基于最優(yōu)化方法與合作博弈理論的排污成本分配模型

劉麗華　黃曉宇

摘 要：數(shù)學最優(yōu)化方法是解決環(huán)境管理問題的一種常用手段。而對于普遍存在沖突與妥協(xié)等問題的環(huán)境管理領域，博弈論也是一種重要的應用手段。目前，污水處理廠作為我國常見的排污個體，因其管理受各種限制，未能實現(xiàn)環(huán)境-成本的最優(yōu)化。本文從該角度，將最優(yōu)化理論與合作博弈理論結合，通過研究排污量-成本的分配模型，以同一流域范圍內的不同排污口為基礎，為改變常用平均分攤法導致成本較高的弊端，建立了排污口處理率分配優(yōu)化模型，并通過數(shù)學方法，求得了該二次規(guī)劃問題的解析解。同時，使用Shapley值法對聯(lián)盟獲得的收益（即減少的成本）進行再分配，使各參與成員的成本對比參與聯(lián)盟前有所降低。本文以粵西漠陽江流域范圍內的春灣、合水、春城三家污水處理廠為實例，進行了模型應用驗證。

關鍵詞： 最優(yōu)化方法 合作博弈 分配模型

在社會發(fā)展過程中，水資源已成為影響區(qū)域發(fā)展的重要資源，流域范圍內水資源利用的沖突，歸根就是各利益主體的水資源開發(fā)利用和水環(huán)境保護合作問題。解決流域環(huán)境問題沖突時，排污權分配是一個重要問題，一般以多目標優(yōu)化模型為技術手段，以達到流域全局最優(yōu)策略；但各個主體的既得利益也不能忽視，如何通過談判達到多贏效果也是一個重要問題。因此，博弈論也被廣泛應用于流域內的排放、分配問題的研究。污水處理廠作為我國常見的排污個體，由于種種原因仍處粗放式管理，同一流域的污水處理廠，可能存在地域性的不公平，未能達到整體的最優(yōu)化。本研究從這個角度切入，通過建立最優(yōu)化-合作博弈模型，研究了同一流域內不同污水處理廠的排污量分配及利益分配方案，實現(xiàn)區(qū)域整體最優(yōu)化，并通過利潤再分配減少了各參與主體的成本。

1 文獻綜述

目前我國在控制改善環(huán)境質量方面，污染物總量控制制度發(fā)揮著重要作用。基于總量控制下的河流排污權分配，我國學者利用優(yōu)化模型進行研究，如陳陽[1]等研究了一種基于相互補償?shù)膮f(xié)商分配模型。劉首文[2]等、黃國如[3]等以基本遺傳算法求解多個排放口的最優(yōu)化處理問題。王艷[4]運用最優(yōu)控制原理與博弈論，研究了流域水環(huán)境管理的區(qū)域間自愿合作協(xié)商促進機制。劉紅剛[5]等采用合作博弈論方法，建立了在給定污染物總削減比例條件下各區(qū)域環(huán)境合作的博弈模型。在國外方面，Deininger[6]使用線性規(guī)劃方法研究了在保證預設水質要求的條件下污染負荷的最優(yōu)分布。Liebman和Lynn[7]、Shih[8]使用動態(tài)規(guī)劃識別了污染負荷沿著一條河流的最優(yōu)分布。Loucks等[9]建議對于同一類問題推廣線性規(guī)劃方法。Ecker[10]提出了一個幾何規(guī)劃模型，并用于在維持現(xiàn)狀溶解氧水平的基礎上優(yōu)化河流污染負荷分配，以達到處理費用最小化。CardweIJ和Ellis[11]提出了一種最優(yōu)化模型，用于在考慮參數(shù)不確定性和模型不確定性的清況下，進行多個點源的污染負荷分配。總體來說，國外對環(huán)境沖突問題的研究日漸深入，博弈論在國外環(huán)境科學領域的研究成果非常豐富，提出過包括流域污染微分博弈的旁支付方法、流域污染多階段超級博弈模型等方法，幾乎博弈論的每一個最新成果，在環(huán)境問題中都能找到應用實例。

