新課程下橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)

任志偉

【摘要】圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，充分體現(xiàn)了解析幾何中代數(shù)與幾何相結(jié)合的基本思想.橢圓作為圓錐曲線的典型代表，將這一基本數(shù)學(xué)思想表現(xiàn)得淋漓盡致，因此，研究出較為科學(xué)合理的橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計(jì)，將會影響學(xué)生對這一部分知識的掌握以及相應(yīng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】新課程；橢圓；標(biāo)準(zhǔn)方程；教學(xué)設(shè)計(jì)

一、研究背景及意義

1.橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的教材地位及學(xué)習(xí)價(jià)值

圓錐曲線是平面解析幾何的重要組成部分，在高中數(shù)學(xué)選修2-1中，圓錐曲線被安排在第二章中，以“圓錐曲線與方程”的標(biāo)題出現(xiàn)，其包含曲線與方程、橢圓、雙曲線、拋物線四部分內(nèi)容.“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”具有承前啟后的重要作用：首先，“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”中標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)需借助“曲線與方程”中的知識，是對上一節(jié)知識的有效鞏固；其次，橢圓位于三種曲線之首，對這三種曲線而言，研究的問題基本一致、研究方法相似，若能夠掌握好研究橢圓的基本方法，學(xué)習(xí)其余兩種曲線時(shí)就會得心應(yīng)手.故掌握好橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程對學(xué)生學(xué)習(xí)具有極大的促進(jìn)作用.

2.橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)狀況及學(xué)生的掌握情況

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程如此重要，對于學(xué)生的學(xué)習(xí)及教師的教學(xué)均是一種挑戰(zhàn).因而，迫切需要科學(xué)合理的教學(xué)設(shè)計(jì)，將知識有效地教授給學(xué)生，使其養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì).

圓錐曲線在高考中所占分值較大，這給教師、學(xué)生帶來了較大的壓力.在時(shí)間緊任務(wù)重的情況下，多數(shù)的教師沒能很好的利用教材及輔導(dǎo)資料，不進(jìn)行增減直接照搬資料，常常忽視學(xué)生的主體地位，沒能充分調(diào)動學(xué)生積極性，缺少探究學(xué)習(xí)知識的過程.

例如：教授橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，多數(shù)教師按照教材編排，在一個(gè)課時(shí)內(nèi)對其進(jìn)行講解，導(dǎo)致課堂內(nèi)容過多，講解時(shí)間增加，學(xué)生只能被強(qiáng)迫著將知識裝入腦子中，靠死記硬背掌握知識，造成概念理解不到位，進(jìn)而難以處理相應(yīng)的問題.因此，本文教學(xué)設(shè)計(jì)中將其分兩個(gè)課時(shí)進(jìn)行教授.

二、設(shè)計(jì)依據(jù)

1.新課程下的教學(xué)要求

通過研讀《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》針對圓錐曲線教學(xué)內(nèi)容的要求后，歸納出以下幾點(diǎn)關(guān)于橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)要求：

（1）借助豐富的實(shí)例，讓學(xué)生從探究中抽象出橢圓的定義，并體會其在現(xiàn)實(shí)中的實(shí)際應(yīng)用；

（2）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)中，首先從典型的幾何特征入手，選取合適的坐標(biāo)系，其次利用軌跡問題的本質(zhì)（抓住不變量），創(chuàng)建適當(dāng)?shù)姆匠?

（3）明確用代數(shù)研究幾何的方法，滲透數(shù)形結(jié)合的思想.

2.教學(xué)方法

對于橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來說，它沒有明確的教學(xué)類型分類，可以說是橢圓定義的一種應(yīng)用，也可以說是一種命題，還可以說是一種求解標(biāo)準(zhǔn)方程的數(shù)學(xué)題，沒有較為明確的教學(xué)設(shè)計(jì)依據(jù)，但可以汲取著名教育家曹一鳴編寫的《數(shù)學(xué)教學(xué)論》一書中的經(jīng)典教學(xué)方法，完成教學(xué)設(shè)計(jì).

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.橢圓定義的教學(xué)設(shè)計(jì)

（1）情景引入

用一個(gè)不垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸夾角不同時(shí)，可得到不同的截口曲線，分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線通常把圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線（多媒體展示圖片便于直觀理解）.

