分部積分法的一些技巧

陳旭松

摘 要 分部積分法公式 = 看起來(lái)簡(jiǎn)單，用起來(lái)不容易，因?yàn)轭}目中的被積函數(shù) 常是一個(gè)整體，如何把 拆分成和 是學(xué)生最困難的，筆者通過(guò)多年教學(xué)摸索了一些經(jīng)驗(yàn)，即選擇的優(yōu)先標(biāo)準(zhǔn)是按“反對(duì)冪三指”的順序依次選擇。

關(guān)鍵詞 分部積分法 反對(duì)冪三指

設(shè)函數(shù) = （）及 = （）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，已知兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為 = ?+ 或 = 對(duì)上式兩邊求不定積分得 =

為方便，此公式也可以寫(xiě)成

=

這就是不定積分的分部積分法公式。

例1 求

解：選取 = ， = 則 = 1， = 代入分部積分公式

=

而容易積出，于是

=

但如果選擇 = ， = 則 = ， =

=

此積分比原積分更不易求出，由此可見(jiàn)，如果選取不當(dāng)，就求不出結(jié)果。

通過(guò)以上例子可以看出，用分部積分法的關(guān)鍵在于正確地選好及，應(yīng)該怎樣選取和呢？一般說(shuō)要考慮以下兩點(diǎn)：

（1）要容易求得;

（2）要比原積分容易積出。

具體地講：由于被積函數(shù)多由冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)等五大類(lèi)基本初等函數(shù)組成，在長(zhǎng)期的實(shí)踐中摸索出，選擇的優(yōu)先標(biāo)準(zhǔn)為“反對(duì)冪三指”或“反對(duì)冪指三”。如被積函數(shù)是組成，則令 = ， = ;被積分函數(shù)是，則令 = ， = ;被積函數(shù)是組成，可令 = ， = ，也可令 = ， = 。

例2 求

解這里被積函數(shù)是 ?= ，即由冪函數(shù)與反三角函數(shù)之積組成設(shè) = ， = 。

= ?= ?+ ?= ? ?+

有時(shí)，在一個(gè)題目中可能多次使用分部積分法，才能得到結(jié)果，為了簡(jiǎn)化這類(lèi)問(wèn)題的計(jì)算，我們給出一種相對(duì)簡(jiǎn)單的方法來(lái)處理此類(lèi)積分，我們把公式

=

表示成表格形式

即 =

例3 求

解：按“反對(duì)冪三指”的順序，選 = ， = 寫(xiě)成表格形式

所以 =

= ?=

例4 計(jì)算

解：按“反對(duì)冪三指”的順序，選 = ， = 寫(xiě)成表格形式

線段兩端的式子相乘，乘積的等號(hào)取線段上的符號(hào)（正負(fù)交替出現(xiàn)）所以

= ?+ ?+

= （） +

總之，理解分部積分公式，掌握以上選擇的優(yōu)先標(biāo)準(zhǔn)“反對(duì)冪三指”用分部積分法求積分就會(huì)事半而功倍了。

參考文獻(xiàn)：

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（作者單位：襄陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院）