分法：你不能在有限的時間內(nèi)越過無窮的點

在你穿越一定的距離的全部之前，我們首先必須穿過這個距離的一半，這樣的話距離的一半還會有一半，這樣下去會陷于無止境，在任何的一定的空間中都有無窮多個點，你穿越一個點需要一個時間，哪怕這個時間非常小，但是無窮多個點你需要穿過，所以你根本不可能在有限的時間中一個一個地接觸無窮個點，因此，你也就不可能穿越這一定的距離.

二分法

（二）阿喀琉斯：阿喀琉斯永遠追不上烏龜

烏龜在阿喀琉斯前面，阿喀琉斯要追上烏龜，他首先必須到達烏龜出發(fā)的地點，而這時候烏龜會向前走了一段路，雖然這段路可能很短，但是你不能否認這段路存在，于是阿喀琉斯又必須趕上這很小的一段路，而在阿喀琉斯追這一小段路的時間里烏龜又會向前走了一段路，這段路會更短，但是無論多短，這路畢竟都是存在的，所以這樣思考下去，他總是愈追愈近，但是始終當(dāng)然追上前一個很小的一段路的時候，烏龜又向前走了一段，始終追不上烏龜.

（三）自然辯證法對悖論的解釋

上面兩個就是著名的芝諾悖論，很明顯這些與事實是不符合的，在實際生活中，第一，我們不可能永遠穿不過一定的距離;第二，人肯定是可以追上烏龜?shù)?但是當(dāng)時在哲學(xué)界這兩個悖論引起來很大的風(fēng)波，這兩個看起來明顯錯誤的哲學(xué)思想，當(dāng)時沒有人能從哲學(xué)的角度出發(fā)去合理解釋下這兩個悖論，而自然辯證法的出現(xiàn)，很好地解釋了這兩個悖論，代表人物就是黑格爾，他從哲學(xué)的角度出發(fā)，利用自然辯證法很輕松地解釋了芝諾悖論.

他的觀點認為芝諾看到了運動是同時間和空間分不開的，必須用時間和空間才能說明運動.芝諾論證的關(guān)鍵在于他認為物體無法經(jīng)過無窮多個點或區(qū)間而在連續(xù)時空中完成運動，但是他的根據(jù)呢？仔細檢查后你會發(fā)現(xiàn)，沒有！難道這是一條十分明顯的、不需要進一步說明的公理嗎？也就是說芝諾論證的時候默認為物體無法經(jīng)過無窮多個點或區(qū)間而在連續(xù)時空中完成運動而沒有任何根據(jù)來誤導(dǎo)我們的思維.

首先，我們必須弄清“完成”的含義.所謂“完成”是指過程的發(fā)生只需要有限的時間，它本質(zhì)上是以時間概念為

基礎(chǔ)的.于是，問題成為：物體是否能夠在有限時間內(nèi)經(jīng)過空間中的無窮多個點或區(qū)間？根據(jù)時間和空間的連續(xù)性假設(shè)，有限的空間含有無窮多個點或區(qū)間，而有限的時間同樣含有無窮多個時刻或時間區(qū)間，并且它們可以形成一個一一對應(yīng)關(guān)系.因此，原則上物體可以利用有限時間內(nèi)的無窮多個時刻或時間區(qū)間來通過有限空間中的無窮多個點或區(qū)間，從而物體便可以自然地在有限時間內(nèi)經(jīng)過空間中的無窮多個點或區(qū)間了.于是，物體是可以（在連續(xù)時空中）經(jīng)過無窮多個點或區(qū)間而完成運動的.芝諾所依據(jù)的似乎明顯正確的看法其實是錯誤的，他在強調(diào)空間連續(xù)性的同時卻忽略了時間的連續(xù)性.

三、數(shù)學(xué)思維上的自然辯證法

數(shù)學(xué)思維中有一個非常經(jīng)典案例，如果當(dāng)x→0時我們稱x為無窮小量，簡稱無窮小，記為“0”，同時我們稱1x為無窮大，記為“∞”，按照我們所學(xué)過的知識，零跟任何數(shù)的乘積應(yīng)該都等于零，所以無窮小乘上無窮大，也就是x·1x=0·∞=0，但是很明顯x·1x=1.基于以上的說法，就自相矛盾，那么無窮小跟無窮大是不是真正出了問題呢？很顯然不是，我們注意零跟任何數(shù)的乘積應(yīng)該都等于零，必須要滿足零跟任何數(shù)，而我們的“∞”其實根本就沒有說過它是一個數(shù)，它其實只是一個趨勢而已，根本不代表一個數(shù)，既然它連是一個數(shù)的資格都沒有，那我們在計算的時候根本不能按照“零跟任何數(shù)的乘積應(yīng)該都等于零”的這個規(guī)則來進行計算，也就很清楚地解釋了無窮大與無窮小的乘積的問題.同時也告訴我們很多時候在數(shù)學(xué)思考的時候要注意環(huán)境，也要結(jié)合自然界的實際情況進行分析，而不是一味地去按照以往的標準來參考，要利用自然辯證的方法去認識自然界的規(guī)律，去檢驗我們的數(shù)學(xué)思維的科學(xué)性，從而使我們的數(shù)學(xué)真正圓滿，時時刻刻用哲學(xué)來檢驗，不走上悖論的道路.

歷史證明，數(shù)學(xué)越向前發(fā)展，數(shù)學(xué)探索的難度就越大，就愈需要更為強大的哲學(xué)武器來檢驗.在數(shù)學(xué)研究中，人們受社會的影響而存在唯心史觀，不自覺地就存在唯物主義傾向，所以我們必須要借助強大的哲學(xué)武器，努力把自然辯證這個高度科學(xué)的世界觀與方法論應(yīng)用到自己的數(shù)學(xué)研究中去，不斷利用哲學(xué)武器強化我們的數(shù)學(xué)思維，勇于實踐，善于探索，真正從自然界的發(fā)展規(guī)律中抽象出數(shù)學(xué)概念，從而正確地去認識和改造自然界.

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