2 區(qū)域污染物排放量最優(yōu)化分配模型

2.1 問題提出

假設某一流域存在n個排污口，如n個污水處理廠。將每個排污口作為整個博弈系統(tǒng)的一個參與者，則所有的參與者形成一個集合I 。在給定集合I排放總量情況下，如何分配集合內部各參與者（排污口）之間污染物排放量，并盡可能使其節(jié)約成本。其中，不同的參與者用i（i =1， 2， ...， n）表示，其排放量用s表示，各排污口的處理率為η。

由于η為各排污口的處理率，因此可將ηi稱為各個參與者（排污口）i的處理策略，將I=（n1，n2，...，nn）稱為參與者的策略集。

通常，各污水處理廠的污水處理費用，也就是參與者i的成本可以用下式來表達：

區(qū)域內總排污成本為：

其中，M表示處理成本，η表示污水廠的處理率，q表示流量，a、b、c分別為參數(shù)，具體由于各地區(qū)不同工藝設備、成本控制、排污流量等因素而產(chǎn)生差異，需通過具體調查確定。對于同一污水處理廠，若當?shù)毓芾碚咭笪廴疚锵鳒p量越大時，則要更大幅度地提高污染物的處理率，以達到更高的治理要求，則處理成本Mi越高。

一般來說，在形成合作聯(lián)盟之前，各個參與者間無好的信息交流或合作協(xié)議，較為公正的排污分配方案是統(tǒng)一采用平均分攤法，例如，每個排污口都采取相同處理率。此時則有：

其中，上標N代表為非合作狀態(tài)。式2-4即為采用平均分攤方案情況下的總成本。

平均分攤對于每個參加者來說或許是公平的，但這其實是因各參與者間缺乏信息共享、沒有形成統(tǒng)一聯(lián)盟，而形成一個整體高成本的Nash均衡的博弈結果，即所謂的“囚徒困境”。根據(jù)合作博弈理論，其結果必定符合Pareto最優(yōu)，通過形成協(xié)議聯(lián)盟進行合作，降低總體成本，獲得額外利益，并進一步將收益公平合理分配，從而使各個參與者合作后的成本都低于合作前的成本，這種做法是完全可以實現(xiàn)的。

當采取合作時，則總體成本存在最優(yōu)化模型：

其中，約束條件（2-6）表示進行區(qū)域合作后的排污量必須到達規(guī)定排污量削減指標。約束條件（2-7）表示處理率的范圍在0-1之間。

此外，根據(jù)合作博弈的定義，該聯(lián)盟合作后的成本必須小于合作前各成員單干的成本，否則該聯(lián)盟的形成就沒有意義。因此還有下式成立：

2.2 優(yōu)化模型解析解

3 合作博弈分配模型

3.1 優(yōu)化模型存在問題

經(jīng)過優(yōu)化模型分配后的排放量，雖然在整體經(jīng)濟效益上最優(yōu)的，但對于參與的各個成員來說，則未必最優(yōu)。最優(yōu)化的結果通常為大部分參與成員成本下降，某些參與成員反而成本上漲。因此對這些成員來說，他們沒有真正參與合作的動機，聯(lián)盟也就不能成立。因此，要保證聯(lián)盟成立，統(tǒng)一優(yōu)化過程可行，還需進一步對聯(lián)盟得到的利潤進行科學合理的分配，使每個參與成員的成本在參與聯(lián)盟后都比參與前有所降低，確保聯(lián)盟合作的可行性。

在這個聯(lián)盟中，Z（I）是所有參與者都參與的大聯(lián)盟，同時，任意參與者都可能會形成一個子聯(lián)盟，該子聯(lián)盟是大聯(lián)盟集合I的真子集。因此，若存在n個參與者，則共可以形成2n個子聯(lián)盟。設某個參與者的子集合K形成的博弈聯(lián)盟為Z（K）。

定義V為聯(lián)盟所獲得的收益，則V（I）為大聯(lián)盟所獲得的收益，V（K）為子聯(lián)盟所獲得的收益。用pi表示參與成員i從聯(lián)盟最大收益值中V（I）應獲得的利潤，集合P=（p1，p2，…pi）稱為該合作博弈的分配策略。根據(jù)合作博弈的定義，pi應同時滿足以下兩個條件：

