價(jià)格均值回歸的跳躍擴(kuò)散模型

李立群

摘 要：金融工程對(duì)均值回歸的跳躍擴(kuò)散的模型首先是應(yīng)用于利率的預(yù)測(cè)與定價(jià)方面。這方面最早應(yīng)追溯至Merton對(duì)利率的研究以及在由此發(fā)展而來(lái)的無(wú)套利模型，代表作有Hull-White模型、Ho-Lee模型等。Das[1，2]則明確指出了利率市場(chǎng)中的跳躍行為，并且認(rèn)為可以把跳躍以及非跳躍部分分開估計(jì)，各部分相互獨(dú)立，即復(fù)合的跳躍-擴(kuò)散模型。當(dāng)然，金融模型都具備有一定的通用性，即只要滿足模型的設(shè)定條件，價(jià)格走勢(shì)與利率走勢(shì)也將具備同樣的規(guī)律，其中就包括電力價(jià)格的預(yù)測(cè)問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：均值回歸 跳躍 擴(kuò)散 價(jià)格模型

電是一種典型的公共商品，在大部分國(guó)家與地區(qū)，電力均受到了弱或者強(qiáng)的管制。但是在分析電力的價(jià)格決定特征時(shí)，我們卻可以發(fā)現(xiàn)些很好的特征。首先，電力的供給與需求整體而言是容易預(yù)測(cè)的，呈現(xiàn)出很好的季節(jié)性。而且每日的電力供需走動(dòng)都沒有規(guī)律，符合一般的隨機(jī)游走特征。事實(shí)上就已有的市場(chǎng)（如德國(guó)EEX市場(chǎng)，本文EROCT市場(chǎng)）價(jià)格走勢(shì)來(lái)看，每日的價(jià)格變化如股票一樣沒有明顯的規(guī)律可言。然后就是電力市場(chǎng)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)明顯的跳躍特征，如溫度驟然升高或者突然的降溫，都有可能對(duì)電力的需求在短時(shí)間內(nèi)急速增加或減少，從而形成明顯的跳躍現(xiàn)象。除此之外，電力價(jià)格還具有均值回歸，厚尾（Fat Tail）等特征[3]，這些特征非常好的符合均值回歸的跳躍擴(kuò)散的模型的一般假設(shè)，因此學(xué)界很早也就此展開了應(yīng)用研究。

國(guó)外因?yàn)槭袌?chǎng)開放比較早，對(duì)此的研究顯得更為充分。kamski（1997）就發(fā)現(xiàn)[4]，為了捕捉電力價(jià)格的特點(diǎn)，有必要引入跳躍和隨機(jī)波動(dòng)的即時(shí)價(jià)格模型。而Barz和Johnson（1999）則測(cè)試了[5]布朗運(yùn)動(dòng)，均值回歸，幾何布朗運(yùn)動(dòng)，GMR等好幾種模型，發(fā)現(xiàn)GMR模型擬合最為良好。Clewlow和Strickland（2000）發(fā)現(xiàn)[6]，跳躍部分采用泊松分布能更好的捕捉電力價(jià)格現(xiàn)貨的變化。曹毅剛和沈如剛（2006）則是使用跳躍擴(kuò)散模型去驗(yàn)證電力價(jià)格的走勢(shì)[9]?；趪?guó)內(nèi)市場(chǎng)缺乏研究數(shù)據(jù)，他們使用了法國(guó)Powernext、德國(guó)EEX以及荷蘭APX等3個(gè)歐洲主要電力市場(chǎng)的每日價(jià)格數(shù)據(jù)。

本文則基于美國(guó)德州EROCT電力市場(chǎng)的價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行研究。在模型上比較的數(shù)學(xué)模型設(shè)定有所簡(jiǎn)化。同時(shí)國(guó)內(nèi)研究一般在模型搭建及模擬就結(jié)束的理論研究方式不同，本文將列舉兩種實(shí)際應(yīng)用舉例，以使得模型能夠更加貼近實(shí)際應(yīng)用。

