斐波那契與“兔子數(shù)列”

佟麗寧

自然界中有各種各樣的生物，但是也許你并不知道，很多生物的生長規(guī)律都有相似之處，接下來我們將用一個數(shù)列揭示出其中的奧秘。

1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他出版的一本書中提出這樣一個問題：

假設(shè)有一對剛出生的小兔子，一個月能長成大兔子，再過一個月便能生下一對小兔子。按照每對剛出生的小兔子一個月后長成大兔子、每對大兔子每月生一對小兔子的規(guī)律進行下去，假設(shè)一年內(nèi)沒有兔子死亡，則一年后會有多少對兔子？

從數(shù)學(xué)的角度考慮，當(dāng)有大量繁雜且易混的數(shù)據(jù)需要處理時，列表分析是一種很有效的手段。針對上面的問題，我們可以列出表1。通過列表，我們不但可以很清楚地知道結(jié)果。而且可以直觀地了解到整個過程中每一步的情況。

現(xiàn)在我們知道一年后會有233對兔子。如果按照這種規(guī)律計算下去，我們就會得到一個神奇的數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、…。由于這個數(shù)列是數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入的，所以人們把它叫作“斐波那契數(shù)列”（也叫“兔子數(shù)列”）。

仔細觀察，我們會發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列很有意思，包含很多規(guī)律，比如：從第三項起。每一項都等于前面相鄰兩項之和；每個奇數(shù)項（第一項除外）的平方都比前后與之相鄰的兩項之積大l，每個偶數(shù)項的平方都比前后與之相鄰的兩項之積小1；第3、6、9、12、…項的數(shù)，能被2整除，第4、8、12、…項的數(shù)，能被3整除，第5、10、15、…項的數(shù)，能被5整除。斐波那契數(shù)列包含的規(guī)律還有很多，大家可以自己找找看。

以上所描述的還不是斐波那契數(shù)列最神奇的地方。當(dāng)我們仔細觀察自然界時，會發(fā)現(xiàn)很多生物都在用自己的方式展示斐波那契數(shù)列。自然界中很多植物的花瓣的數(shù)目都恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)。比如在圖1中，我們能看到1個花瓣的馬蹄蓮，2個花瓣的虎刺梅。3個花瓣的延齡草，5個花瓣的飛燕草。8個花瓣的大波斯菊，13個花瓣的瓜葉菊。一些植物的果實對這個數(shù)列也有“特殊偏好”。如圖2，向日葵種子的排列可同時看作兩組螺旋線，如果我們用一對數(shù)表示向日葵中沿逆時針、順時針方向旋轉(zhuǎn)的螺旋線的條數(shù)的話，一般可以得到（21，34）或（34，55）或（55，89）或（89，144），它們恰好是斐波那契數(shù)列中兩個相鄰的數(shù)。在一些樹木的生長過程中，每層樹枝的數(shù)目也構(gòu)成斐波那契數(shù)列（如圖3）。大自然就是這么神奇！

為什么自然界中很多植物的生長規(guī)律會不約而同地遵循斐波那契數(shù)列呢？這是因為按照適者生存的法則，在長期的進化過程中。這樣的布局能使植物更充分地吸收陽光和空氣，更有利于植物的生長。

斐波那契數(shù)列看似簡單，卻蘊藏著無窮無盡的秘密。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，就要把這些隱藏著的秘密從自然現(xiàn)象中挖掘出來，對它們進行研究。從而使我們的生活變得更美好。

責(zé)任編輯：潘彥坤