RMI原則下高中解析幾何解題教學(xué)探究

馮興進　盧建川

一、解析幾何產(chǎn)生的歷史背景

眾所周知，解析幾何是代數(shù)和幾何相結(jié)合的產(chǎn)物.比笛卡爾早出生56年的韋達，在前人的經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，有意識地系統(tǒng)地使用字母表示數(shù)，在他的成名作《分析入門》一書里，把代數(shù)看作一門符號化的科學(xué)，也正因為這一貢獻，韋達被西方稱為“代數(shù)之父”.代數(shù)的成熟，為笛卡爾向解析幾何的邁進奠定了基礎(chǔ).出生在1596年3月31日的笛卡爾，他是一個十分注重方法的大家，他在自己創(chuàng)立的哲學(xué)中證明上帝的存在，并認(rèn)為上帝一定是按照數(shù)學(xué)定律來建立自然界的.所以笛卡爾認(rèn)為作為來源于自然界的形式幾何也應(yīng)是數(shù)學(xué)的化身（當(dāng)時數(shù)學(xué)指的大多是代數(shù)）.而事實上，笛卡爾在這方面做的更多的是把代數(shù)用到幾何上去.笛卡爾所創(chuàng)立的解析幾何的精髓在于他不僅把前人的網(wǎng)格簡化為坐標(biāo)系（笛卡爾的坐標(biāo)系與今天的平面直角坐標(biāo)系不同，他不要求橫軸和另一坐標(biāo)軸的夾角互相垂直），并且把字母表示數(shù)引入到幾何學(xué)中去.有了笛卡爾所邁出的具有決定意義的第一步，人類對幾何的研究從“定性”推進到“定量”了.值得注意的是：笛卡爾是從幾何出發(fā)然后尋找到幾何的方程.而與笛卡爾恰恰相反，出生于1601年的費馬卻是從代數(shù)方程出發(fā)畫出方程所表示的幾何，就像用描點法作圖一樣.

從解析幾何產(chǎn)生的歷史背景我們可以知道：解析幾何不僅使得幾何與數(shù)量、運動與靜止、辯證與算術(shù)開始融為一體，它還是數(shù)學(xué)走向空間解析幾何的一個啟示，是微積分產(chǎn)生的歷史條件.所以解析幾何的教育價值是非凡的.解題是我們當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的一大任務(wù)，所以在具體的解析幾何解題教學(xué)中我們要體現(xiàn)它原有的綜合性和融合性，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一.

二、高中解析幾何解題教學(xué)的性質(zhì)和現(xiàn)狀

解析幾何的產(chǎn)生是得益于幾何和代數(shù)的成熟發(fā)展，就解析幾何解題本身而言，就如弗萊登塔

爾所言，解析幾何就是一些算法.現(xiàn)行的高中解析幾何知識教學(xué)中，大多數(shù)學(xué)教師認(rèn)為解析幾何的學(xué)科性質(zhì)是偏重于代數(shù)的，學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的宗旨就是要學(xué)會代數(shù)計算和代數(shù)方法；課程目標(biāo)就是讓學(xué)生學(xué)會列方程，熟練解方程，即使注重數(shù)形結(jié)合這一核心思想，也側(cè)重于幾何問題代數(shù)化這單一的方面；教學(xué)上偏重于列方程和解方程，以訓(xùn)練算法為主，靠做大量習(xí)題提高代數(shù)技巧.在具體問題的解決過程中還會涉及用到許多的思想方法，例如：映射、化歸、方程、函數(shù)、分類、變換、參數(shù)等.然而高中解析幾何題要解題者得到的結(jié)論形式要么是代數(shù)關(guān)系要么是幾何結(jié)論.那我們?nèi)绾芜\用頭腦中已有的由代數(shù)和幾何綜合而成的解析幾何知識得到這般的結(jié)論呢？如果在此過程中還涉及其他思想方法，這些思想方法能否實現(xiàn)為解題者“雪中送炭”呢？這一切取決于解題者有沒有一定的實踐指導(dǎo)原則.

三、高中解析幾何解題教學(xué)探究——基于RMI原則

由于解析幾何是幾何和代數(shù)的混沌，作為解題者如何把握好這種混沌的知識，讓它們更好地引領(lǐng)我們得到我們想要的代數(shù)關(guān)系或者幾何結(jié)論呢？

從解析幾何產(chǎn)生的歷史背景我們可以知道：解析幾何其實就是代數(shù)、幾何與笛卡爾坐標(biāo)平面共同構(gòu)成的一個映射，它們之間的互相轉(zhuǎn)化就是映射和反演兩種操作的完成.通常，一個幾何問題無非是關(guān)于某些特定幾何圖像間的關(guān)系問題.這種關(guān)系結(jié)構(gòu)問題在笛卡爾坐標(biāo)平面的映射下便轉(zhuǎn)化為代數(shù)式之間的關(guān)系問題.于是通過代數(shù)運算不難求得所需的一些代數(shù)關(guān)系.這些關(guān)系再翻譯回去就可得出原來幾何圖形間的某種幾何結(jié)論.上述就是解答解析幾何問題的思想方法，可以簡單地用框圖表示：

綜上，解答解析幾何問題的基本思想是符合RMI原則的.在解析幾何解題教學(xué)中以RMI原則為指導(dǎo)，不但可以在方法上更好地讓我們運用混沌的解析幾何知識得到單純的代數(shù)關(guān)系或幾何結(jié)論；而且可以客觀上影響目前高中解析幾何解題教學(xué)的導(dǎo)向，從而促進解析幾何課程科學(xué)有效地實施.在具體解題教學(xué)中，我們?nèi)绾误w現(xiàn)RMI原則呢？

[2013年廣東理數(shù)A卷20題]已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c>0）到直線l：x-y-2=0的距離為32[]2.設(shè)P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點.

