高中立體幾何中認(rèn)知策略的教學(xué)探究

郭洪莉

【摘要】本文主要探究高中生在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)遇到思維障礙時(shí)的解題策略的教學(xué).主要探究認(rèn)知策略中綜合法與分析法的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】認(rèn)知策略；綜合法；分析法

每一科的教學(xué)中教師都重視學(xué)習(xí)方法，直到1956年，美國(guó)著名心理學(xué)家布魯納提出認(rèn)知策略這個(gè)概念，學(xué)習(xí)方法從此被劃歸為認(rèn)知策略的范疇.我國(guó)著名教授皮連生提出“認(rèn)知策略是個(gè)人在解決思維問題時(shí)所采用的思維方式”.認(rèn)知策略是個(gè)體調(diào)控內(nèi)在信息加工的控制過程，一般很難外顯，但是不是不能外顯.本文就探究認(rèn)知策略如何外顯的.

數(shù)學(xué)解題中的常見認(rèn)知策略：（1）順推法：也叫由因?qū)Чɑ蚓C合法.是一種解題者由題設(shè)條件根據(jù)自己知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)想、綜合、概括推理導(dǎo)出題目結(jié)論的方法.（2）逆推法：也叫由執(zhí)果索因法或分析法.是一種解題者由題目結(jié)論根據(jù)自己知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)想、綜合、概括推理導(dǎo)出題設(shè)條件的方法.（3）順推逆推結(jié)合法：當(dāng)題設(shè)條件過于復(fù)雜或繁瑣時(shí)，解題者一般先用倒推根據(jù)自己知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)想、綜合、概括推理出題目中介結(jié)論，再結(jié)合順推由題設(shè)條件根據(jù)自己知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)想、綜合、概括推理導(dǎo)出題目中介結(jié)論的方法.

在立體幾何的課堂例題教學(xué)中，教師常?？陬^分析解題思路此時(shí)主要采用分析法，然后用綜合法板書.用分析法時(shí)和綜合法步驟類似，只是順序不同，教學(xué)中老師往往側(cè)重于用綜合法書寫，因此學(xué)生在很短時(shí)間內(nèi)無法習(xí)得解題技能，解題能力比較弱.因?yàn)榱Ⅲw幾何的問題中有許多這樣的類型，題目條件很多，無法識(shí)別這些條件在解題中的先后次序，很難短時(shí)間內(nèi)找到解題思路，所以學(xué)生們望而卻步的居多.

下面舉例說明立體幾何例題教學(xué)中分析法外顯的過程.

在北京師范大學(xué)出版社出版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》（必修2）中，有如下練習(xí)題：

ABCD和CDEF有一公共邊CD，它們不在同一平面內(nèi)，M為FC的中點(diǎn)，求證：AF∥平面MBD.

本題已知條件五個(gè)，①ABCD；②CDEF；③ABCD和CDEF有一公共邊CD；④它們不在同一平面內(nèi)；⑤M為FC的中點(diǎn).對(duì)每個(gè)條件使用一般是將以前習(xí)得的知識(shí)點(diǎn)遷移過來然后綜合使用，但是每個(gè)條件相鏈接的知識(shí)點(diǎn)都很多，如條件①ABCD，相鏈接的知識(shí)點(diǎn)分別為對(duì)邊平行；對(duì)邊相等；對(duì)角線相互平分，交點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)；對(duì)角相等，還涉及內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角等等，本題五個(gè)條件中涉及如此龐雜的知識(shí)點(diǎn)，經(jīng)過怎樣的組合才能將此題順利解答，因此在綜合法操作起來短時(shí)間很難.

解題時(shí)審題環(huán)節(jié)中，先使用綜合法分解五個(gè)條件，將每個(gè)條件鏈接知識(shí)在腦中做簡(jiǎn)單的匯總，即條件①ABCD和②CDEF，相鏈接的知識(shí)點(diǎn)分別為對(duì)邊平行；對(duì)邊相等；對(duì)角線相互平分，交點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)；對(duì)角相等，還涉及內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角等等，③ABCD和CDEF有一公共邊CD，相鏈接知識(shí)點(diǎn)CD與AB和EF均平行且相等；④它們不在同一平面內(nèi)，相鏈接知識(shí)點(diǎn)主要是圖形是立體圖形，畫圖與看圖時(shí)注意識(shí)別圖形中點(diǎn)、線、面的層次；⑤M為FC的中點(diǎn)，相鏈接知識(shí)點(diǎn)主要是MF=MC，并且可能會(huì)涉及中位線.

