說題一道技能大賽題有感

劉仁琴

【摘要】通過一次技能大賽的比賽，挖掘試題考查的知識(shí)、能力、思維等功能.分析試題的解題思路，切入點(diǎn)，關(guān)鍵點(diǎn)，預(yù)測(cè)學(xué)生的思維障礙.體會(huì)說題的價(jià)值及教學(xué)反思.課堂教學(xué)中注意一題多解，一題多變，啟發(fā)對(duì)題目的類型、條件的有效拓展.實(shí)現(xiàn)對(duì)試題的延伸與拓展

【關(guān)鍵詞】考查的知識(shí)、能力、思維；思維障礙，試題解析思路，一題多解，變式與拓展，反思總結(jié)

題目：已知拋物線C：x2=2pyp>0上一點(diǎn)S（m，4）（m>0）到焦點(diǎn)F的距離為|SF|=174.

1.求p，m的值；

2.設(shè)拋物線C上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（t>0）過P點(diǎn)的直線交C于另一點(diǎn)Q，交x軸于M，過點(diǎn)Q作PQ的垂線交C于另一點(diǎn)N，若MN是C的切線，求t的最小值.

波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》的序言中寫道：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)首要的任務(wù)就是加強(qiáng)解題的訓(xùn)練.”從近幾年的高考試題看，注重對(duì)教材中的基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，基本方法和基本思想的考查.這道題設(shè)計(jì)巧妙，知識(shí)覆蓋面廣.對(duì)于教師把握新課標(biāo)要求更高，思維能力更強(qiáng).能有效檢測(cè)教師的專業(yè)能力，教學(xué)能力和教研能力.同時(shí)又能考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，及解題時(shí)注重通性通法.還能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，達(dá)到真正有效的教學(xué).此題通過以下三個(gè)方面考查：

（一）考查要求

從知識(shí)方面：

（1）考查拋物線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)；

（2）直線方程，曲線的切線方程及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線與方程、不等式等多種知識(shí)之間的交叉、滲透和綜合.

從能力方面：

（1）培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算求解能力；

（2）數(shù)形結(jié)合能力及識(shí)圖、析圖數(shù)據(jù)處理能力；

（3）化歸轉(zhuǎn)化能力，使學(xué)生知識(shí)形成系統(tǒng)性，各種能力得到整合，獲得全面發(fā)展.

從思想方法：

（1）幾何問題代數(shù)化；

（2）數(shù)中有形，形中有數(shù)，數(shù)與形的完美結(jié)合的思想；

（3）函數(shù)與方程的基本思想.

（二）學(xué)情分析

（1）第一小題考查拋物線的定義及幾何性質(zhì)難度中等偏易的題，學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)是求拋物線的準(zhǔn)線方程，正確理解拋物線的定義；

（2）第二小題涉及太多點(diǎn)的坐標(biāo)是未知的，首先應(yīng)克服心理關(guān).注意解題時(shí)的通性通法.繁難的計(jì)算如何逐步分解，盡量減少未知量分別求出Q，M，N的坐標(biāo)，對(duì)于MN是曲線的切線，利用切線的幾何意義的處理.大部分的學(xué)生有一定的困難，或者理解M點(diǎn)在過N點(diǎn)的切線方程.涉及函數(shù)方程的思想方法求t的最小值是此題的難點(diǎn)，如何突破難點(diǎn)？怎樣讓學(xué)生構(gòu)建一個(gè)有序的網(wǎng)絡(luò)化的知識(shí)體系，使學(xué)生各種能力得到整合，獲得全面的發(fā)展.通過對(duì)本題分析講解，一題多解，拓展與變式得以鞏固.

（三）析題

切入點(diǎn)：對(duì)問題（1）準(zhǔn)確理解拋物線的定義，求m，p；對(duì)問題（2）減少未知量使用，用t表示P，Q，M，N點(diǎn)的坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合，把幾何問題代數(shù)化.

關(guān)鍵點(diǎn)：分別求出P，Q，M，N的坐標(biāo)，準(zhǔn)確理解MN是曲線C的切線與N的導(dǎo)數(shù)值關(guān)系.存在P點(diǎn)就是PQ的斜率存在，關(guān)于k的方程有解.利用函數(shù)方程的思想，求t的最小值.

（四）解題

圖1

（1）解拋物線的準(zhǔn)線y=-p2，則FS=4+P2=174，P=12又S（m，4）在拋物線上，∴m2=4（m>0），m=2.

