讓“抽象代數(shù)”生動起來

萬吉湘

【摘要】用教學(xué)中的實(shí)踐案例闡述選用直觀有效的例子讓學(xué)生變抽象為具體的技巧.主要途徑有多舉例子，舉身邊的例子，舉學(xué)科前沿的例子，用例子解釋定義和定理，把定理回歸應(yīng)用到例子，旨在化難為易，激發(fā)學(xué)生興趣.

【關(guān)鍵詞】抽象代數(shù)；案例；生動

“近世代數(shù)”是研究代數(shù)系統(tǒng)的一門學(xué)科，所謂代數(shù)系統(tǒng)就是帶有運(yùn)算的集合，群、環(huán)、域就是三種帶有運(yùn)算的集合，它們是把集合中運(yùn)算共同點(diǎn)抽象出來做成不同的代數(shù)體系，從這點(diǎn)上看，“近世代數(shù)”是研究本質(zhì)規(guī)律的一門學(xué)科.“近世代數(shù)”又名“抽象代數(shù)”，以其抽象性讓學(xué)生望而生畏.近年來，國內(nèi)眾多學(xué)者和教育工作者在該學(xué)科教學(xué)方面的研究在不斷探索和完善中.當(dāng)代數(shù)學(xué)家馮克勤這樣說：“一個(gè)好的教員要能講出數(shù)學(xué)中的‘道理和‘意思，還數(shù)學(xué)以生動活潑的本來面目，才會消除學(xué)生由于抄黑板、背定理和做機(jī)械重復(fù)性習(xí)題而產(chǎn)生對數(shù)學(xué)不應(yīng)有的厭煩情緒.”由此可以引發(fā)思考，對于“抽象代數(shù)”，要讓學(xué)生看到它的可愛和生動，對癥下藥的方法就是，從案例出發(fā)，提煉出定理結(jié)論，再用案例來加深認(rèn)識，變抽象為具體，盡可能地讓學(xué)生對概念、理論有比較直觀而又清晰的認(rèn)識和理解.

1.多舉例子

例1 群、環(huán)、域是“近世代數(shù)”里中心的三大代數(shù)系統(tǒng)，作為學(xué)生們第一個(gè)接觸的代數(shù)系統(tǒng)，群也是構(gòu)成環(huán)的先決條件，群的定義的掌握至關(guān)重要.在實(shí)際教學(xué)中，讓學(xué)生記憶背誦群的定義，既生硬，效果也不太好，重點(diǎn)應(yīng)放在讓學(xué)生了解對象是一個(gè)非空集合，上面有一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，該運(yùn)算滿足封閉、結(jié)合律、左單位元存在、每個(gè)元有左逆元這四個(gè)條件.在這個(gè)前提下，舉出一系列集合和相應(yīng)運(yùn)算，讓學(xué)生自己判斷，這樣反復(fù)判斷中，學(xué)生在自然記憶群的定義的同時(shí)，獲得了大量的群，為今后的學(xué)習(xí)提供了實(shí)際例子.在例題選擇方面，可考慮數(shù)字群，如自然數(shù)集N，整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實(shí)數(shù)集R，復(fù)數(shù)集C，代數(shù)運(yùn)算可以選擇普通的數(shù)的加、減、乘、除，如果是群，驗(yàn)證，不是群，說出理由.第二類可以舉矩陣構(gòu)成的集合，分析對矩陣的加、減、乘運(yùn)算是否構(gòu)成群，另外還可以取對象是多項(xiàng)式的集合，對多項(xiàng)式的加、減、乘運(yùn)算是否做成群，這里面有的做成群，有的不作成群，同時(shí)學(xué)生還能認(rèn)識到同一個(gè)集合，不同的運(yùn)算會做成不一樣的群.