上述過程是解決用哪些知識(shí)點(diǎn)的思維過程.怎么解決AF∥平面MBD呢？此時(shí)采用分析法，如果綜合法分析條件是發(fā)散思維過程，那么分析法恰好是集中思維過程.解法一的分析過程見圖1.

圖1

從圖1來看，要證AF∥平面MBD，只需使用線面平行判定定理.

要用使用線面平行判定定理，只需配齊“某直線∥AF，某直線平面MBD，AF平面MBD，”這三個(gè)條件.

而已經(jīng)具備AF平面MBD，只需尋找某直線具有的特征：在平面MBD中，且與AF平行；此時(shí)問題集中在“與AF平行直線，必須與點(diǎn)M、B、D有關(guān)”上，解決如何過M、B、D做平行與AF直線就可以了.也就是說“證明AF∥平面MBD”的問題最終轉(zhuǎn)化為“過M、B、D做平行于AF直線”的問題.解法與其他方法的區(qū)別之一就是“過M做平行于AF直線”.

接下來綜合法就按照從如何過M做平行于AF直線，將分析過程完全展現(xiàn)出來.

解法1用綜合法寫出解題步驟如下：

圖2

證明如圖2所示，連接AC，設(shè)AC與BD交與點(diǎn)N，連接MN.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形.所以點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，

又因?yàn)辄c(diǎn)M是FC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N是AC的中點(diǎn).

而MN是△ACF的中位線，因此MN∥AF，

又因?yàn)锳F平面MBD，MN平面MBD，

所以AF∥平面MBD.

本題還有六種解法，茲簡(jiǎn)單介紹其中兩種如下：

解法2分析過程見圖3.

圖3

圖4

證明如圖4所示，延長(zhǎng)EF和DM，設(shè)EF與DM的延長(zhǎng)線交與點(diǎn)N，連接BN.因?yàn)辄c(diǎn)M是FC的中點(diǎn)，所以MF=MC.

容易證明△MFN≌△MCD，所以FN=CD.

又因?yàn)镕N∥CD，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以AB=CD且AB∥CD.

因此四邊形ABFN是平行四邊形，

從而BN∥AF，

又因?yàn)锳F平面MBD，BN平面MBD，

圖5所以AF∥平面MBD.

解法3分析過程如圖5：

綜合法證明步驟如下：如圖6所示，延長(zhǎng)BM，過點(diǎn)F作與BC的平線，行并與BM的延長(zhǎng)線交與點(diǎn)N，連接DN.因?yàn)辄c(diǎn)M是FC的中點(diǎn)，所以MF=MC.

圖6

容易證明△MFN≌△MCB，所以FN=CB，又因?yàn)镕N∥CB，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以DA=CB且DA∥CB.

因此四邊形ADNF是平行四邊形，從而DN∥AF，

又因?yàn)锳F平面MBD，DN平面MBD，

所以AF∥平面MBD.

通過上述三種解法介紹，可知三種方法類似，只是在找與AF平行直線，從三個(gè)點(diǎn)M，B，D出發(fā)，最后差異在使用初中平行線的理論上.它們的共同之處是分析法先行，綜合法按照分析法的逆序解題過程再次顯現(xiàn)出來.

通常教師采用文字語言板書表述或口頭表述，分析法的精妙讓學(xué)生只能意會(huì)不可言傳.現(xiàn)在教師采用圖式結(jié)構(gòu)既形象直觀又便于學(xué)生模仿，廣大能接受立體幾何思維的精妙，才能進(jìn)一步獲得相應(yīng)的思維能力.

補(bǔ)充說明本例的七種解法在我的另一篇文章《塑造學(xué)生多種能力的教學(xué)設(shè)計(jì)探究》中有介紹.