細(xì)菌模型的連續(xù)時空有限元方法

霍瑞娜,郭昱杉,冉營麗,關(guān)宏波

(1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,河南 鄭州 450015;2.鄭州輕工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南 鄭州 450002;3.鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,河南 鄭州 450064)

1.引言

本文考慮如下細(xì)菌模型[1]:

其中? ?R3為有界凸區(qū)域,??為?的邊界,T是總時間,a11,a12,a22均為正數(shù),u表示細(xì)菌的空間密度,w代表被傳染的人口密度,d1和d2均為正的擴散系數(shù),a11u代表細(xì)菌的自然死亡率;a12w為傳染病人群對細(xì)菌增長的貢獻;a22w代表傳染人口潛伏期產(chǎn)生的阻尼項;g(u)為在傳染病盛行期間,當(dāng)易受感染人口數(shù)量保持不變情況下的傳染率,并且滿足Lipschitz條件;u0=u0(x)和w0=w0(x)是t=0時刻的初值.

許多細(xì)菌在空氣中的傳播問題都可以歸結(jié)為上述細(xì)菌模型.細(xì)菌是目前生物中較為豐富的一類,會很大程度的影響到人們的身體健康,甚至威脅到生命安全.如果了解其傳播規(guī)律,則可以采取相應(yīng)有效措施,為保護人民健康提供有力保障.文[2]用Galerkin方法證明了該細(xì)菌模型初邊值問題整體解的存在性和唯一性.文[3]利用Leray-Schauder不動點定理證明了細(xì)菌模型在一維情形下周期解的存在唯一性.文[4]討論了一種具有非局部傳播特征的流行病模型,研究了初始數(shù)據(jù)和非局部分散對其空間傳播的影響.然而此類模型問題的精確解經(jīng)常無法解析表達,這直接影響到其應(yīng)用范圍,因此其數(shù)值計算方面研究備受關(guān)注.文[5]通過Green函數(shù)法討論了細(xì)菌模型周期平面波解的穩(wěn)點性.文[6]對帶有遷移的瘧疾病與瘧蚊數(shù)學(xué)模型提出了兩種交替方向有限元格式,并得到L2和H1模意義下的最優(yōu)差估計結(jié)果.文[7]針對吸血蟲數(shù)學(xué)模型提出一種非協(xié)調(diào)有限元格式,借助該非協(xié)調(diào)元插值算子的良好性質(zhì),在L2模及H1模意義下分別得到了最優(yōu)誤差估計結(jié)果和超收斂結(jié)果.文[8]利用單元的一些特性和非協(xié)調(diào)誤差估計技巧,使細(xì)菌模型分別在半離散和全離散的有限元格式下,得到最優(yōu)誤差估計以及超逼近結(jié)果.最近,文[9]還研究了該細(xì)菌模型的二重網(wǎng)格方法,建立向后Euler和Crank-Nicolson全離散格式,得到了相應(yīng)的整體超收斂結(jié)果.

連續(xù)時空有限元方法與上述文獻中提到的全離散有限元格式有所不同,它是對時間變量和空間變量進行統(tǒng)一處理的一種有限元方法,如果想得到任意階的收斂速度,其理論分析和數(shù)值計算格式相對統(tǒng)一,該方法已經(jīng)成功應(yīng)用于熱傳導(dǎo)方程[10]、Sobolev方程[11]、拋物方程[12]、反應(yīng)擴散方程[13]、對流擴散方程[14]等.然而,目前我們尚未見到關(guān)于細(xì)菌模型的連續(xù)時空有限元方法的相關(guān)報道.

本文使用連續(xù)時空有限元法,對細(xì)菌模型進行數(shù)值逼近,最后得到了相應(yīng)最優(yōu)階的誤差估計結(jié)果.寫作安排如下: 第2節(jié)引入時空投影算子,并闡述連續(xù)時空有限元方法的一些引理和性質(zhì);第3節(jié)進行有限元誤差分析,得到在時間節(jié)點tn處的最優(yōu)誤差估計結(jié)果;第4節(jié)對結(jié)論進行了總結(jié)和展望.

2.連續(xù)時空有限元方法

首先回顧專著[15]中關(guān)于Sobolev空間及范數(shù)的一些定義.Sobolev空間Hs(?)(s≥0)上的范數(shù)用‖· ‖s表示.特別地,當(dāng)s=0時,該空間退化為L2(?),相應(yīng)的內(nèi)積和范數(shù)分別是(·,·)和‖·‖0,其中L2內(nèi)積另外時空Sobolev空間及范數(shù)分別描述為

問題(2.1)所對應(yīng)的連續(xù)時空有限元格式為: 求(uhk,whk)∈Uhk×Uhk,使得

其中C是與網(wǎng)格剖分尺寸h及時間離散步長k無關(guān)的正常數(shù),不同的地方取值可能不同.

由于uhk和whk是經(jīng)過時間層的連續(xù)推移得到的,所以,對于n=1,2,3,···,N,(uhk,whk)∈Uhk×Uhk滿足

其中,Pl(Jn)表示定義在Jn上次數(shù)為l的多項式空間,而uhk(x,tn)(n=1,···,N)和whk(x,tn)(n=1,···,N)可以通過前面的時間層求出.

或者可以等價的寫為:

注1(2.7)-(2.8)可以看做為用Petrov-Galerkin方法來求解Sobolev方程,因為雖然試驗函數(shù)(uhk,whk)關(guān)于時間和空間是連續(xù)的,但是檢驗函數(shù)hk關(guān)于空間是連續(xù)的而關(guān)于時間是間斷的.

此外,定義關(guān)于時間方向的投影算子Pt:H1(0,T)→Skl([0,T]),易知Ptu(tn)=u(tn)(n=0,1,···,N).對任意的u ∈H1(0,T),成立

同時,對任意的u ∈Hs(0,T),有

另外,文[10]還證明了關(guān)于時空投影算子的如下逼近性質(zhì):

下面定理1給出離散格式(2.2)數(shù)值解的存在唯一性和穩(wěn)定性結(jié)果.

定理1如果g ∈L2(0,tn;L2(?)),則問題(2.2)存在唯一解(uhk,whk)∈Uhk×Uhk,并有下面的穩(wěn)定性結(jié)果

定理中(2.13)式得證.

將上式(2.23)兩邊從1到n求和,并由whk(0)=0得

定理中(2.14)式得證.

3.誤差估計

本節(jié)進行連續(xù)時空有限元的詳細(xì)誤差分析,得到本文主要結(jié)論如下:

證由(2.1)a),(2.2)a)及(2.5),得誤差方程:

根據(jù)Pt和Px的定義,得

再由(2.1)b),(2.2)b)及(2.6),可得

根據(jù)投影算子的定義,有

在(3.4)中取vhk=PtPxu ?uhk,得

在(3.7)中取vhk=PtPxw ?whk,并注意到g(u)滿足Lipschitz條件,有

將(3.9)與(3.11)相加,得

上式(3.12)由Gronwall不等式,有

由三角不等式及投影算子的性質(zhì),可得

結(jié)論(3.1)得證.至此定理證畢.

4.小結(jié)

本文主要研究了細(xì)菌模型在正則網(wǎng)格下的任意次協(xié)調(diào)有限元逼近,并得到了相應(yīng)的最優(yōu)階誤差估計結(jié)果,其結(jié)論也可以做進一步推廣應(yīng)用.事實上,對文[17-18]中關(guān)于非線性項的誤差估計技巧稍作改進,便可進行半線性和非線性細(xì)菌模型的有限元分析,同樣能夠得到最優(yōu)階的誤差估計結(jié)果.