線性空間的概念教學(xué)

孫曉青

【摘要】高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，也是各高校的考研必考科目之一。本文根據(jù)該課程和當(dāng)前學(xué)生的特點(diǎn)，以線性空間為代表，探討了高等代數(shù)概念教學(xué)的模式，目的是使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用所學(xué)概念去分析問題和解決問題。

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù) ?線性空間 ?概念 ?教學(xué)

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）11-0117-02

數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐表明，概念教學(xué)在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的基礎(chǔ)地位。數(shù)學(xué)概念教學(xué)要做到數(shù)學(xué)概念的邏輯形式與形成過程的思維過程相統(tǒng)一，本質(zhì)就是數(shù)學(xué)的內(nèi)容與思想方法的統(tǒng)一。因此如何講深講通基本概念，使學(xué)生能深刻理解、牢固掌握這些基本概念，這是講授這門課程應(yīng)該花力氣考慮的主要問題。

1.引入概念

概念引入的主要目的是通過引入這種教學(xué)方法引導(dǎo)學(xué)生更好的理解和掌握新概念?！耙钡氖挛锟梢允菍?shí)際生活中存在的，可以是本門課程前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也可以是其他已有的知識(shí)，總之，引的事物可以是多角度的、多方面的，它只是用于理解新概念的工具?！叭搿敝傅氖乔懊嬉氖挛锱c新概念的聯(lián)系，由此相關(guān)性才能成功的得到新概念。引入的過程從具體到抽象，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上能清楚的理解新概念的存在性。下面來看線性空間中兩個(gè)概念的引入：

（1）線性空間的定義是通過兩個(gè)例子來引出的，例1是在解析幾何中學(xué)過的三維空間，例2是為了解線性方程組討論過的n維向量空間，雖然它們考慮的對(duì)象不同，但是它們有一個(gè)共同點(diǎn)，那就是都有加法和數(shù)乘運(yùn)算，隨著對(duì)象不同，這兩種運(yùn)算的定義自然也不同，為了抓住它們的共同點(diǎn)，把它們統(tǒng)一起來研究，就是這章要學(xué)習(xí)的線性空間。

（2）在引入線性空間子空間的定義時(shí)，仍然以學(xué)生熟悉的三維幾何空間為例，在學(xué)習(xí)線性空間是已經(jīng)知道過原點(diǎn)的平面是一個(gè)一維線性空間，也就是說，它一方面是三維幾何空間的一部分，同時(shí)它對(duì)于原來的運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間，我們稱它為原來線性空間的一個(gè)子空間。

2.概況概念

（1）線性空間的定義較長(zhǎng)，學(xué)生不好理解和記憶，因此我們將其拆分成“2+8”去理解和記憶，“2”指加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足封閉性，“8”指8條運(yùn)算律。此處需要強(qiáng)調(diào)的是運(yùn)算的封閉性，這里常常被學(xué)生忽略。下面再舉些例子加以說明，如引例中提到的n維向量空間，以及數(shù)域P上的m×n階矩陣的全體、數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式環(huán)等，再加幾個(gè)反例，正反比較讓學(xué)生更進(jìn)一步掌握此概念。

（2）線性空間的子空間的定義，從字面理解為線性空間的子集也是一個(gè)線性空間，也就是說，設(shè)W是V的一個(gè)非空子集，若W對(duì)V中的加法和數(shù)乘運(yùn)算也滿足封閉性及8條運(yùn)算律，則W也是一個(gè)線性空間。原本這就是子空間的定義，然而通過進(jìn)一步驗(yàn)證，8條運(yùn)算律可以由兩運(yùn)算的封閉性推導(dǎo)得到，因此子空間的定義只需要求非空子集滿足運(yùn)算的封閉性即可。

3.分析解剖概念，揭示概念的關(guān)系

（1）在講解線性空間的維數(shù)與基的概念時(shí)，已經(jīng)看到線性空間里的線性組合、線性相關(guān)性、等價(jià)的定義與第三章向量空間學(xué)習(xí)的定義都類似，由此發(fā)現(xiàn)線性空間的維數(shù)與基同向量空間的極大無關(guān)組與秩的概念類同，學(xué)生可以聯(lián)系以前學(xué)過的知識(shí)去理解。

（2）同一個(gè)線性空間的兩組不同的基之間用過渡矩陣聯(lián)系起來。線性空間的基不止一個(gè)，同一個(gè)向量在不同基下坐標(biāo)一般是不同的，這就是說，一個(gè)向量的坐標(biāo)是依賴于基選擇的，即向量關(guān)于不同基的坐標(biāo)之間關(guān)系依賴于過渡矩陣。過渡矩陣是我們研究線性空間的一個(gè)重要工具，第七章線性變換的學(xué)習(xí)也會(huì)用此概念。將抽象的線性空間同具體的矩陣聯(lián)系起來，使學(xué)生更好的去理解、掌握。

4.強(qiáng)化概念的運(yùn)用

（1）計(jì)算子空間的維數(shù)與基，常見的題型有，求一組向量α1，…，αs的生成子空間L（α1，…，αs）的維數(shù)與基，學(xué)習(xí)了生成子空間的性質(zhì)后，求它的維數(shù)與基的問題就轉(zhuǎn)化成了求向量組α1，…，αs的秩與極大無關(guān)組的問題，這是我們熟知的算法。另外還有，求齊次線性方程組解空間的維數(shù)與基就是去求解此方程組，維數(shù)等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)減去系數(shù)矩陣的秩，一個(gè)基礎(chǔ)解系就構(gòu)成了解空間的一組基。我們看到新的概念與很多已有的知識(shí)是有緊密聯(lián)系的，這就需要我們?cè)谡莆张f的知識(shí)的基礎(chǔ)上聯(lián)系新的知識(shí)。

（2）線性空間的同構(gòu)給出了兩個(gè)線性空間的關(guān)系，由同構(gòu)的概念得到了有限維線性空間的一個(gè)劃分，維數(shù)相同的組成一類，也就是說，維數(shù)是有限維線性空間的唯一的本質(zhì)特征。例如，每一個(gè)數(shù)域P上n維線性空間都與n元數(shù)組成的空間Pn同構(gòu)，而同構(gòu)的線性空間有相同的性質(zhì)，由此可知，以前得到的關(guān)于Pn的一些結(jié)論，在一般的n維線性空間中也是成立的，而不必要一一重新證明。我們看到，利用同構(gòu)的概念，找到了不同線性空間之間的聯(lián)系，從而可以借助我們熟知的、簡(jiǎn)單的空間來了解一些復(fù)雜空間的性質(zhì)。

總而言之，以上介紹的線性空間的概念教學(xué)只是整個(gè)高等代數(shù)中一個(gè)局部的體現(xiàn)，在高等代數(shù)的整個(gè)教學(xué)過程中概念教學(xué)都占有極其重要的地位。基于高等代數(shù)本身的特點(diǎn)，在教學(xué)過程中注意運(yùn)用具體實(shí)例來幫助學(xué)生理解概念，降低學(xué)生理解的難度，激發(fā)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，同時(shí)有意識(shí)地幫助學(xué)生對(duì)所學(xué)概念及時(shí)分類整理，建立概念之間的聯(lián)系，達(dá)到對(duì)所學(xué)的概念形成一個(gè)有機(jī)的整體，從而最終靈活運(yùn)用所學(xué)概念去分析問題和解決問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳惠勇.數(shù)學(xué)史觀下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)新模式[J]. 高等數(shù)學(xué)研究.2007.