探析利用基本不等式求最值的方法與技巧

許彩芳

[摘要]基本不等式在高中數(shù)學(xué)的地位是很重要的，在高考中也是重點(diǎn)和難點(diǎn)，而且變化和方法多樣，其中最常見的題型是利用基本不等式求最值.針對高中階段的一些基本不等式求最值問題的解題方法與技巧做簡單的歸納總結(jié)，可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

[關(guān)鍵詞]基本不等式最值解題方法技巧

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2015）020057

基本不等式是新課標(biāo)高考考查的熱點(diǎn).幾乎每年都有與其有關(guān)的題目，最為常見是求函數(shù)的最值，因此運(yùn)用基本不等式求最值的問題，是值得我們重視的.但學(xué)生在運(yùn)用基本不等式求解時(shí)，常忽略某些條件，以至解題受阻.所以，學(xué)生在解題中應(yīng)學(xué)會利用一些方法和技巧，對所求式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?而要掌握這些技巧對學(xué)生來說有一定的難度，為此，本文介紹幾種常用的技巧，以供參考.

一、基本不等式及使用條件

若a，b∈R+，則a+b≥2ab.

（1）a，b都是正數(shù)；

（2）和a+b或積ab為定值；

（3）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號.

（4）常用的形式：①a2+b2≥2ab；②a+b≥2ab（a，b∈R+）；③ab≤（a+b2）2（a，b∈R+）.

運(yùn)用基本不等式解題時(shí)，必須滿足上面的三個(gè)條件（1）（2）（3），即“一正、二定、三相等”.而現(xiàn)實(shí)中，不是每一題都同時(shí)滿足這三個(gè)條件的，因此需要做一些技巧性的轉(zhuǎn)化、變形，使其滿足條件，方能求得正確的最值.

二、幾種常見的轉(zhuǎn)化方法

1.化為正

【例1】求函數(shù)y=x-1+4x-1+3（x<1）的最大值.

解：函數(shù)中x-1項(xiàng)是負(fù)數(shù)，需要轉(zhuǎn)化為正數(shù).

∵x-1<0，∴-（x-1）>0，

∴-（x-1）+4-（x-1）≥2[-（x-1）]×4[-（x-1）]=4，

∴PCAP=PAAB，即PA2=PC·AB.

∵PC=52，AB=4，∴PA=52×4=10，

∴在Rt△APB中，由勾股定理得PB=16-10=6.

（2）過O作OE⊥PD，垂足為E.

∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED.

又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，

∴四邊形OACE為矩形，得CE=OA=2.

又PC=x，∴PE=ED=PC-CE=x-2，

∴PD=2PE=2（x-2），

∴CD=PC-PD=x-2（x-2）=4-x，

∴PD·CD=2（x-2）·（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2.

∵2

∴當(dāng)x=3時(shí)，PD·CD的值最大，最大值是2.

四、特殊值法

對一些較為抽象或一般規(guī)律不明顯的數(shù)學(xué)問題，特別是答案相對唯一的選擇題，可以采用抽象問題具體化、一般問題特殊化的方法來處理，以降低難度，快速確定正確答案.

【例4】已知整數(shù)a1，a2，a3，a4……滿足下列條件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|……以此類推，則a2012的值為（）.

A.-1005B.-1006C.-1007D.-2012

分析：本題看上去似乎不易，既有絕對值，又要計(jì)算到a2012.但我們可以先從已知條件出發(fā)，計(jì)算出幾個(gè)簡單的、特殊的值，然后找尋其中的規(guī)律，再確定答案.

解：∵a1=0，

∴a2=-|a1+1|=-1，a3=-|a2+2|=-1，

a4=-2，a5=-2，a6=-3，a7=-3，

a8=-4，a9=-4，a10=-5，a11=-5，

......

∴a2012=-20122=-1006，故選B.

總之，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最活躍、最實(shí)用的思想.在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)注意對學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)化思想的滲透，有意識地運(yùn)用轉(zhuǎn)化方法，引導(dǎo)學(xué)生靈活地解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，從而提高學(xué)生的思維能力和解題能力.

（責(zé)任編輯鐘偉芳）