模型假設(shè)與估計(jì)

關(guān)于電力價(jià)格的4個(gè)假設(shè)：

1、均值回歸：均值回歸意味著從長(zhǎng)期看，電價(jià)從長(zhǎng)期看會(huì)回到一個(gè)平均水平上。假設(shè)依據(jù)是古典經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中的長(zhǎng)期均衡概念，即我們認(rèn)為，長(zhǎng)期來(lái)看，存在一個(gè)長(zhǎng)期均衡水平。

2、價(jià)格跳躍：價(jià)格跳躍從數(shù)學(xué)上講，就是指電力價(jià)格的變化并不連續(xù)，一些隨機(jī)因素會(huì)導(dǎo)致價(jià)格呈現(xiàn)跳躍式變化。而在此需要特別說(shuō)明的是，這種跳躍是一種隨機(jī)過(guò)程，并不是價(jià)格波動(dòng)，而是一種明顯具有持續(xù)性影響的過(guò)程。

3、隨機(jī)性：指價(jià)格本身的變化并無(wú)特別的規(guī)律，無(wú)論跳躍與否，其走動(dòng)的過(guò)程都是完全隨機(jī)的，是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。

4、季節(jié)性：即電力市場(chǎng)本身的季節(jié)特征。例如冬夏取暖或者降溫都需要消耗更多地電力，而春秋季節(jié)則電力需求相對(duì)較少。

基于以上四個(gè)特征，我們運(yùn)用如下模型：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

表示的是每日的電力價(jià)格。 則是電力價(jià)格取對(duì)數(shù)的形式。 表示一個(gè)截?cái)嗟母道锶~級(jí)數(shù)，用來(lái)描述電力價(jià)格的季節(jié)特征。 則用來(lái)描述跳躍特征以及均值回歸特征。 即均值回歸率。 是波動(dòng)性。 我們假設(shè)兩種可能，一種是恒定的水平，一種則呈現(xiàn)周期性。我們將檢驗(yàn)兩種可能到底是哪一種比較好。 表示一個(gè)維納過(guò)程中的變化量。K則代表跳躍幅度，我們并沒有更進(jìn)一步假設(shè)K的分布形式。公式6中的是我們定義的一個(gè)泊松過(guò)程。BOY代表時(shí)間t的起始日，所以 代表一個(gè)以365日為基數(shù)的一年里，t日所處的位置。

聯(lián)立（1）到（6），我們能得到關(guān)于價(jià)格與對(duì)數(shù)價(jià)格的微分方程：

（7）

（8）

數(shù)據(jù)說(shuō)明

我們使用2011到2013年的每日德州LZ_HOUSTON市場(chǎng)中的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)。這里一共有1096個(gè)數(shù)據(jù)，其對(duì)數(shù)價(jià)格的分布如圖1所示。從圖1中，我們可以很容易就發(fā)現(xiàn)價(jià)格的跳躍特征，均值回歸特征以及季節(jié)性特征。

注：這里Y軸表示價(jià)格，X軸表示時(shí)間。X軸1表示2011年1月1日。

表1則提供了對(duì)數(shù)價(jià)格的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。注意表1中價(jià)格曲線的峰度很高（17.7133），這是一個(gè)從3開始的一個(gè)正態(tài)分布，但是剔除掉跳躍出來(lái)的峰值以后才更像一個(gè)正態(tài)分布。所以，如果我們想在均值回歸的跳躍擴(kuò)散模型中估計(jì)參數(shù)，首先從數(shù)據(jù)中提取出跳躍，利用跳躍的數(shù)值估計(jì)跳躍參數(shù)。再使用過(guò)濾后的數(shù)據(jù)估計(jì)季節(jié)參數(shù)，均值回歸的速度以及模型的波動(dòng)性。