為什么截口曲線會出現(xiàn)不同情形？學(xué)習(xí)圓錐曲線定義之后依次進(jìn)行解答（設(shè)置問題，激發(fā)學(xué)生的好奇心）.

設(shè)計(jì)意圖：采用總分的教學(xué)手段：先提出圓錐曲線再引入橢圓，便于學(xué)生總體感知，且由熟悉場景引人新課，易于接受，引起興趣，激發(fā)求知欲.

（2）新課教授

之前就已接觸過圓，現(xiàn)研究第二種圓錐曲線——橢圓.

生活中處處可發(fā)現(xiàn)橢圓的影子：圓柱形水杯傾斜時(shí)水面的邊界，陽光下圓球的影子，地球繞太陽運(yùn)行時(shí)的軌道等（展示圖片，數(shù)學(xué)來源于生活）.

問題1：觀察以上曲線，它們和圓有那些相識之處——似乎圓被“壓扁”后就得到了橢圓.

問題2：那么可否借助圓從“到定點(diǎn)距離等于定長”的角度來定義橢圓？

設(shè)計(jì)意圖：將橢圓與圓作類比，借助定點(diǎn)、定長得出橢圓定義順理成章，培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察及類比能力.

師生活動：取一段長為2a的細(xì)繩，將兩端點(diǎn)分別固定在圖板同一點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時(shí)筆尖（動點(diǎn)）畫出的軌跡是一個(gè)圓，如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，畫出的軌跡又是什么——橢圓.

設(shè)計(jì)意圖：以圓為基礎(chǔ)，學(xué)生在教師的帶領(lǐng)下，通過自己觀察、猜想、動手檢驗(yàn)得到橢圓的定義，由教師灌輸式轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生自主探究式，加深對橢圓定義的理解，極大的提高了課堂學(xué)習(xí)效率.

問題1：畫出橢圓的過程中哪些量不發(fā)生變化（即橢圓上的點(diǎn)有何特征）——在筆尖移動過程中，細(xì)繩的長度不變，即筆尖到兩定點(diǎn)的距離和為常數(shù)（設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生從動中找靜，培養(yǎng)其對事物的敏感度）.

得出橢圓定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)2a（2a>|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距.記為2c（給出橢圓準(zhǔn)確定義，將文字語言轉(zhuǎn)化成為符號語言）.

若設(shè)M為橢圓上的任意一點(diǎn)，則|MF1|+|MF2|=2a.

問題2：將學(xué)生分成小組再次作圖并討論：如果細(xì)繩的長度小于或等于兩定點(diǎn)的距離，作出的圖形又怎么樣

通過實(shí)踐得到當(dāng)且僅當(dāng)2a>2c時(shí)才可作出橢圓.

設(shè)計(jì)意圖：改變以往教師直接告知學(xué)生：2a>2c為橢圓定義中的關(guān)鍵，使學(xué)生分組操作，對比討論，自我總結(jié)得出結(jié)論（加深對概念的理解，避免遺漏定義中的注意事項(xiàng)，注重?cái)?shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性）.

（3）概念鞏固

現(xiàn)在解決課堂開始的問題：用一個(gè)與圓錐軸線夾角為銳角的平面去截圓錐，得到的截線是橢圓.

用教具模擬平面去截圓錐（使用教具直觀展示便于理解，可激發(fā)學(xué)生的動手能力）在圓錐內(nèi)放大小不同的兩個(gè)球，使其分別相切于圓錐的側(cè)面、截面，切點(diǎn)為E，F(xiàn)，現(xiàn)在截口曲線上任取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A做圓錐的母線，使其分別與兩個(gè)球相切于B，C，那么，據(jù)橢圓定義，只需求證A與E，F(xiàn)的距離之和為常數(shù)即可，為此，需回憶球的切線長定理：過球外一點(diǎn)做球的兩條切線，切線長相等.

圖1

由圖1，不難發(fā)現(xiàn)AE與AC為小球的兩條切線，AF，AB為大球的兩條切線，因而AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC.

