在弱條件下判別曲線拐點(diǎn)的一種新方法

李柱恒

【摘要】當(dāng)f（x）在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)、二階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式復(fù)雜且在x0的去心領(lǐng)域Uo（x0）內(nèi)不容易確定正負(fù)號(hào)時(shí)，本文利用拉格朗日中值定理與極限的保號(hào)性定理得到只需用f（x）的一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判別點(diǎn)（x0，f（x0））是否為曲線y=f（x）的拐點(diǎn)的方法.

【關(guān)鍵詞】曲線；拐點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)

【中圖分類號(hào)】O172.1

當(dāng)函數(shù)f（x）在x0處的一階導(dǎo)數(shù)f′（x0）=0時(shí)，文[2]給出了用函數(shù)f（x）的一階導(dǎo)數(shù)f′（x）在U0-（x0），U0+（x0）的符號(hào)來(lái)判別曲線y=f（x）的拐點(diǎn)方法，文[2]的方法都要求函數(shù)f′（x0）存在，曲線y=f（x）的拐點(diǎn)的定義（見(jiàn)文[1]）并不要求f′（x0）存在，本文討論了f（x）在x=x0處不可導(dǎo)時(shí)，求曲線y=f（x）拐點(diǎn)的新方法.

引理若limx→x-0f（x）=A>0（或?yàn)?∞），則存在δ>0，當(dāng)x∈（x0-δ，x0）時(shí)，f（x）>0；若limx→x+0f（x）=A>0（或?yàn)?∞），則存在δ>0，當(dāng)x∈（x0，x0+δ）時(shí)，f（x）>0.

證只證limx→x-0f（x）=A>0的情形，由左極限定義，對(duì)ε=A[]2，存

在δ>0，當(dāng)x∈（x0-δ，x0）時(shí)，|f（x）-A|A-A[]2=A[]2>0.

對(duì)limx→x+0f（x）=A>0（或?yàn)?∞）與limx→x+0f（x）=A<0（或?yàn)?∞）等的情形也有類似的結(jié)論.

定理設(shè)函數(shù)f（x）在U（x0）內(nèi)連續(xù)，在某去心領(lǐng)域Uo（x0）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)（在x0處可以不可導(dǎo)），且f′（x-0）與f′（x+0）存在（或?yàn)椤蓿?，若存在?gt;0，使得f′（x）-f′（x-0）在（x0-δ，x0）內(nèi)與f′（x）-f′（x+0）在（x0，x0+δ）內(nèi)同號(hào)，則點(diǎn)（x0，f（x0））是曲線y=f（x）的拐點(diǎn).

證用反證法，若存在δ>0，使得f′（x）-f′（x-0）在（x0-δ，x0）內(nèi)與f′（x）-f′（x+0）在（x0，x0+δ）內(nèi)同號(hào)，而點(diǎn)（x0，f（x0））不是曲線y=f（x）的拐點(diǎn).則在半徑為δ的x0去心領(lǐng)域Uo（x0，δ），f″（x）≥0，或f″（x）≤0.但不在任一長(zhǎng)度不為零的區(qū)間上等于零.不妨設(shè)f″（x）≥0，對(duì)任意x∈Uo（x0，δ），當(dāng)x∈（x0-δ，x0）時(shí)，有x0-δ

例求下列曲線的拐點(diǎn)：（1）y=|x（ex-e）|；（2）y=|ex-e|1[]3ln1[]3x.

解（1）記f（x）=|x（ex-e）|，f′（x）=-x（ex-e），01.，f′（0-）=1-e，f′（0+）=e-1，f′（1-）=-e，f′（1+）=e，f（x）僅在x=0，1處的一、二階導(dǎo)數(shù)均不存在，在（-∞，0）內(nèi)，f′（x）-f′（0-）=xex+ex-1<0，在（0，1）內(nèi)，f′（x）-f′（0+）=-（xex+ex-1）<0，f′（x）-f′（1-）=2e-（1+x）ex>0，在（1，+∞）內(nèi)，f′（x）-f′（1+）=（1+x）ex-2e>0，由定理知點(diǎn)（0，0）與（1，0）為該曲線的拐點(diǎn).

（2）因?yàn)樵摾亩A導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式很復(fù)雜，很難判別二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)的正負(fù)，用本文的定理判別很簡(jiǎn)單，記f（x）=|ex-e|1[]3ln1[]3x，則

f′（x）=-13（ex-e）-2[]3exln1[]3x+1x（ex-e）1[]3ln-2[]3x，01.

f′（1-）=f′（1+）=+∞，f（x）僅在x=1處的一、二階導(dǎo)數(shù)均不存在，在（0，1）內(nèi)，f′（x）-f′（0-）=-∞<0，在（1，+∞）內(nèi)，f′（x）-f′（1+）=-∞<0，由定理知點(diǎn)（1，0）為該曲線的拐點(diǎn).

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)等編.高等數(shù)學(xué)（第六版）：上冊(cè)[M].北京高等教育出版社，2007.6.

[2]于淑蘭.關(guān)于曲線拐點(diǎn)的判別法.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2003，33（1）：98-100.