（Ⅰ） 求拋物線C的方程；

（Ⅱ） 當(dāng)點P（x0，y0）為直線l上的定點時，求直線AB的方程；

（Ⅲ） 當(dāng)點P在直線l上移動時，求|AF|·|BF|的最小值.

分析 顯然這道題要求我們得到的結(jié)論都是代數(shù)關(guān)系的形式，所以把題中的幾何圖像及其之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)式及其之間的代數(shù)關(guān)系是該道題的主要方向，通過對代數(shù)關(guān)系進行一定的代數(shù)運算得到特定的代數(shù)關(guān)系是解題的主要任務(wù).

（Ⅰ） 依題意，設(shè)拋物線C的方程為x2=4cy，由|0-c-2|[]2=32[]2結(jié)合c>0，

解得c=1.所以拋物線C的方程為x2=4y.

（Ⅱ） 拋物線C的方程為x2=4y，即y=1[]4x2，求導(dǎo)得y′=1[]2x.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）其中y1=x21[]4，y2=x22[]4，則切線PA，PB的斜率分別為1[]2x1，1[]2x2，

所以切線PA的方程為y-y1=x1[]2（x-x1），即y=x1[]2x-x21[]2+y1，即x1x-2y-2y1=0.

同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0.

因為切線PA，PB均過點P（x0，y0），所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0.

所以（x1，y1），（x2，y2）為方程x0x-2y0-2y=0的兩組解.

所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.

（Ⅲ） 由拋物線定義可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，

所以|AF|·|BF|=（y1+1）（y2+1）=y1y2+（y1+y2）+1.

聯(lián)立方程x0x-2y-2y0=0

x2=4y

，消去x整理得y2+（2y0-x20）y+y20=0.

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y1+y2=x20-2y0，y1y2=y20.

所以|AF|·|BF|=y1y2+（y1+y2）+1=y20+x20-2y0+1.

又點P（x0，y0）在直線l上，所以x0=y0+2.

所以y20+x20-2y0+1=2y20+2y0+5=2y0+1[]22+9[]2.

所以當(dāng)y0=-1[]2時，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值為9[]2.

點評 （1）該題的第一問顯然簡單，但我們要知道它為什么如此簡單.這是由于我們需要轉(zhuǎn)化的幾何和幾何關(guān)系本來就少，而且轉(zhuǎn)化之后得到的代數(shù)關(guān)系是簡單的一元一次方程，固然第一問即是一元一次方程的求解問題.

（2）第二問需要轉(zhuǎn)化的幾何和幾何關(guān)系是：兩條切線和交點P與切線的關(guān)系.對應(yīng)轉(zhuǎn)化得到兩切線的方程，P點坐標(biāo)同時滿足兩切線方程.所以第二問的關(guān)鍵在于由代數(shù)關(guān)系觀察抽象得到直線AB的方程.

（3）第三問需要轉(zhuǎn)化的幾何是：問題中的|AF|·|BF|和P與直線l的關(guān)系.對應(yīng)轉(zhuǎn)化得到（y1+1）（y2+1）=y1y2+（y1+y2）+1（二元二次函數(shù)）和x0=y0+2.此時可以發(fā)現(xiàn)問題的解決就是如何通過已有的代數(shù)式把二元二次函數(shù)消元變成一元二次函數(shù)，以便把最值問題轉(zhuǎn)化為求一元二次函數(shù)的最值問題.

所以該題的整個解題過程基本可以歸納為這樣一個框架：

四、結(jié) 語

以RMI原則指導(dǎo)實踐解析幾何解題教學(xué)是解析幾何課程教學(xué)本質(zhì)的需要，能很好地實現(xiàn)教師教學(xué)的宗旨和充分體現(xiàn)解析幾何的教育價值.在實際課堂中，基于RMI原則的解析幾何解題教學(xué)還可以促進師生課堂的共同探究和交流，培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力.弗萊登塔爾認(rèn)為任何思辨的新生事物都在其自身中包含著算法的萌芽，這是數(shù)學(xué)的特點.算法化意味著鞏固，為更深的發(fā)掘提供技巧，我們在解析幾何解題中僅僅體現(xiàn)解析幾何算法的本質(zhì)是不夠的，更要體現(xiàn)解析幾何在思辨之后對算法的更高需求的這種跳躍，這不僅僅是數(shù)學(xué)的特點，更是數(shù)學(xué)的魅力.