表1

StatisticsofInp

Max（Inp） 6.7402

Min（Inp） 2.4179

Mean（Inp） 3.3762

Std（Inp） 0.4096

Kurtosis（Inp） 17.7133

為了將價(jià)格跳躍的過(guò)程單獨(dú)篩選出來(lái)，我們首先得確定一個(gè)對(duì)于跳躍的具體標(biāo)準(zhǔn)js。我們必須得確定一個(gè)精確的值，當(dāng) 時(shí)我們就認(rèn)為發(fā)生了一次跳躍。這種跳躍直到 時(shí)才宣告跳躍的結(jié)束。隨后的數(shù)據(jù)將會(huì)繼續(xù)服從一個(gè)我們假設(shè)的一般運(yùn)行模式。例如，我們假定價(jià)格波動(dòng)超過(guò)2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差為跳躍。我們這里可以算出來(lái)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值為0.7868.但是在分析數(shù)據(jù)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，7月沒有一天達(dá)到我們定義的跳躍標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)明顯定的太高了。所以我們選擇另一個(gè)跳躍門檻，也就是7來(lái)做比較。過(guò)濾掉跳躍的數(shù)據(jù)以后，兩套價(jià)格模型的峰值分別是5.26和4.91，雖然高于3，但是比原來(lái)的對(duì)數(shù)價(jià)格陡峭度小得多（15.84）。過(guò)濾后的跳躍如表2所示。完成數(shù)據(jù)過(guò)濾后，我們開始下一步

表2

js=0.7 js=0.7868

month lambda jumpvalue lambda jumpvlue

1 2/93 1.6，0.7 1/93 1.6

2 1/85 3.4 1/85 3.4

3 4/93 1.0，1.1，1.6，1.5 4/93 1.0，1.1，1.6，1.5

4 5/90 0.8，0.7，0.9，1.3，1.0 1/90 1.3

5 2/93 0.9，0.7 1/93 0.9

6 3/90 1.1，0.9，1.9 3/90 1.1，0.9，1.9

7 1/93 0.7 0 NA

8 6/93 1.2，1.0，1.0，1.5，1.4，0.7 4/93 2.6，1.0，1.5，1.4

9 6/90 1.3，1.7，0.7，0.7，1.7，1.8 4/90 1.3，1.7，1.7，1.8

10 4/93 0.9，1.0，1.5，0.7 3/93 0.9，1.0，1.5

11 3/90 1.2，1.0，1.0 3/90 1.3，1.0，1.0

12 1/93 1.1 1/93 1.1

為了算出季節(jié)參數(shù)，我們將對(duì)數(shù)價(jià)格數(shù)據(jù)代入公式2的右邊進(jìn)行估計(jì)，得出的結(jié)果如表3所示。

用公式（4）中的殘差對(duì) 做最小二乘估計(jì)，就得出一個(gè)關(guān)于歸回率α的估計(jì)。結(jié)果如表4所示：

在估計(jì)完均值回歸率α之后，我們使用之前的回歸殘差向量來(lái)估計(jì)波動(dòng)性。對(duì)于變化的波動(dòng)率，從公式5做回歸以后的結(jié)果非常不好，R值基本接近0。所以我們用恒定的波動(dòng)水平予以代替。關(guān)于變化以及恒定的σ的估計(jì)結(jié)果都在表5中體現(xiàn)，但是之后我們將只會(huì)采用恒定的波動(dòng)率進(jìn)行模擬。