2.舉身邊的例子

生活中處處皆數(shù)學(xué)，選擇貼近生活的數(shù)學(xué)例題，讓學(xué)生感覺數(shù)學(xué)就在身邊，從而加深對知識的認(rèn)識和理解，如回顧映射定義時(shí)我們可以引入這樣的例子.

例2 判斷以下集合對對應(yīng)法則是否做成映射.

設(shè)A是綿陽師范學(xué)院畢業(yè)的所有大學(xué)生組成的集合，B是學(xué)校設(shè)立過的所有專業(yè)的集合，其中對應(yīng)法則是：A中元素對應(yīng)B中自己所學(xué)專業(yè).

設(shè)A是綿陽師范學(xué)院畢業(yè)的所有大學(xué)生組成的集合，B是學(xué)校設(shè)立過的所有專業(yè)的集合，其中對應(yīng)法則是：A中元素對應(yīng)B中自己首次所學(xué)專業(yè).

通過例題的分析和啟發(fā)，學(xué)生會直觀地發(fā)現(xiàn)原來映射定義中所說的A中任何元素與B中唯一元素對應(yīng)的實(shí)質(zhì).

例3 等價(jià)關(guān)系是指滿足反身性、對稱性、傳遞性的一種關(guān)系，在掌握定義時(shí)，學(xué)生曾反映有迷惑，在教學(xué)中，可以采用舉身邊的例子讓學(xué)生認(rèn)識到其實(shí)抽象的概念也是很具體的.

如假設(shè)全班同學(xué)沒有人住混合寢室，兩名同學(xué)A與B有關(guān)系是指住在同一個(gè)寢室，學(xué)生很容易判斷任意兩名同學(xué)要么在同一個(gè)寢室，要么不在一寢室，所以首先是一種關(guān)系，另外，自己住在一個(gè)寢室；A與B在一個(gè)寢室，B與A也在一個(gè)寢室；A與B在一個(gè)寢室，B與C在一個(gè)寢室，那肯定A也與C在一個(gè)寢室，這樣，反身性、對稱性、傳遞性的證明就變得簡單生動了，學(xué)生也會感覺在一種愉快有趣的場景中深刻理解了定義.

另外，集合的一種等價(jià)關(guān)系會做出一種集合的分類，一種集合的分類方法會決定一個(gè)等價(jià)關(guān)系，在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生會覺得這個(gè)結(jié)論似懂非懂，用剛才的例子也能輕松解決這個(gè)問題，只需要把關(guān)系定義為A與B有關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)住在同一個(gè)寢室，這時(shí)對應(yīng)的分類就是全班同學(xué)被分成了多個(gè)寢室的并集，而這些寢室之間沒有交集.

3.舉學(xué)科前沿的例子

在講授環(huán)論時(shí)，經(jīng)常會涉及一類重要的環(huán)類，即高斯數(shù)環(huán)，如果只是告訴學(xué)生高斯數(shù)環(huán)的定義，學(xué)生會覺得很突然，為什么取那樣的元素出來？對于普通數(shù)的加法和乘法，就構(gòu)成一個(gè)環(huán)，理解它構(gòu)成環(huán)后，這個(gè)環(huán)有什么作用，是憑空想象出來的嗎？這里可以跟學(xué)生講講高斯如何解決二平方和問題.

所謂二平方和問題，是指哪些正整數(shù)n可表示成兩個(gè)整數(shù)的平方和，即方程x2+y2=n是否有整數(shù)解？我們知道，多項(xiàng)式x2+y2在整數(shù)范圍內(nèi)是不可約的，高斯的第一個(gè)想法是把整數(shù)范圍擴(kuò)大，加入復(fù)數(shù)i=-1，則多項(xiàng)式x2+y2=（x+yi）（x-yi）分解成兩個(gè)一次多項(xiàng)式的乘積，從而方程x2+y2=n變成（x+yi）（x-yi）=n，這就是說，n可表示成整數(shù)的二平方和當(dāng)且僅當(dāng)n是復(fù)數(shù)x+yi和它的共軛復(fù)數(shù)x-yi的乘積，其中均是整數(shù).而這樣的復(fù)數(shù)x+yi，（x，y∈Z）現(xiàn)在被稱為高斯整數(shù)，由這樣的高斯整數(shù)做成的集合關(guān)于普通數(shù)的加法和乘法做成一個(gè)環(huán)，而且是交換環(huán)，這就是高斯數(shù)環(huán).

