對直線交點(diǎn)個數(shù)問題的思考

周軍高

例（人教版數(shù)學(xué)教科書七年級上冊第130頁第12題）如圖1，2條直線相交，有1個交點(diǎn)，3條直線相交，最多有多少個交點(diǎn)？4條。直線呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

解析：8由圖1可知，3條直線相交，最多有3個交點(diǎn)，4條直線相交，最多有6個交點(diǎn)。

每增加1條直線。增加的交點(diǎn)個數(shù)最多等于原有直線的條數(shù)。

一、問題在探究

1.拓廣探究。

思考1：如果平面內(nèi)有n條直線，最多有多少個交點(diǎn)？

解析：由前面的例題可知，當(dāng)平面內(nèi)有2條直線時，最多有1個交點(diǎn)；當(dāng)平面內(nèi)有3條直線時，最多有（1+2）個交點(diǎn)；當(dāng)平面內(nèi)有4條直線時，最多有（1+2+3）個交點(diǎn)……

2.類比探究。

思考2：如圖2，如果平面內(nèi)有n個圓，最多有多少個交點(diǎn)？

解析：當(dāng)平面內(nèi)有2個圓時，最多有2個交點(diǎn)；當(dāng)平面內(nèi)有3個圓時，最多有（2+4）個交點(diǎn)；當(dāng)平面內(nèi)有4個圓時，最多有（2+4+6）個交點(diǎn)……

3.逆向探究。

思考3：過平面內(nèi)n（n≥2）個點(diǎn)中的每兩個點(diǎn)都畫1條直線，最多能畫多少條直線？試用含n的代數(shù)式表示。

解析：從特殊情況人手，通過畫圖（如圖3）不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

過平面內(nèi)2個點(diǎn)畫直線，最多能畫1條直線：過平面內(nèi)3個點(diǎn)中的每兩個點(diǎn)都畫1條直線，最多能畫（1+2）條直線；過平面內(nèi)4個點(diǎn)中的每兩個點(diǎn)都畫1條直線，最多能畫（1+2+3）條直線……

每增加1個點(diǎn)，增加的直線條數(shù)最多等于原有點(diǎn)的個數(shù)。

因此，過平面內(nèi)n（（n≥2）個點(diǎn)中的每兩個點(diǎn)都畫1條直線，能畫出的直線最多有1+2+

4.解法探究。

思考4：思考3中的問題還有沒有其他解決方法？

經(jīng)過認(rèn)真思考，我們還可以得到下面兩種解決方法。

方法1：過兩個點(diǎn)有且只有1條直線，以兩個點(diǎn)為端點(diǎn)的線段也有且只有1條，于是我們可以把“過平面內(nèi)n（n≥2）個點(diǎn)中的每兩個點(diǎn)都畫1條直線，最多能畫多少條直線”轉(zhuǎn)化為“過平面內(nèi)n（n≥2）個點(diǎn)中的每兩個點(diǎn)都連1條線段，最多能連多少條線段”，另外，線段能夠度量長度，長度不同的兩條線段是不同的，因此，為便于研究問題，可以把這n個點(diǎn)放在同一條直線上，然后計算線段的總條數(shù)。

如圖4，我們把這n個點(diǎn)放在同一條直線L上，并把這幾個點(diǎn)分別記為A₁、A₂、A₃、…、A_n-1、A_n，對于其中任意兩個點(diǎn)，我們用連接這兩個點(diǎn)的線段來代表過這兩個點(diǎn)的直線。

以A₁。為左端點(diǎn)的線段有（n-1）條，以A₂為左端點(diǎn)的線段有（n-2）條，以A₃為左端點(diǎn)的線段有（n-3）條……以A_n-1為左端點(diǎn)的線段有1條。

方法2：分兩步思考問題。

第一步，思考：過平面內(nèi)n（n≥2）個點(diǎn)中的某一個點(diǎn)與其他（n-1）個點(diǎn)中的任意一個點(diǎn)都畫1條直線，最多能畫多少條直線？

第二步，思考：過平面內(nèi)n（n≥2）個點(diǎn)中的每兩個點(diǎn)都畫1條直線，最多能畫多少條直線？

過平面內(nèi)n（n≥2）個點(diǎn)中的某一個點(diǎn)與其他（n-1）個點(diǎn)中的任意一個點(diǎn)都畫1條直線，最多能畫（n-1）條直線，一共有n個點(diǎn)，過每個點(diǎn)與其他（n-1）個點(diǎn)中的任意一個點(diǎn)都畫1條直線，最多共能畫n（n-1）條直線，考慮到過每兩個點(diǎn)的直線都重復(fù)計算了一次，因

評注：方法1用到了轉(zhuǎn)化（化歸）思想，這是一種重要的數(shù)學(xué)思想，方法2則體現(xiàn)了整體思想，前面的例題也可以用方法2解決。同學(xué)們可以嘗試一下。

二、變式探究

如果把平面內(nèi)的n（n≥2）個點(diǎn)想象成某個團(tuán)體中的n個人，把過兩個點(diǎn)畫直線想象成兩個人之間通電話，可以得到下面的變式題，

變式1：某公司有n（n≥2）名員工。每兩名員工之間都通一次電話，則這n名員工之間一共通多少次電話？

變式2：某公司有n（n>12）名員工，每兩名員工之間都互發(fā)一條問候短信，則這n名員工之間一共發(fā)多少條短信？

解析：表面上看，變式2與變式1好像是一樣的，仔細(xì)審題后會發(fā)現(xiàn)它們還是有不同之處的，那就是兩名員工之間互發(fā)的問候短

如果把平面內(nèi)的n（n≥2）個點(diǎn)想象成某條鐵路線上的n個車站，把過兩個點(diǎn)畫直線想象成針對某列客車的某種座位核定兩個車站之間的票價或設(shè)計兩個車站之間的車票，可以得。到下面的變式題，感興趣的同學(xué)不妨做一做。

變式3：某條鐵路線上有n（n≥2）個車站，針對某列客車的某種座位在每兩個車站之間核定一種票價，則共有多少種票價？

變式4：某條鐵路線上有n（n≥2）個車站，針對某列客車的某種座位在每兩個車站之間都設(shè)計車票，則共需設(shè)計多少種車票？

同學(xué)們在解題后會發(fā)現(xiàn)，這些問題雖然表面形式不同，但它們的解題思路、步驟乃至結(jié)果非常相似，這就是“萬變不離其宗”，同學(xué)們要認(rèn)真地體會、領(lǐng)悟。

責(zé)任編輯：潘彥坤