表3

js=0.7 js=0.7868

c0 -2851261 c0 -2587579

b1 5393671 b1 4894461

c1 157409.1 c1 120064.6

b2 -267059 b2 -203556

c2 4559773 c2 4136701

b3 -3435850 b3 -3115732

c3 -303595 c3 -231123

b4 272757.9 b4 207279.6

c4 -2296266 c4 -2081058

b5 1350953 b5 1223360

c5 202751.5 c5 153709.2

b6 -126319 b6 -95463.3

c6 692042 c6 626048.5

b7 -303836 b7 -274523

c7 -65768.2 c7 -49501.2

b8 28179.5 b8 21098.59

c8 -111710 c8 -100783

b9 33195.27 b9 29896.34

c9 9639.553 c9 7168.158

b10 -2491.77 b10 -1836.15

c10 7518.005 c10 6757.446

b11 -1161.22 b11 -1041.49

c11 -436.781 c11 -317.833

b12 39.32714 b12 28.0884

c12 -92.4551 c12 -82.7486

表4

js=0.7 js=0.7868

alpha 0.395 0.4357

表5

js=0.7 js=0.7868

constantsigma sigma（t） value constantsigma sigma（t） value

0.2007 sigma0 2.42E-05 0.2108 sigma0 1.52E-05

sigma1 4.84E-05 sigma1 3.03E-05

sigma2 4.84E-05 sigma2 3.03E-05

在估計(jì)完波動(dòng)性之后，我們嘗試估計(jì)跳躍參數(shù)。由于有限的跳躍數(shù)據(jù)，我們對(duì)跳躍的分布不再進(jìn)行假設(shè)。然后，我們是用表2中列出的歷史跳躍來(lái)模擬價(jià)格走勢(shì)。

模型預(yù)測(cè)與應(yīng)用

我們已經(jīng)利用2011到2013年的數(shù)據(jù)估計(jì)出了模型中的各個(gè)參數(shù)，現(xiàn)在我們就將用估計(jì)出的模型來(lái)預(yù)測(cè)2014年的價(jià)格。我們使用一個(gè)離散時(shí)間方程來(lái)做模擬：

公式里 是一個(gè)我們可以預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。而在此要解釋一下如何模仿跳躍行為。我們假設(shè)t日是1月的一天， 就有λ的可能取1，（1-λ）的可能取0。λ就是歷史上1月份出現(xiàn)價(jià)格跳躍的可能的統(tǒng)計(jì)概率。跳躍的幅度K則會(huì)從歷史上1月份發(fā)生的各次跳躍幅度中任選一個(gè)。歷史上的跳躍我們已經(jīng)在表2中提供了。

我們將兩種跳躍標(biāo)準(zhǔn)下所做的估計(jì)以及按兩種標(biāo)準(zhǔn)分類的真實(shí)數(shù)據(jù)都做了圖表展示出來(lái)，圖2是其中的一次預(yù)測(cè)結(jié)果。圖2中，藍(lán)色曲線是js=0.7868時(shí)的估計(jì)走勢(shì)，綠色曲線是js=0.7時(shí)的估計(jì)走勢(shì)，而紅線就是2014年真實(shí)走勢(shì)。我們很容易就發(fā)現(xiàn)估計(jì)的價(jià)格走勢(shì)特征同真實(shí)走勢(shì)十分相似。圖中真實(shí)走勢(shì)有兩個(gè)非常極端的跳躍并未在我們的預(yù)測(cè)中體現(xiàn)出來(lái)。那是因?yàn)橄襁@種極端跳躍非常罕見。我們抽取的圖表中雖然沒有體現(xiàn)，但是在其他模擬中有清晰的體現(xiàn)出來(lái)?；蛘呖梢赃@么說(shuō)，如果如果能把這幅圖表延伸的足夠長(zhǎng)（當(dāng)然那得假定我們的研究也代表長(zhǎng)期的價(jià)格變化水平），那么這種極端的跳躍個(gè)數(shù)將變的和真實(shí)水平差不多。

圖2

我們也列出了當(dāng)js=0.7868時(shí)模擬的歷史走勢(shì)統(tǒng)計(jì)（圖3）以及js=0.7時(shí)的歷史走勢(shì)的統(tǒng)計(jì)，其中js=7時(shí)的統(tǒng)計(jì)（圖4）和真實(shí)歷史統(tǒng)計(jì)（圖5）已經(jīng)非常接近了。就像我們看到的一樣，他們的分布非常相似——在一個(gè)X軸表示價(jià)格Y軸表示數(shù)量的坐標(biāo)系里，大部分?jǐn)?shù)據(jù)均位于15打70之間。圖5里超過(guò)200的部分是我們之前已經(jīng)解釋過(guò)的兩個(gè)極端跳躍的部分。