學(xué)生會發(fā)現(xiàn)原來高斯數(shù)環(huán)不是橫空出世，是為了探究二平方和問題而制造的一個(gè)工具，讓學(xué)生了解學(xué)科前沿的同時(shí)，會有不是為了學(xué)習(xí)而學(xué)習(xí)，而是為了解決問題而學(xué)習(xí)的體會.

4.用例子解釋定義和定理

凱萊定理告訴我們，任何一個(gè)群都會與一個(gè)變換群同構(gòu)，這似乎揭示了，如果把變換群搞清楚了，所有群類都清楚了.變換群是一類比較抽象的群類，同時(shí)也是教學(xué)和學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，難點(diǎn)在于這個(gè)群里面的元素是變換.在講授這個(gè)定義之前，不妨先舉出例子：

例4 設(shè)集合M={1，2}，M的全部變換如下：

τ1：1→1，2→1；τ2：1→2，2→2；τ3：1→2，2→1；ε：1→1，2→2.

問：（1）T（M）={τ1，τ2，τ3，ε}關(guān)于變換乘積是否做成群？

（2）S（M）={τ3，ε}關(guān)于變換乘積是否做成群？

通過和學(xué)生們一起分析，能看到T（M）關(guān)于變換乘積不做成群，而S（M）關(guān)于變換乘積做成群.在解題的同時(shí)，學(xué)生會對元素為變換的群有一個(gè)具體的認(rèn)識，原來這就是變換群.然后再給出變換群的定義.

5.把定理回歸應(yīng)用到例子

大到學(xué)習(xí)一門學(xué)科，小到學(xué)習(xí)某個(gè)結(jié)論，學(xué)生們常會有這樣的疑問：學(xué)了它有什么用？在前面所講到的用例子讓學(xué)生對定義、定理有更深認(rèn)識的前提下，如果能夠在辛苦地證完一個(gè)定理后，馬上給學(xué)生展示這個(gè)結(jié)論會給我們的研究學(xué)習(xí)帶來什么樣的用處和好處，可以大大提高學(xué)習(xí)的積極性，在例題的選擇上就要求有針對性.下面用一個(gè)案例來說明這種方法.

研究一個(gè)對象可以有兩條途徑，一是從局部到整體，研究一部分元素的性質(zhì)，再聯(lián)系到整個(gè)對象的性質(zhì)；二是建立對象與對象之間的聯(lián)系.在群論中，同態(tài)和同構(gòu)就建立起代數(shù)系統(tǒng)之間的關(guān)系，在同態(tài)下很多代數(shù)性質(zhì)可以傳遞，在同構(gòu)下，兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)可以看成是同一個(gè)系統(tǒng).

結(jié)束語

韓愈的《師說》曰：“師者，所以傳道授業(yè)解惑也”，是指教育的綜合的過程：傳道，授業(yè)，解惑，三個(gè)并列而行.作為當(dāng)今教師，對授業(yè)要求更高，特別是數(shù)學(xué)老師，不僅要教會知識，還要做到讓學(xué)生知道知識體系的來龍去脈，“抽象代數(shù)”比較注重邏輯思維，在思路上、技巧上都和通常的認(rèn)知有所不同，這需要教師花更多的精力思考如何把教學(xué)內(nèi)容變得生動，如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，注重思維培養(yǎng)，不只是教會學(xué)生做題.這將是教育工作者們長期思考和探究的課題.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]顧沛.“抽象代數(shù)”教學(xué)中的素質(zhì)教育[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22（3）：9-13.