這樣，就得到截口曲線上任意一點(diǎn)A到兩定點(diǎn)E，F(xiàn)的距離之和為常數(shù)，即滿足橢圓定義，故截線為橢圓.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)習(xí)橢圓的概念之后，解決教師們常常忽視的截線是橢圓的問題，既要讓學(xué)生知其然又要知其所以然（培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題，并且利用已學(xué)知識解決問題的能力）

2.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計(jì)

（1）復(fù)習(xí)引入

回顧求軌跡方程的一般步驟：建系設(shè)點(diǎn)→抓住不變量→創(chuàng)建方程→化簡

例如求圓方程的步驟，即：求到定點(diǎn)的距離等于常數(shù)的點(diǎn)的集合

設(shè)計(jì)意圖：知識具有連貫性，課前及時(shí)回顧，有助于提前進(jìn)入課堂；

以圓為例，有兩處妙用：①用具體的例子幫助識儲備不足的學(xué)生，回顧求動點(diǎn)軌跡的方法；②圓作為圓錐曲線的一種，與橢圓聯(lián)系緊密，可以類比圓的對稱性，利用橢圓的對稱性，建立坐標(biāo)，避免了無規(guī)則地亂建系.

（2）新課教授

類比圓的方程求法，可否求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（明確要解決的問題、可利用的知識，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的解題思維）

橢圓定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)2a（2a>|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓（著重強(qiáng)調(diào)2a>|F1F2|不可或缺）.

類比圓，據(jù)橢圓的對稱性，可能出現(xiàn)兩種建系方法：

①以經(jīng)過橢圓焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，以線段F1，F(xiàn)2的垂直平分線為y軸.

②x軸、y軸互換，即以經(jīng)過橢圓焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為y軸，以線段F1，F(xiàn)2的垂直平分線為x軸.

自主探究：將學(xué)生分成兩組就兩種不同的坐標(biāo)系，求出對應(yīng)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.

利用多媒體給出第一種建立坐標(biāo)系的詳細(xì)過程（方便學(xué)生自行校對）.

設(shè)M（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，焦距2c（c>0），則焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別是（-c，0），（c，0），由定義，得M與F1，F(xiàn)2的距離之和為2a，即|MF1|+|MF2|=2a.

∴（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a.

化簡此方程（教師提點(diǎn)化簡過程中的兩次平方和方程兩邊同除以某個(gè)式子，最終化解為分式，利用函數(shù)的思想求解曲線方程，深化幾何與函數(shù)的聯(lián)系）.

將左邊的一個(gè)根式移到右側(cè)，得（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2.

兩邊平方，得a2-cx=a（x-c）2+y2.

兩邊再平方，得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

方程兩邊同除a2（a-c2），得x2a2+y2a2-c2=1.

由橢圓的定義可知2a>2c，即a>c，故a2-c2>0.

方程較為復(fù)雜，故常令b2=a-c2.（及時(shí)說明為何要引出b值不會顯得唐突）

最終可得（列出比較內(nèi)容，更加直觀、深刻）

焦點(diǎn)位置x軸，標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+x2b2=1（a>b>0）.

焦點(diǎn)位置y軸，標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+x2b2=1（a>b>0）.

圖2

尋找標(biāo)準(zhǔn)方程與坐標(biāo)軸之間的聯(lián)系發(fā)現(xiàn)：焦點(diǎn)位于哪個(gè)軸上，哪個(gè)的分母大.

由a，b，c之間的關(guān)系b2=a-c2，可在中找出對應(yīng)的線段（結(jié)合圖形給出a，b，c的幾何意義，符合學(xué)生的認(rèn)知過程，便于理解）

|PF1|=|PF2|=a，|OF1|=|OF2|=c，|PO|=a2-c2=b.

其中a為長半軸、b為短半軸、c為焦半徑，

設(shè)計(jì)意圖：轉(zhuǎn)變教師直接板演求解標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，兩種不同的建系方式滲透分類討論的思想，合理地安排學(xué)生分組討論，由被動聽講轉(zhuǎn)為主動參與，增強(qiáng)了主體意識，在此過程中教師巡視給予幫助，發(fā)揮其指導(dǎo)、幫助、促進(jìn)作用

四、設(shè)計(jì)反思

這次教學(xué)設(shè)計(jì)中很好地貫穿了新課程教學(xué)理念，但是也出現(xiàn)了一定的不足，第一：由于教學(xué)經(jīng)驗(yàn)有限，一些數(shù)學(xué)教育理論和專業(yè)知識，不能完美應(yīng)用于教學(xué)設(shè)計(jì)中；第二：在教學(xué)設(shè)計(jì)中針對學(xué)生的心理情況的設(shè)計(jì)比較少.

希望借鑒本設(shè)計(jì)者據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行合理的修改.

【參考文獻(xiàn)】

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