計(jì)算建模為數(shù)學(xué)奠基

周曉峰

【摘要】 “新課標(biāo)”中有言：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué). 數(shù)學(xué)與人類發(fā)展、社會(huì)進(jìn)步息息相關(guān)，隨著現(xiàn)代技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)更廣泛應(yīng)用于社會(huì)生產(chǎn)和日常生活. 數(shù)學(xué)作為對(duì)客觀現(xiàn)象的抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語(yǔ)言與工具.”從中我們可以看到數(shù)學(xué)與生活是獨(dú)立又緊密聯(lián)系的，而模型思想就在其中起到了“橋梁”的作用.

【關(guān)鍵詞】 計(jì)算；模型；橋梁

小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型，主要的是確定性數(shù)學(xué)模型，廣義地講，數(shù)學(xué)的概念、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系等都是模型. 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)中最基本的內(nèi)容，是一種數(shù)學(xué)觀念，是處理問(wèn)題的基礎(chǔ). 因此，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程首先應(yīng)建立與之相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念的過(guò)程. 但是該過(guò)程并不如想象中的那般簡(jiǎn)單，它是學(xué)習(xí)者對(duì)信息自主收集探索并進(jìn)行構(gòu)建的過(guò)程. 然而在小學(xué)中低年級(jí)的加、減、乘、除的計(jì)算教學(xué)中也可以看到模型思想的“影子”.

一、加、減運(yùn)算中基礎(chǔ)模型的建構(gòu)

數(shù)學(xué)模型是對(duì)客觀事物間一般關(guān)系的反映，也是人們以數(shù)學(xué)的方式認(rèn)識(shí)具體事物、描述客觀現(xiàn)象的基本形式. 例如，加法概念模型：已知每部分，求幾部分合起來(lái)；減法概念模型：將總數(shù)分成幾部分，已知一部分，求其中的一部分. 在具體教學(xué)時(shí)，這兩種概念模型是一起建立的. 先聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)以及分與合的思想，這一過(guò)程使加、減概念的模型得到初步的建立. 在加法例題的情境圖里，3個(gè)小朋友澆花，又來(lái)了2個(gè)小朋友，學(xué)生立即會(huì)想到“合起來(lái)一共5個(gè)小朋友”，這里的“合”是加法概念的生長(zhǎng)點(diǎn)，也是加法概念的核心成分，3人與2人“合”起來(lái)，也就是兩部分?jǐn)?shù)合起來(lái)，可以用3“加”2計(jì)算，很自然地引出了加法運(yùn)算；減法例題設(shè)計(jì)了兩幅內(nèi)容連續(xù)的畫(huà)面，呈現(xiàn)原來(lái)有5個(gè)小朋友澆花，走了2個(gè)小朋友的情境，也就是將一個(gè)總數(shù)分成兩份，求其中的一部分，用減法，例題的情境有助于學(xué)生結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境和具體數(shù)量關(guān)系感知減法的意義，最后通過(guò)變換情境內(nèi)化運(yùn)算意義. 可見(jiàn)，學(xué)生對(duì)加減運(yùn)算概念模型的建立是逐步建構(gòu)的.

二、乘法運(yùn)算中基礎(chǔ)模型的建構(gòu)

在教學(xué)乘法的過(guò)程中不僅要讓學(xué)生看到乘法運(yùn)算，更要讓學(xué)生先掌握乘法概念模型，在此基礎(chǔ)上從不同的角度引導(dǎo)學(xué)生去理解乘法的意義，然后讓學(xué)生在廣闊的空間內(nèi)運(yùn)用乘法.

學(xué)生在幼兒園和一年級(jí)時(shí)只有接觸過(guò)加、減法，并且掌握了加法是幾部分合起來(lái)，減法是從總數(shù)中去掉一部分或幾部分的概念. 到二年級(jí)，學(xué)生初步接觸乘法，但乘法的概念在學(xué)生頭腦中的建立，是一個(gè)非常抽象的過(guò)程，建立乘法與數(shù)之間的聯(lián)系，主要從以下兩方面著手：1.幾個(gè)幾相加，初步建立乘法的概念；2.加、乘對(duì)比，進(jìn)一步理解乘法的概念.

