數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學教學中的應用

王彩琴

【摘要】以數(shù)學的思想方法為依托，以提高學生學習數(shù)學的能力為目標，闡述了數(shù)形結(jié)合思想在中學數(shù)學學習中的地位和作用.數(shù)形結(jié)合思想可以說在整個基礎數(shù)學學習過程中都在應用.主要介紹了數(shù)形結(jié)合思想在解決集合問題中、在解決函數(shù)問題中、在解決方程與不等式問題中、在解決三角函數(shù)問題中、在解決線性規(guī)劃問題中、在解決數(shù)列問題中、在解決向量問題中、在解決解析幾何問題中、在解決立體幾何問題中的應用.最后強調(diào)了在應用數(shù)形結(jié)合時須注意的問題.

【關鍵詞】數(shù)學思想；數(shù)形結(jié)合

一、應用數(shù)形結(jié)合思想解決集合問題

例1A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，且x∈A}，C={z|z=x2，且x∈A}，若CB求實數(shù)a的取值范圍.

分析本題借助數(shù)形結(jié)合，考查有關集合關系運算的題目.解決本題的關鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C，進而將CB用不等式這一數(shù)學語言加以轉(zhuǎn)化.

解：y=2x+3在[-2，a]上是增函數(shù).-1≤y≤2a+3，即B={y|-1≤y≤2a+3}.

作出z=x2的圖像，該函數(shù)定義域右端點x=a有三種不同的位置情況如下圖1：

圖1

①-2≤a≤0時，a2≤z≤4，即C={z|a2≤z≤4}，要使CB，必須且只須2a+3≥4，得a≤12與-2≤a<0矛盾；

②0≤a≤2時，0≤z≤4，即C={z|0≤z≤4}，要使CB，由下圖2可知：

圖2

必須且只需2a+3≥4，0≤a≤2，解得12≤a≤2.

③a>2時，0≤z≤a2，C={z|0≤z≤a2}，即要使CB，必須且只需a2≤2a+3，a>2，解得2≤a≤3.

④a<-2時，A≠，此時C=B=，則CB成立.

綜上所述，a的取值范圍是（-∞，-2）∪12，3.

例2若集合x，y|x=3cosθ，y=3sinθ0<θ<π，集合N={（x，y）|y=x+b}，且N∩M≠，則b的取值范圍為.

圖3

分析M={（x，y）|x2+y2=9，0

二、數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)問題中的應用

函數(shù)的圖像是函數(shù)關系的一種表示，它是從“形”的方面來刻畫函數(shù)的變化規(guī)律.函數(shù)圖像形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得答案的重要工具.

1數(shù)形結(jié)合思想在求函數(shù)最值中應用

最值問題，一般就是求某個代數(shù)式或函數(shù)的最大值或最小值了，當然有些題目是可以借助于重要不等式等知識直接解決的，但有些題目用這些方法都比較復雜，而且計算量很大.我們可以考慮一下這些代數(shù)式的幾何意義了，再結(jié)合代數(shù)式中所隱含的幾何圖形，應用幾何知識來求其最大值或最小值.

（1）轉(zhuǎn)化為直線斜率公式求最值

例1如果實數(shù)x，y滿足等式x-22+y2=3，那么xy的最大值是（）.

A.2B.3C.32D.3

圖4

分析等式x-22+y2=3有明顯的幾何意義，它表示以（2，0）為圓心，3為半徑的圓（如圖4）.而yx則表示圓上的點（x，y）與坐標原點（0，0）的連線的斜率.如此以來，該問題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問題：動點A在以（2，0）為圓心，以3為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值.由圖4可見，當點A在第一象限且與圓相切時，OA的斜率最大，經(jīng)簡單計算，得最大值為tan60°=3，故答案選D.

（2）轉(zhuǎn)化為兩點距離問題求最值

例2求函數(shù)y=x2+1+x2-4x+8的最小值.

分析考察式子特點，從代數(shù)的角度求解，學生的思維受阻，這時利用數(shù)行結(jié)合為轉(zhuǎn)化手段，引導學生探索函數(shù)背后的幾何背景，巧用兩點間的距離公式，化x2+1+x2-4x+8=x-02+0-12+x-22+0-22，如圖5.

圖5

令A（0，1），B（2，2），P（x，0），則問題轉(zhuǎn)化為在x軸上求一點P，使PA+PB有最小值.由于AB在x軸同側(cè)，故取A關于x軸的對稱點C（0，-1），（PA+PB）min=CB=2-02+2+12=13.

（3）轉(zhuǎn)化為直線的縱截距問題求最值

例3已知x，y滿足x216+y225=1，求y-3x的最大值與最小值.

分析y-3x在限定條件x216+y225=1下求最值問題，常采用構(gòu)造直線的截距方法來求之.令y-3x=b，則y=3x+b，原問題轉(zhuǎn)化為：在橢圓x216+y225=1求一點，使過該點的直線斜率為3，且在y軸上的截距最大或最小.

圖6

由圖6可知，當直線y=3x+b與橢圓x216+y225=1相切時，有最大截距與最小截距.

y=3x+b，x216+y225=1169x2+96bx+16x2-400=0.

由故Δ=0，得b=±13，y-3x的最大值為13，最小值為-13.

（4）利用解析式的特點求最值

例4對a，b∈R，maxa，b=a，a≥b，b，a

圖7

分析本題主要考查函數(shù)的解析式、函數(shù)的最值，以及分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，即max{f（x），g（x）}=12{f（x）+g（x）+|f（x）-g（x）|}，然后用零點劃分法討論可得答案，但此方法比較繁瑣.考慮數(shù)形結(jié)合的思想方法，如圖7，容易知道函數(shù)的圖像為實線部分，在點A處取到最小值是32.

解由|x+1|2≥|x-2|2（x+1）2≥（x-2）2x≥12，故f（x）=|x+1|，（x≥0.5），|x-2|，（x<0.5）.

2數(shù)形結(jié)合思想在考查函數(shù)性質(zhì)中作用

例1若定義在區(qū)間（-1，0）內(nèi)的函數(shù)f（x）=log2a（x+1），滿足f（x）>0，則a的取值范圍是（）.

A.0，12B.0，12C.12，+∞D(zhuǎn).（0，+∞）

分析由在（-1，0）內(nèi)f（x）>0可知，函數(shù)f（x）=log2a（x+1）在（-1，0）內(nèi)的圖像位于x軸上方，且x→0時，f（x）→0（如圖8所示）.

所以底數(shù)2a應滿足0<2a<12，選A.

評注解題時應善于將f（x）>0加以轉(zhuǎn)化，由式想形，本題還可進一步考查函數(shù)在（-1，0）內(nèi)的單調(diào)性.

分析題目要求指出函數(shù)y=-xcox的部分圖像，從分析函數(shù)的性質(zhì)入手.易函數(shù)y=-xcox是奇函數(shù)，而奇函數(shù)的圖像關于原點對稱，于是排除A，C項.

當x=1<π2時，y=-1cos1=-cos1<0，點（1，-cos1）在第四象限，排除B.故正確選項應為D.

例3方程2x+x=3，log2x+x=3的實根分別為x1，x2，則x1+x2=.

分析本題x1，x2不好求解，聯(lián)想原函數(shù)與反函數(shù)的圖像性質(zhì)進行數(shù)形結(jié)合，以數(shù)助形可巧妙求解.

令y1=2x，y2=log2x，y3=3-x，由y1，y2互為反函數(shù)，其圖像關于y=x對稱，設A（x1，3-x1），B（x2，3-x2），則x1=3-x2，即x1+x2=3.