（1）整體合理性：

即每個參與者所分配到的額外收益，等于整個合作聯(lián)盟比合作前增加的額外收益的總和。

（2）個體合理性：

即每個參與者參與聯(lián)盟后得到的收益，應當高于他未參加合作時（即單干時）所獲得的收益，否則該成員沒有參與聯(lián)盟的動機。

3.2 博弈模型的求解

因此，要對合作聯(lián)盟得到的利潤進行合理分配，就是要求解滿足上述條件的pi的過程。合作博弈模型的求解方法比較多，本文主要選擇Shapley值法與核心法，分別進行求解。

對于一個聯(lián)盟來說滿足式（3-1）及式（3-2）的分配方案有很多種，在一般情況下，或在強有力的約束協(xié)議下，只要滿足上述兩式條件的分配方案都可以被參與成員接受。但是如果聯(lián)盟協(xié)議的約束力并不強，并假設所有參與者都追逐最大利益的情況下，則還要考慮子聯(lián)盟的情況。若有數(shù)個參與者發(fā)現(xiàn)當他們組成一個小聯(lián)盟后，獲得的收益比參與大聯(lián)盟時要更高，這樣他們就不會參與大聯(lián)盟，而形成收益更高的小聯(lián)盟了，而大聯(lián)盟也就隨之不能成立。因此，在這種情況下，大聯(lián)盟的分配必須保證每個成員的的收益都高于他任何可能參與的小聯(lián)盟的收益，才能保證大聯(lián)盟的穩(wěn)定性。

由于核心是滿足以上所有條件的解集，因此理論上來說核心內的解才是最符合聯(lián)盟收益最大化的。從滿足整體合理性及個人合理性的角度來說，以核心作為分配策略才最為合理。但遺憾的是，由于要求過高，核心的解集往往是空集，從而大大限制了核心法的運用，因此只能尋求其他的妥協(xié)方法進行求解，從而求得到相對公平的分配策略。

Shapley值法是一個重要的求解方法之一，其可確保得到合作博弈的唯一解。其結果可能在核心集合內，也可能在核心集合外，但能保證存在唯一解。事實上，Shapley值法是對于該博弈聯(lián)盟的每個參與者，考察其對所有可能存在的子聯(lián)盟的貢獻率及其概率大小，按照該貢獻率給出參與者在聯(lián)盟博弈中的一個分配方式。Shapley值由特征函數(shù)V確定，特征函數(shù)V即該聯(lián)盟合作后獲得的額外利潤。由于當聯(lián)盟中僅存在一人時，即相當于該參與者單干，因此他采取的策略仍為平均分攤法時的策略，即η。由此可知，當聯(lián)盟K為單參與者i時，V（i）= 0。

綜上所述，根據(jù)最優(yōu)化結果得到的分配方案建立的博弈模型，是以求解分配方案P=（p1，p2，…pi）為目標。首先必須求得聯(lián)盟的特征函數(shù)V，包括大聯(lián)盟I的特征函數(shù)，以及所有子聯(lián)盟K的特征函數(shù)。隨后根據(jù)式（3-3）（3-4）（3-5），尋找該博弈模型的核心，看是否為空集。

一般情況下都采用Shapley值法進行求解博弈模型，因其是根據(jù)成員貢獻來進行收益分配，且一定有解，解可能在核心集合內。Shapley值法可根據(jù)以下公式進行求解：

上式中，Pi即為Shapley值。|K|為博弈聯(lián)盟K所含的元素個數(shù)，V（K）表示包含參與者i的聯(lián)盟K的博弈特征函數(shù)，V（K＼i）表示在聯(lián)盟K中，若將參與者i除去后，剩余參與者組成的博弈聯(lián)盟的特征函數(shù)。

4 研究案例

4.1 案例現(xiàn)狀及參數(shù)選取

本研究選用粵西陽春市漠陽江流域。參考《粵西水質保護規(guī)劃》，根據(jù)不同規(guī)劃年限城鎮(zhèn)生活污水處理率的要求，綜合考慮水污染源預測結果、污水處理廠建設規(guī)劃現(xiàn)狀、削減量，提出的漠陽江流域城鎮(zhèn)污水處理工程建設方案中的重點規(guī)劃項目，漠陽江上游的春灣污水處理廠于2010年新建，處理規(guī)模1.0萬t/d，2020年將擴建至2.5萬t/d；合水污水處理廠于2010年新建，處理規(guī)模1.0萬t/d，2020年將擴建至1.5萬t/d；春城污水處理廠與2010年擴建至規(guī)模4萬t/d，2020年將擴建至8.0萬t/d。本研究將采用以上污水處理廠2020年數(shù)據(jù)。