方程x2=y，所以m=2，p=12.

（2）過P點(diǎn)（t，t2）斜率存在的直線方程可設(shè)y-t2=kx-t，聯(lián)立y-t2=k（x-t），x2=y，得x2-kx+kt-t2=0.設(shè)Qx1，y1，MX0，O，Nx2，y2.

x1，t是方程的兩根，則x1t=kt-t2，x1=k-t，所以Qk-t，k-t2，Mkt-t2k，0.

直線QN與PQ垂直直線QN的方程y-（k-t）2=-1k（x-k+t），聯(lián)立方程組y-k-t2=-1kx-k+t，x2=y，得x2+1kx-k-t2+tk-1=0.

則又∵x1+x2=-1k，x1=k-t，x2=-1k-k+t，

N-1k-k+t，-1k-k+t2，kMN=-1k-k+t2-1k-k+t2k，

MN是C的切線，kMN=2x2，-1k-k+t2-1k-k+t2k=2（-1k-k+t）整理k2+kt-2t2+1=0.

關(guān)于k的方程有解則，Δ=t2-4×-2t2+1≥0.

9t2-4≥0；t≥23或t≤-23（舍去），∴t≥23，t的最小值23.

點(diǎn)評(píng)先確定PQ的直線方程，聯(lián)立方程組求出M，Q點(diǎn)坐標(biāo).QN與PQ垂直，確定QN的直線方程，求出N點(diǎn)坐標(biāo).直線MN與曲線C相切，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，整理出關(guān)于t，k的方程，方程有解，從而求t的最小值.解題時(shí)注意通性通法，在不同知識(shí)交匯處要進(jìn)行有效整合.解析幾何常常用“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村.”

第二小題解法2：設(shè)Pt，t2，Qx，x2，Nx0，x20，則直線MN的方程y-x20=2x0x-x0.

令y=0，得Mx02，0，所以kPM=t2t-x02=2t22t-x0，kNQ=x20-x2x0-x=x0+x.因?yàn)镹Q⊥QP，且兩直線斜率存在，所以kPM·kNQ=-1.即2t22t-x0·x0+x=-1.整理，得x0=2t2x+2t1-2t2.又Qx，x2在直線PM上，則MQ與MP共線，得x0=2xtx+t.由得2t2x+2t1-2t2=2xtx+t（t>0）.所以t=-x2+13x，所以t≥23或t≤-23（舍去）.所以所求t的最小值23.

點(diǎn)評(píng)分別設(shè)出P，Q，N的坐標(biāo)，利用直線MN，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，直線PM與NQ互相垂直，又M，Q，P三點(diǎn)共線，用t表示x0，整理得關(guān)于x，t的函數(shù)利用均值不等式求t的最小值.第二種解法利用三點(diǎn)共線應(yīng)用曲線方程與不等式知識(shí)的有效結(jié)合.

（五）變式與拓展

變式1已P知拋物線C：x2=2pyp>0，其焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離12.

（1）求拋物線C的方程；

（2）過M（0，1）作兩條直線l1，l2，l1與拋物線交于點(diǎn)A，B，l2與拋物線交于E，F(xiàn)，且直線AE，BF，且直線AE，BF交于點(diǎn)P，直線AF，BE交于Q點(diǎn)，求證：MP·MQ是定值.

變式2已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（C>0）到直線l：x-y-2=0的距離為322，設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn).

（1）求拋物線C的方程；

（2）當(dāng)點(diǎn)Px0，y0為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程.

（六）反思

在我們數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)教會(huì)學(xué)生思考，善于思考，進(jìn)行一道題目多種思路解法的訓(xùn)練和變式訓(xùn)練，讓學(xué)生的思維遷移、發(fā)散、開拓和活躍.使學(xué)生形成有序的網(wǎng)絡(luò)化的知識(shí)體系，從中領(lǐng)會(huì)“化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程”等基本數(shù)學(xué)思想.教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、探究、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的合作探究意識(shí).只有這樣，課堂教學(xué)才會(huì)充滿與創(chuàng)新，在教學(xué)中演繹精彩.說題是一種教學(xué)教研活動(dòng)，是一種有效的教與學(xué)的途徑，也是促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展和促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的有效途徑.更有效地把握教材和高考命題的方向，發(fā)揮教材中例題，習(xí)題和高考試題的作用，提升課堂教學(xué)的針對(duì)性和有效性，促進(jìn)教師專業(yè)水平的提升.