對(duì)偶思想及其在初等數(shù)學(xué)中的指導(dǎo)作用

梁俊飛　梁雪

【摘要】 本文通過(guò)對(duì)高等幾何中的對(duì)偶原則的分析探究，提煉了對(duì)偶思想的概念，然后討論了對(duì)偶思想對(duì)學(xué)科的發(fā)展、解題以及對(duì)教師教學(xué)的指導(dǎo)作用.

【關(guān)鍵詞】初等數(shù)學(xué)；對(duì)偶思想；對(duì)偶元素

【中圖分類】O18；G642.0

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)中，人們?cè)絹?lái)越重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)滲透，數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的內(nèi)容已引起教育界的普遍關(guān)注和高度重視，它是聯(lián)系知識(shí)與能力的紐帶，對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高思維水平都具有十分重要的作用.本文將研究一種極具美感的一種數(shù)學(xué)思想，對(duì)偶思想.

1.對(duì)偶思想概述

我們將從高等幾何中的對(duì)偶原則出發(fā)，逐步闡述對(duì)偶思想的內(nèi)涵.

點(diǎn)與直線是射影平面上的基本元素，它們是射影平面中的一對(duì)對(duì)偶元素.在射影平面里設(shè)由點(diǎn)、直線及其相互結(jié)合的順序關(guān)系所組成的一個(gè)命題，將此命題中的各元素改為它的對(duì)偶元素，其結(jié)果形成另一個(gè)命題，這兩個(gè)命題叫作平面對(duì)偶命題.在射影平面里，如果一個(gè)命題成立，則它的對(duì)偶命題也成立，這就是高等幾何中的對(duì)偶原則.例如：

命題A：通過(guò)不同兩點(diǎn)必有一直線.

命題B：兩不同直線必有一交點(diǎn).

命題A與命題B是一對(duì)對(duì)偶命題，命題A成立，由對(duì)偶原則，在射影平面里，命題B也成立.注意，對(duì)偶原則僅在射影平面上成立，原因在于點(diǎn)和直線在射影平面上是對(duì)等的，地位是平等的，是一對(duì)對(duì)偶元素，可以彼此互換.而在歐氏平面中，點(diǎn)與直線的地位不對(duì)等，不能構(gòu)成一對(duì)對(duì)偶元素，于是在歐氏平面中，命題A成立，但命題B并不成立，對(duì)偶原則失效.

高等幾何里的對(duì)偶原則其實(shí)是對(duì)偶思想在具體學(xué)科中的體現(xiàn).可以看出，一個(gè)對(duì)偶問(wèn)題，首先要有對(duì)偶元素，要成為對(duì)偶元素，需要這兩個(gè)元素的地位平等、可以互換，要有相似的性質(zhì)；其次，他們具有內(nèi)在的聯(lián)系.在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中，當(dāng)原問(wèn)題難以得到解決或者解決方法很復(fù)雜時(shí)，我們可以考慮利用已知條件中元素的對(duì)偶元素來(lái)構(gòu)造一個(gè)與之地位、作用、功能、性質(zhì)等完全相同或相似，彼此之間存在內(nèi)在的關(guān)聯(lián)的對(duì)偶式或直接利用對(duì)偶元素的等價(jià)性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題的思想方法，稱為對(duì)偶思想.

通過(guò)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中對(duì)偶思想方法的研究，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)偶思想在對(duì)學(xué)科的發(fā)展、解題、教師教學(xué)三個(gè)方面均有重要指導(dǎo)作用.