根據(jù)上級單位分配給陽春市的“十一五”COD排放總量，規(guī)劃提出近年內COD目標總量控制方案，見下表。

表4-1 漠陽江陽春市流域COD總量控制目標

本研究采用2020年COD允許排放量數(shù)據(jù)進行計算。

此外，由2.1節(jié)可知，污水處理廠的處理率參數(shù)a、b、c，具體由于各地區(qū)不同工藝設備、成本控制、排污流量等因素而產(chǎn)生差異。根據(jù)文獻調查，式（2-5）中的污水處理參數(shù)a=200，b=1000，c=0.8，污水處理廠進水COD濃度為650mg/L。

4.2 最優(yōu)化方法求解排污量分配

根據(jù)上節(jié)，至2020年時三個污水處理廠運行規(guī)模，可以算出每個污水處理廠的平均排污流量（春灣污水處理廠為1，合水污水處理廠為2，春城污水處理廠為3，下同）及COD產(chǎn)生量。又根據(jù)表3-2，由于2020年該流域內COD允許排放量為6686t，因此總的COD處理率應至少達到0.77。在形成合作之前，為公平起見，每個污水處理廠都采取相同的處理效率，即都采取77%的削減率，這能達到管理者的要求。在這種情況下，根據(jù)式（2-1），各廠的成本分別為：

即，1號參與者采用0.56的處理率，2號參與者采用0.52的處理率，3號參與者采用0.88的處理率時，可以使總成本達到最小。相比起采用平均分攤法的策略，總體成本共節(jié)省了45.45萬元。

但是如果直接采用這種方法的話，會使1號、2號參與者的成本有較大的降低，而使3號參與者的成本有較大的提升，這樣3號參與者必定不會同意這種聯(lián)盟的實現(xiàn)。因此，為了使得合作順利實現(xiàn)，必須對合作帶來的收益（即經(jīng)集體規(guī)劃后節(jié)省下來的資金）用合作博弈模型重新進行分配，使各個參與者在參加聯(lián)盟后都有所收益，才能保證聯(lián)盟的順利進行，保證最優(yōu)化分配的可行性。

4.3 合作博弈模型求解分配方案

5 結語

本論文對在同一流域的不同排污口之間的排污量最優(yōu)化分配模型及成本分配的合作博弈模型上進行了研究。以同一流域內的不同排污口為基礎，為改變平均分攤法導致成本較高的弊端，在達到管理者要求的處理率的前提下，以總體成本最小為目標，建立了排污口處理率分配優(yōu)化模型，并通過數(shù)學方法，求得了該二次規(guī)劃問題的解析解。由于最優(yōu)化的結果通常為大部分參與成員成本下降，而某些參與成員反而出現(xiàn)成本上漲，因此這些成員沒有真正參與合作的動機，聯(lián)盟也就不能成立。為保證聯(lián)盟成立使得統(tǒng)一優(yōu)化過程可行，通過建立合作博弈的模型，并使用核心解法及Shapley值法，進一步對聯(lián)盟得到的額外收益進行科學合理的分配，使得每個參與聯(lián)盟成員的成本都比參與前降低。根據(jù)粵西漠陽江流域陽春市范圍內的春灣、合水、春城三家污水處理廠，以當?shù)毓芾碚咛岢龅腃OD排放總量控制要求，用合作實例用模型進行了驗證分析。在滿足COD最大允許排放量的情況下，通過組成統(tǒng)一聯(lián)盟，進行處理率最優(yōu)化，以及采用合作博弈進行收益分配后，春灣、合水、春城三家污水處理廠分別采用56%、52%及88%的處理率，取代之前的平均分攤法，使得處理成本分別比合作前降低了11.79、10.69及22.97萬，分別占總成本比例的4.01%、5.56%和3.86%?？梢姡ㄟ^合作降低成本的做法是有效的。

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