關于IIR數(shù)字濾波器的設計

李凈 楊振平

【摘要】濾波器在實際信號處理中是非常重要的。任何被檢測的信號都含有噪聲，而濾波器是去除這種噪聲的。數(shù)字濾波器是具有一定傳輸選擇特性的數(shù)字信號處理裝置。數(shù)字信號的輸入與輸出是一個線性時不變的離散系統(tǒng)。它是利用離散系統(tǒng)特性對輸入信號進行加工處理，讓有用信號通過。數(shù)字濾波器和模擬濾波器都是用來濾波的，根據(jù)頻率響應特性可分為低通、高通、帶通、帶阻等類型；數(shù)字濾波器按單位脈沖響應的性質可分為無限長單位脈沖響應濾波器IIR和有限長單位脈沖響應濾波器FIR兩種。本文主要介紹IIR數(shù)字濾波器的設計。

【關鍵詞】數(shù)字濾波器 IIR 沖激響應不變法 雙線性變換法

一、引言：

隨著信息學科的快速發(fā)展，數(shù)字信號處理技術正在飛速發(fā)展，并且滲透到其它技術中。數(shù)字濾波技術是數(shù)字信號分析、處理技術的重要分支。它對信號安全可靠和有效靈活的傳輸是至關重要的。

二、IIR數(shù)字濾波器的設計方法

一個數(shù)字濾波器可以用系統(tǒng)函數(shù)表示為：

由這樣的系統(tǒng)函數(shù)可以得到表示系統(tǒng)輸入與輸出關系的常系數(shù)線性差分方程為：

由此可知數(shù)字濾波器的功能就是把輸入序列x（n）通過一定的運算變換成輸出序列y（n）。不同的處理方法決定了濾波器實現(xiàn)結構的不同。無限沖激響應濾波器的單位抽樣響應h（n）是無限長的，其差分方程是遞歸型的，在結構上存在著輸出信號到輸入信號的反饋，所以在z平面的有限區(qū)間（0<︱z︱<∞）有極點存在。

目前，IIR數(shù)字濾波器的設計最通用的方法是借助于模擬濾波器的設計方法。模擬濾波器設計已經(jīng)相當成熟了，給數(shù)字濾波器的設計帶來了很大的方便。

IIR數(shù)字濾波器的設計步驟如下（間接法）：

（1） 按任務需要將給出的數(shù)字濾波器的性能指標轉換為模擬濾波器的技術指標；

（2） 根據(jù)轉換后的性能指標設計模擬低通濾波器H（s）；

（3） 再按照一定的規(guī)則將H（s）轉換為H（z）。

（4） 若所設計的數(shù)字濾波器是低通的，那么上述設計工作就可以結束了，若所設計的是高通，帶通或帶阻濾波器，那么需要把它們的性能指標轉化為低通濾波器的技術指標，然后按照步驟（2）設計出模擬低通濾波器H（s），在利用沖激響應不變法或雙線性變換法將H（s）轉換為H（z）。

間接法s – z映射的方法有沖激響應不變法，階躍響應不變法和雙線性變換法三種方法。下面分別討論沖激響應不變法和雙線性變換法。

采用沖激響應不變法設計數(shù)字濾波器就是使單位樣值響應h（n）與相應的模擬濾波器的沖激響應 在抽樣點的量值相等，即 其中T為抽樣周期。

因此用沖激響應不變法設計IIR數(shù)字濾波器就得首先根據(jù)設計要求來確定相應的模擬濾波器的傳遞函數(shù) ，經(jīng)過拉普拉斯的反變換求出沖激響應 后，對它進行抽樣得到的 等于數(shù)字濾波器的單位樣值響應h（n），在經(jīng)過z變換得到的H（z）就是數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。如果模擬濾波器的 的分母階次大于分子的階次，則可將 展成部分分式形式

那么經(jīng)過拉普拉斯反變換求出的模擬濾波器的沖激響應 則為

相應的數(shù)字濾波器的單位樣值響應為

對h（n）進行z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)

由上述推導公式可知，只要模擬濾波器的傳遞函數(shù) 的N個極點 都是單極點，當已經(jīng)求出各個極點的值 和部分分式的系數(shù) 后，則可以從模擬濾波器的傳遞函數(shù)的表達式（ ）直接得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H（z）的表達式（ ）。

雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似的一種變換，它將s平面整個變換到一個中介的s1平面的一個水平窄帶 Ω：-π/T到

π/T之中，然后經(jīng)過 的變換，將s1平面的映射到z平面。這樣s平面就與s平面一 一對應，消除了多值變換性，避免出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。

S平面到z平面的變換可利用

令 jΩ=s， jΩ1=s1得：

從s1平面到z平面的變換即 ，代入上式，得到：

為使模擬濾波器的某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應關系，可引入待定系數(shù)c，則Ω=c*tan（Ω1T/2）由此得到

這種s平面與z平面之間的單值映射關系就是雙線性變換，模擬濾波器的數(shù)字化只須用上述方法置換。

沖激響應不變法與雙線性變換法的比較分析：

沖激響應不變法的模擬頻率到數(shù)字頻率的轉換是線性的但是它在一定條件下會出現(xiàn)混疊失真，雙線性變換法雖然可以克服多值映射的關系和消除頻率混疊的現(xiàn)象，但是它是非線性的，在高頻處有較大的失真。所以沖激響應不變法的數(shù)字化和雙線性變換法的數(shù)字化要根據(jù)實際情況運用。

三、結束語：

本文主要介紹了IIR濾波器的性能指標，設計方法和特點。通常IIR濾波器的設計過程如下：首先根據(jù)濾波器的參數(shù)要求設計對應的濾波器（如巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器等等），然后通過映射（如沖激響應不變法、雙線性變換法等等）將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器，從而確定IIR濾波器的參數(shù)。IIR數(shù)字濾波器的最大缺點在于反饋的穩(wěn)定性不能得到保證。

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