關(guān)于正交矩陣和正交變換新的引入方法

李滿 朱玉清

【摘要】本文運(yùn)用實(shí)際生活中的例子引入正交矩陣和正交變換的課程內(nèi)容，這可以有效的提高學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的興趣，并且較好的學(xué)習(xí)正交矩陣和正交變換的基本概念和了解這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】正交矩陣 ?正交變換 ?向量組

【中圖分類(lèi)號(hào)】TP391.41 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）11-0108-01

1.引言

正交變換是歐氏空間中的一種重要的變換，是保持內(nèi)積及長(zhǎng)度不變的線性變換，因而不會(huì)改變曲線或曲面的形狀。正交變換不僅在高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析及其它數(shù)學(xué)分支中起著獨(dú)到的作用，而且在自動(dòng)化技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)、物理等領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用。

2.正交矩陣和正交變換

理解正交矩陣和正交變換概念，會(huì)判斷一個(gè)矩陣是否為正交矩陣，了解正交變換的分類(lèi)。

定義1：如果n階方陣A滿足AAT=E，則稱(chēng)是A正交矩陣，也可簡(jiǎn)稱(chēng)為正交陣。由AA-1=E，即AT=A-1。

定理：A為正交矩陣的充分必要條件為A的列（行）向量組為正交單位向量組。

這個(gè)定理主要用來(lái)判斷一個(gè)矩陣是否為正交矩陣，例如判斷下面兩個(gè)矩陣是否是正交矩陣。

例：（1）A=-1 0 ?00 ? 1 ?00 ? 0 ?1 ? ? ? （2）A=cosθ ?-sinθ ?0sinθ ? cosθ ? 00 ? ? ? 0 ? ? ?1

解：（1）把A按列分塊A=（a1，a2，a3），由于每個(gè)向量是單位向量，且任意兩向量正交，a1，a2，a3為正交單位向量組，即A為正交矩陣。 同樣的可得（2）也是正交矩陣。

性質(zhì)：如果A，B為正交矩陣，AT也是正交矩陣，A-1=AT也是正交矩陣;AB也是正交矩陣;|A|=1，|A|=-1。

即，例（1）中|A|=-1 ?0 ?00 ? ?1 ?00 ? ?0 ?1=-1，例（2）中|A|=cosθ ?-sinθ ? 0sinθ ? ?cosθ ? 0 0 ? ? ? ?0 ? ? 1=1。

定義2：如果線性變換的系數(shù)矩陣為正交矩陣，則稱(chēng)y=Px這個(gè)變換為正交變換。

3.新的引入方法

如y=Px為正交變換，對(duì)其中一個(gè)向量y1求長(zhǎng)度

||y1||======||x||，對(duì)其中兩個(gè)向量y1，y2求內(nèi)積。

[y1，y2]=yT1y2=（Px1）T（Px2）=xT1PTPx2=xT1（PTP）x2=xT1x2=[x1，x2]

因此，正交變換不改變向量的長(zhǎng)度和內(nèi)積，即不改變圖形的幾何形狀。這是正交變換的優(yōu)良特性。

3.1小貓照鏡子

運(yùn)用小貓照鏡子的圖片（圖1），在圖片中以脖子中的鈴鐺為原點(diǎn)做出空間直角坐標(biāo)系（圖2）。鏡子中小貓的影像相當(dāng)于與小貓之間存在如下的線性變換x'y'z'=-1 ?0 ? 0 ?0 ?1 ? 0 ?0 ?0 ? 1xyz。

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

由第2節(jié)中的例子可知，這個(gè)線性變換x'y'z'=-1 ?0 ? 0 ?0 ?1 ? 0 ?0 ?0 ? 1xyz系數(shù)矩陣A為正交矩陣，則這個(gè)變換為正交變換。又因?yàn)閨A|=-1 ?0 ?0 0 ? 1 ?0 0 ? 0 ?1=-1，這個(gè)線性變換也稱(chēng)為反射變換。

3.2 美女旋轉(zhuǎn)圖

運(yùn)用美女旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)圖片（圖3），做出空間直角坐標(biāo)系（圖4），轉(zhuǎn)動(dòng)的圖片相當(dāng)于在xoy面上旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ，令x=rcosαy=rsinαz=z，則x'=rcos（α+θ）=xcosθ-ysinθy'=rsin（α+θ）=xsinθ+ycosθz'=z，即旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于做線性變換x'y'z'=cosθ ?-sinθ ?0sinθ ? cosθ ? 00 ? ? ? 0 ? ? ?1xyz。

圖3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖4

同樣的，美女旋轉(zhuǎn)圖的線性變換x'y'z'=cosθ ?-sinθ ?0sinθ ? cosθ ? 00 ? ? ? 0 ? ? ?1xyz也是正交變換，因?yàn)閨A|=cosθ ?-sinθ ? 0sinθ ? ?cosθ ? 0 0 ? ? ? ?0 ? ? 1=1，這個(gè)線性變換也稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)變換。

通過(guò)這兩個(gè)有趣的引例，采用啟發(fā)式教學(xué)法，運(yùn)用動(dòng)畫(huà)、視頻和多媒體相結(jié)合的教學(xué)手段，引入正交矩陣和正交變換的基本概念。使得學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)的同時(shí)，形象的理解了這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

4.小結(jié)

由這兩張圖片可以發(fā)現(xiàn)正交變換不改變向量的長(zhǎng)度和內(nèi)積，即不改變圖形的幾何形狀。由于正交變換的這個(gè)優(yōu)良特性，反射變換和旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常被應(yīng)用于工程中。

參考文獻(xiàn)：

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[4]紀(jì)永強(qiáng). 三維內(nèi)積空間中正交變換的特征向量的幾何意義[J]. 湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào)vol.36， 2014.

作者簡(jiǎn)介：

李滿（1982.11.25-），女，河南人，漢族，碩士研究生，南陽(yáng)理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，助教，應(yīng)用數(shù)學(xué)、系統(tǒng)控制。