初中數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想

宋天華

摘要：數(shù)形結(jié)合作為眾多數(shù)學(xué)解題方法中的一種，可以使數(shù)學(xué)問題更加直觀、形象地展示在學(xué)生面前，有助于學(xué)生理解、分析和解決問題，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要的解題思想。本文就數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)地探究。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合 應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)是初中教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)也是教學(xué)的難點(diǎn)。初中數(shù)學(xué)知識與小學(xué)數(shù)學(xué)知識相比，知識量更大、難度也大大增加，加之?dāng)?shù)學(xué)知識的片面性和抽象性，學(xué)生在學(xué)起來具有一定的難度。但是，數(shù)學(xué)作為一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形態(tài)的學(xué)科，它所有的理論知識均是圍繞著數(shù)與形來展開的。而數(shù)形結(jié)合的解題思想則正是充分運(yùn)用這一點(diǎn)來對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析和解決。所謂的數(shù)形結(jié)合思想實(shí)際上就是利用“形”來直觀地表達(dá)和反應(yīng)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，再用“數(shù)”來對“形”的各種性質(zhì)和變化規(guī)律進(jìn)行分析和探究。下面就數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的主要應(yīng)用進(jìn)行了探討。

有理數(shù)中的“數(shù)形結(jié)合”

有理數(shù)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的入門知識，是學(xué)生后期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理論基礎(chǔ)。在有理數(shù)的教學(xué)過程中，如果教師可以引導(dǎo)學(xué)生合理地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，則有利于學(xué)生分析和理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力。而就有理數(shù)的學(xué)習(xí)階段，數(shù)形結(jié)合思想主要表現(xiàn)在數(shù)軸的應(yīng)用上，學(xué)生如果可以掌握數(shù)形結(jié)合思想，就可以借助數(shù)軸來解決教學(xué)過程中所遇到的各種數(shù)學(xué)問題，如有關(guān)倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值等類型的數(shù)學(xué)問題。此外，教師還可以借助生活中常見的物體作為研究對象，來為學(xué)生講解有關(guān)的數(shù)學(xué)知識。例如，教師可以用溫度計(jì)來幫助學(xué)生理解數(shù)軸的概念，然后對數(shù)軸上的數(shù)和點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)行明確，讓學(xué)生掌握用圖形來分析數(shù)學(xué)問題所涉及的數(shù)量關(guān)系，從而達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的目的。

例1：已知實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如下圖所示，試化簡下式：

解析：該道例題是數(shù)形結(jié)合思想的最好體現(xiàn)，從數(shù)軸上我們可以明顯地得看出實(shí)數(shù)的正負(fù)性、各數(shù)之間的大小關(guān)系，從而有利于式子中絕對值跟根號的化簡，而只要將式子中的絕對者和根號化簡掉，就可以明顯地得出有關(guān)的結(jié)論。下面就該道例題的具體解題步驟進(jìn)行闡述。

解：由題目所給數(shù)軸可知：b<0，c<0，a大于0，且b-c<0，a+b<0，則可得：

，由此即可得到最簡的化簡形式。

函數(shù)中的“數(shù)形結(jié)合”

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)也是一個(gè)涉及的知識面最廣的內(nèi)容，尤其是二次函數(shù)問題更是教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。二次函數(shù)問題通常比較抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中會(huì)有一定的困難，所以，大多數(shù)學(xué)生不愿意接觸與二次函數(shù)有關(guān)的問題，甚至對其有一種莫名的恐懼感。這樣致使學(xué)生形成了一種不正確的數(shù)學(xué)解題觀念，非常不利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。由于二次函數(shù)本身的特性，它與圖形之間具有緊密的聯(lián)系，學(xué)生只需要建立直角坐標(biāo)系，并對題目中函數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行定位即可做出有關(guān)的圖形，從而更加直觀、形象地分析問題，這樣將大大地降低學(xué)生解題的難度。理論上來講，在二次函數(shù)定義式子（y=ax2+bx+c）中，參數(shù)a決定二次函數(shù)圖形的開口方向，c決定二次函數(shù)圖形與y軸的交點(diǎn)，而二次函數(shù)圖形的對稱性則由參數(shù)a和b所共同決定。因此，如果可以將數(shù)形結(jié)合思想合理地運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，則可以有效地提高學(xué)生解決二次函數(shù)問題的能力。

例2：已知點(diǎn)（-1，y1）、（-3，y2）和（2，y3）均在二次函數(shù)y=3x2+6x+2的圖像上，則y1、y2、y3之間的大小關(guān)系為________。

解析：該道例題是一個(gè)與二次函數(shù)有關(guān)的大小判斷題，如果學(xué)生不懂得利用數(shù)形結(jié)合的思想，則必須要將每個(gè)點(diǎn)的x值反代入二次函數(shù)中，分別求出相應(yīng)的y值，這樣將大大增加工作量。而如果學(xué)生可以借助數(shù)形結(jié)合法來做出y=3x2+6x+2的圖形，則可以很快得出y1、y2、y3之間的大小關(guān)系。下面就該道例題的具體解題步驟進(jìn)行闡述。

解：由二次函數(shù)式y(tǒng)=3x2+6x+2，我們可以將其化簡得出一般的形式，可以得到y(tǒng)=3（x+1）2-1，則可以畫出其對應(yīng)的簡圖，如下圖所示。

通過圖形我們可以很容易地知道，當(dāng)x=-1的時(shí)候，y值最小，當(dāng)x=2的時(shí)候所取的數(shù)值要比x=-3的時(shí)候所取的值大，所以y1、y2、y3之間的大小關(guān)系為：y2>y3>y1

結(jié)束語

數(shù)形結(jié)合思想作為一種解題思想，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中扮演著重要的“角色”。它可以使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、形象化，有利于學(xué)生理解和認(rèn)識，從而為學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。因此，在開展數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生樹立數(shù)形結(jié)合的解題思想，從而達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的目的。

（作者單位：江蘇省常州市鐘樓區(qū)西林實(shí)驗(yàn)學(xué)校）