三、除法運(yùn)算中基礎(chǔ)模型的建構(gòu)

運(yùn)算是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，更是低年級(jí)數(shù)學(xué)的重點(diǎn). 除法是運(yùn)算的重要組成部分，也是四則運(yùn)算中的難點(diǎn). 表內(nèi)除法是運(yùn)用除法的基礎(chǔ)，而“除法的認(rèn)識(shí)”又是學(xué)生學(xué)習(xí)除法的開(kāi)始，是建構(gòu)除法概念模型的第一步. 學(xué)生在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒(méi)有涉及這方面的知識(shí)，所以學(xué)生對(duì)除法意義的理解及對(duì)除法的興趣將直接影響到對(duì)除法模型的建構(gòu).

1. 平均分，初步建立除法的概念

教學(xué)時(shí)由任意分引出平均分，由一般現(xiàn)象引出特殊現(xiàn)象. 選猴爸爸給小猴分桃，其中一人給1個(gè)，另一人給3個(gè). 讓同學(xué)們說(shuō)說(shuō)自己的看法，有的學(xué)生說(shuō)不公平，于是追問(wèn)：怎么才能做到公平？一名學(xué)生跑上去從3個(gè)桃的學(xué)生手中拿出1個(gè)給另一名同學(xué). 這說(shuō)明學(xué)生對(duì)平均分已經(jīng)有了本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，只是還沒(méi)有將其抽象出概念. 所以，直接根據(jù)由平均分這一特殊現(xiàn)象在實(shí)際中的應(yīng)用入手，借助每人分得同樣多來(lái)明確“平均分”的含義. 再通過(guò)判斷搶答練習(xí)來(lái)加深對(duì)平均分的認(rèn)識(shí)，抽象出平均分的概念. 使學(xué)生清楚地看到平均分的過(guò)程，直觀地理解“平均分”的含義. 在這個(gè)環(huán)節(jié)主要研究按份數(shù)平均分每份分幾個(gè)和按每份有幾個(gè)能分成幾個(gè)，目的是突出除法的本質(zhì)屬性：把一個(gè)數(shù)分成相等的若干份，或把一個(gè)數(shù)分了若干份都相等的是平均分，平均分可以用除法表示. 在把握教材時(shí)抓住除法的本質(zhì)屬性，淡化其非本質(zhì)屬性.

2. 減、除對(duì)比，進(jìn)一步理解除法的概念

之前說(shuō)的減法將總數(shù)分成幾部分，求其中的一部分，除法是從平均分中建構(gòu)得來(lái)的，都涉及分. 那么，除法和減法之間有沒(méi)有聯(lián)系呢？

舉個(gè)例子“72 ÷ 9 = 8”，既可以表示把72平均分成9份，每份是8，也可以表示72里面包含有8個(gè)9，就是從72里面連續(xù)減去相同的數(shù)9，減8次剛好減完，列成減法算式是：72 - 9 - 9 - 9 - 9 - 9 - 9 - 9 - 9 - 9 = 0.

由此可以知道，除法也可以看作連續(xù)減去相同數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算.被除數(shù)就是被減數(shù)，除數(shù)就是相同的減數(shù)，連減的最多次數(shù)就是商. 如果連續(xù)減去若干次以后，剛好減完，說(shuō)明余數(shù)為0. 如果連續(xù)減去若干次以后，最后的差不是0，但比減數(shù)小，那么最后的差就是余數(shù).

四、計(jì)算基礎(chǔ)模型的建構(gòu)為數(shù)學(xué)教學(xué)奠基

在以上的四則運(yùn)算中，無(wú)論是加減還是乘除，在我們認(rèn)識(shí)它們的過(guò)程中都看到了模型思想的“影子”，都是從現(xiàn)實(shí)的情境或問(wèn)題引入，從中找出數(shù)據(jù)信息，并加以分析，從而建立加減乘除的基礎(chǔ)概念模型，從而使一些現(xiàn)實(shí)問(wèn)題以數(shù)學(xué)的形式來(lái)體現(xiàn).

目前新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)的是將數(shù)學(xué)知識(shí)情境化、生活化，其實(shí)也是更多體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系. 我們可以把數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程做如下概括：將現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們數(shù)學(xué)課堂中的實(shí)際問(wèn)題，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中將此類問(wèn)題建立模型，再根據(jù)該基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型去解決這一類問(wèn)題，從而解決生活中的一系列生活問(wèn)題.