不等式在求解函數(shù)的最值問題中的一些應用

陳芙蓉

摘 要 本文通過若干實例，介紹不等式在求解函數(shù)的最值問題中的一些應用。

關(guān)鍵詞 不等式 實例 極值 應用

函數(shù)的極值不僅在實際中有重要的應用，而且也是函數(shù)性態(tài)的重要特征。在生產(chǎn)實踐和科學實驗中，我們常會碰到求函數(shù)的最大值或最小值的問題。學習了數(shù)學分析后，我們知道了根據(jù)費馬定理有：可導函數(shù) 的極值點必是穩(wěn)定點。

而在中學數(shù)學中就已出現(xiàn)求函數(shù)的最值問題，中學生對穩(wěn)定點和導數(shù)還很陌生，無法理解和接受，這就要求我們在中學教學中更重視求解函數(shù)最值的另一種方法—利用不等式求解函數(shù)的最值。且不等式是數(shù)學基礎(chǔ)理論的一個重要組成部分，它刻畫了事物在數(shù)量上的不等關(guān)系。不等式的理論，是在有序集中數(shù)的順序律和加法、乘法的單調(diào)率的基礎(chǔ)上建立起來的，是中學學習內(nèi)容中很重要的一部分，“學以至用”，利用不等式來求解函數(shù)的最值問題，不僅可簡化解題過程，更可幫助學生掌握不等式。

一、利用二次函數(shù)的值域求最值

主要解題思路：求出函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)的值域，從而得出最值。

例1 已知為實數(shù)，∣∣<2，求的最大值與最小值。

解：設 = ，由于∣∣<2，所以 = + >0。

即不論取何值，分母恒大于零。因此，去分母整理后得等價方程

+ ?+ ?= 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ①

若≠0，①式可看作關(guān)于x的實系數(shù)二次方程。方程恒有實數(shù)根，當且僅當它的判別式⊿≥0，即⊿= =[I]≥0。

∵∣∣<2，∴2 ？>0。

∴≤≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②

顯然， = 0（此時 = ）也在不等式②的范圍內(nèi)。當 = 時，代入方程①，解得 = ?+1。因此，當 = ?+1時，原式的最大值為;當 = ?1時，原式的最小值為。

二、用平均不等式求最值：由平均不等式≥可以推得

定理對于任意個正數(shù)、…，如果它們的和（設為）是定值，那么，當 = ?= … = 時，積·…取最大值，最大值為 = ;如果它們的積（設為）是定值，那么，當 = ?= … = 時，和 + ?+ … + 取最小值，最小值為 = 。

三、利用其它重要不等式求極值

例把一條長是l的鐵絲截成三段，各圍成一個正方形，怎樣截法使得這三個正方形面積之和最小。

解：設三段長度分別為、、，則 + ?+ ?= 1（定值），再設為三個正方形面積之和，則 = ?+ ?+ ?= （ + ?+ ）

當且僅當 = ?= 時等號成立。

因此，當 = ?= ?= 時， + ?+ 有最小值;從而最小 = · = ，即把鐵絲截成相等的三段，各圍成的正方形的面積之和為最小。

以上通過若干實例，介紹不等式在求解函數(shù)的最值問題中的一些應用。從而可得不等式的相關(guān)理論，在函數(shù)、方程、數(shù)列等各個方面，都有著重要的應用。

參考文獻：

[1]王金戰(zhàn).輕松搞定高中數(shù)學：函數(shù)[M].外語教學與研究出版社，2010.

[2]蘇勇，熊斌.不等式的解題方法與技巧[M].華東師范大學出版社，2012.

[3]范建熊.不等式的秘密[M].哈爾濱工業(yè)大學出版社，2014.

（作者單位：湖北省襄樊職業(yè)技術(shù)學院）