圖3

圖4

圖5

電力價(jià)格模型的模擬值有很多種應(yīng)用方式。我們主要用它來(lái)做金融產(chǎn)品的定價(jià)和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)管理。以下是兩個(gè)例子。

衍生產(chǎn)品定價(jià)：

為了給金融產(chǎn)品定價(jià)，我們使用下面的公式：

是金融產(chǎn)品的現(xiàn)值， 指標(biāo)的資產(chǎn)在未來(lái)時(shí)點(diǎn)的價(jià)格， 是風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度，最后 則是金融產(chǎn)品未來(lái)的支付函數(shù)。r自然是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。例如，對(duì)于期權(quán)產(chǎn)品中的看漲期權(quán)，為了給2013年12月31日電力價(jià)格為30美元的產(chǎn)品去為2014年12月31日的看漲期權(quán)定價(jià)，我們使用了該模型進(jìn)行了1000次模擬。最后2014年12月31日每份合約（即指30美元）對(duì)應(yīng)的看漲期權(quán)價(jià)值為4.1808美元。然后我們使用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)其進(jìn)行貼現(xiàn)，沒份看漲期權(quán)現(xiàn)值就應(yīng)該是4.1808/（1+5%）=3.9817美元。盡管極端的跳躍在我們的模擬中仍然會(huì)隨機(jī)出現(xiàn)，但是我們的模擬最終仍然是收斂的。

預(yù)測(cè)電價(jià)也可以幫助我們進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理。假設(shè)2013年12月31日，一個(gè)電力零售商想鎖定2014年12月31日的電力價(jià)格。他從交易對(duì)手那購(gòu)買了1000個(gè)遠(yuǎn)期合約，合約行使價(jià)為30美元。如何測(cè)算這些遠(yuǎn)期合約持有期的風(fēng)險(xiǎn)（VaR）呢？

我們使用如下方程來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題：

首先，我們使用1000個(gè)2014年12月31日的預(yù)測(cè)電價(jià)來(lái)為1000份遠(yuǎn)期價(jià)格估價(jià)。雖然后門將預(yù)測(cè)的合約價(jià)值代入公式11。因?yàn)?013年12月31日零售商剛買入遠(yuǎn)期，因此合約價(jià)值此時(shí)是0。1000次2014年12月31日模擬遠(yuǎn)期價(jià)格的 是-15.5215美元。所有實(shí)際損失 美元。持有的總合約的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值為 美元?；谖覀?cè)谏弦粋€(gè)應(yīng)用中已經(jīng)解釋的那樣，不同預(yù)測(cè)中的結(jié)果可能不同，但變化十分細(xì)微。

結(jié)語(yǔ)

本文利用均值回歸的跳躍擴(kuò)散模型對(duì)德州電力市場(chǎng)的價(jià)格走勢(shì)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，并且得出的概率分布與實(shí)際分布比較相近的。同時(shí)模型也對(duì)電力價(jià)格的季節(jié)性，波動(dòng)性等給出了具體的數(shù)值估計(jì)。最后我們舉了兩種應(yīng)用，顯示出了模型良好的應(yīng)用前景。

基于均值回歸的跳躍擴(kuò)散模型在實(shí)際應(yīng)用中有著更為廣泛的應(yīng)用。在未來(lái)的我國(guó)市場(chǎng)化進(jìn)一步改革中，隨著價(jià)格方面具備有更好的數(shù)量特征，我們也希望有朝一日也能對(duì)中國(guó)市場(chǎng)進(jìn)行應(yīng)用。

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（作者單位：中南民族大學(xué) 湖北武漢市 430074）