2.對(duì)偶思想對(duì)學(xué)科發(fā)展的促進(jìn)作用

解析幾何把代數(shù)方程和曲線曲面等聯(lián)系了起來(lái)，這一創(chuàng)造是數(shù)學(xué)中最豐富最有效的設(shè)想之一.在很長(zhǎng)的一段時(shí)間里，幾何與代數(shù)是各自發(fā)展的，互相分離或只有局部的聯(lián)系，就連偉大的數(shù)學(xué)家牛頓也堅(jiān)持要區(qū)別數(shù)的運(yùn)算和希臘人對(duì)于幾何物體的運(yùn)算.直到費(fèi)馬和笛卡爾時(shí)代來(lái)臨的時(shí)候，他們希望把幾何與代數(shù)結(jié)合起來(lái)，讓它們之間可以相互轉(zhuǎn)換，也就是要讓它們成為我們所說(shuō)的對(duì)偶元素，這時(shí)才真正的將幾何與代數(shù)實(shí)質(zhì)性結(jié)合起來(lái)，促進(jìn)了雙方的共同發(fā)展.

再舉一例——牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立的微積分學(xué).在微積分創(chuàng)立之前，其實(shí)已經(jīng)有很多數(shù)學(xué)家研究過(guò)已知物體移動(dòng)的距離表示為時(shí)間的函數(shù)的公式，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度問(wèn)題（微分問(wèn)題），已知物體的速度求物體位移的問(wèn)題（積分問(wèn)題），也取得了很大的進(jìn)展，但當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們只是把它們當(dāng)成是兩個(gè)不同的問(wèn)題在研究，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.牛頓和萊布尼茲對(duì)微積分的主要貢獻(xiàn)就是發(fā)現(xiàn)微分與積分其實(shí)是一對(duì)對(duì)偶元素，它們其實(shí)是可以相互轉(zhuǎn)換的，這個(gè)發(fā)現(xiàn)促使了微積分的創(chuàng)立.如今的中學(xué)已經(jīng)開(kāi)始學(xué)習(xí)一些初級(jí)的微積分了，如果教師從對(duì)偶的觀點(diǎn)、統(tǒng)一的觀點(diǎn)來(lái)講授微積分，而不是僅僅讓同學(xué)們死記一些公式可能會(huì)對(duì)學(xué)生掌握微積分思想產(chǎn)生更好的效果.

3.對(duì)偶思想對(duì)解題的指導(dǎo)作用

在解題中，我們可以利用對(duì)偶元素構(gòu)造對(duì)偶式，再利用對(duì)偶元素之間的內(nèi)在聯(lián)系、兩個(gè)對(duì)偶式之間的協(xié)同作用，使得問(wèn)題得到快速、巧妙的解答；或者利用對(duì)偶元素之間內(nèi)在等價(jià)性質(zhì)，使得原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為其對(duì)偶問(wèn)題，從而使問(wèn)題變得更容易解決.

4.對(duì)偶思想對(duì)中小學(xué)教師教學(xué)的指導(dǎo)作用

導(dǎo)入是我們的教學(xué)過(guò)程中一個(gè)很重要的步驟，很多時(shí)候教師會(huì)感覺(jué)導(dǎo)入很難設(shè)計(jì)，有了對(duì)偶思想的指導(dǎo)，我們經(jīng)常可以通過(guò)對(duì)偶元素來(lái)引入新課.在講課過(guò)程中，無(wú)論是新課還是習(xí)題課，適時(shí)地提及對(duì)偶，可以使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間不是孤立的，而是相互聯(lián)系的，知識(shí)之間存在著這樣的一種內(nèi)在的和諧.這樣不僅可以讓學(xué)生更好地掌握知識(shí)，還可以系統(tǒng)化所學(xué)知識(shí)，有利于日后的知識(shí)提取.進(jìn)一步，還可以利用對(duì)偶思想培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

數(shù)學(xué)是研究自然的科學(xué)，自然的和諧決定了數(shù)學(xué)的和諧，而數(shù)學(xué)的和諧也反過(guò)來(lái)印證了自然的和諧，對(duì)偶思想正揭示了這種和諧.本文通過(guò)對(duì)對(duì)偶思想的研究，認(rèn)識(shí)到對(duì)偶思想不僅能夠指導(dǎo)解題，更能夠使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)系統(tǒng)化.在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生在中小學(xué)時(shí)代就接觸這種并不難理解，但卻充滿了美與和諧，且十分重要的對(duì)偶思想，對(duì)學(xué)生以后更好更深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)是具有極其重要的意義的.

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