極限理論在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與作用

孫彩賢 豆俊梅

【摘要】本文對(duì)極限理論在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與作用一些初步的探索，高等數(shù)學(xué)中的眾多概念都是一種極限思想.

【關(guān)鍵詞】極限理論；教學(xué)地位；作用

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，要把微積分的理論講清楚，就要分析透極限理論的思想，從而使學(xué)生更好的理解高等數(shù)學(xué)的眾多難點(diǎn)和重點(diǎn)，可以說(shuō)理解了極限理論就為高等數(shù)學(xué)的后續(xù)學(xué)習(xí)打下了夯實(shí)的理論基礎(chǔ)，起到事半功倍的效果.我們自從開始高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，一直都離不開極限理論.在高等數(shù)學(xué)中，最先介紹的就是數(shù)列和函數(shù)的極限基本內(nèi)容.極限理論在高等數(shù)學(xué)中扮演重要的角色，它也是區(qū)分高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的一個(gè)最重要的標(biāo)志.在初等數(shù)學(xué)中，我們不能解決很多問(wèn)題（瞬時(shí)速度、曲面體體積、曲邊梯形面積等），但是在高等數(shù)學(xué)中引入極限理論后，這些問(wèn)題迎刃而解.

一、極限理論的發(fā)展歷程

無(wú)限分割是我國(guó)最先出現(xiàn)的極限思想，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽（公元前三世紀(jì)三國(guó)時(shí)期）提出了《割圓術(shù)》的方法去求圓的面積（《九章算術(shù)》中記載），劉徽算出最多的是圓的內(nèi)接正3072邊形的面積.后來(lái)我國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之通過(guò)割圓術(shù)計(jì)算圓的面積，并且把圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第7位.數(shù)學(xué)家波爾查諾（捷克斯洛伐克人）是全世界最早給出用極限定義函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)的人，并且他定義與現(xiàn)在基本一致的導(dǎo)數(shù)的定義.后來(lái)經(jīng)過(guò)柯西和維爾斯特拉斯的努力，確定了“ε-δ”語(yǔ)言，完全擺脫了幾何的直觀，極限理論也變得成熟，逐漸形成了現(xiàn)在的一系列極限理論，課堂中告知學(xué)生極限的發(fā)展史使同學(xué)們認(rèn)清極限的理論的來(lái)之不易.

二、高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容均是一種極限思想

微積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，微分與積分的實(shí)質(zhì)即是一種極限思想，另外高等數(shù)學(xué)的重要概念如連續(xù)的定義、級(jí)數(shù)的斂散性定義等均是以極限的思想給出的，因此，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中始終要把極限思想貫穿于整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中.

首先連續(xù)的概念是由極限來(lái)定義的，連續(xù)函數(shù)從圖形上看，就像是坐落在水平線上的連綿不斷的山脈.這種直觀的認(rèn)識(shí)并不精確，雖然連續(xù)函數(shù)雖然在18世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家已經(jīng)開始研究了，但是連續(xù)函數(shù)有較為精確定義是到維爾斯特拉斯和柯西等數(shù)學(xué)家建立了基本的極限理論后才出現(xiàn)的，連續(xù)即是一種極限的形式的表現(xiàn).

其次導(dǎo)數(shù)的定義也是以極限為基礎(chǔ)的，F(xiàn)ermat（法國(guó)數(shù)學(xué)家）研究極值問(wèn)題時(shí)最早引入了導(dǎo)數(shù)的概念，后來(lái)Newton（英國(guó)數(shù)學(xué)家）和Leibniz（德國(guó)數(shù)學(xué)家）分別在研究運(yùn)動(dòng)規(guī)律求速度和已知曲線求它的切線建立了同樣的形式解決問(wèn)題.這兩個(gè)問(wèn)題在形式很是不同，而且不是一個(gè)領(lǐng)域的問(wèn)題，但是它們歸結(jié)到數(shù)學(xué)上都可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決，是沒(méi)有任何區(qū)別.

最后高等數(shù)學(xué)中的又一重要概念積分同樣是由極限給出的，積分分為很多種形式（不定積分、定積分、多重積分、曲線積分、曲面積分等），不定積分是利用導(dǎo)數(shù)的反運(yùn)算定義的，而導(dǎo)數(shù)是用極限來(lái)定義的，所以也可以說(shuō)不定積分也是由極限定義的.而其他的積分形式都是直接由極限來(lái)定義的.定積分是數(shù)學(xué)家在研究其他問(wèn)題（曲邊梯形的面積和變力做功）時(shí)引入的.簡(jiǎn)而言之，定積分就是我們通常要經(jīng)過(guò)“分割，近似求和，取極限”的方式進(jìn)行計(jì)算的某些特殊和式的極限.

三、結(jié)束語(yǔ)

總結(jié)前面的敘述可以看出，整個(gè)高等數(shù)學(xué)的基本概念基本都應(yīng)用了極限的思想.在高等數(shù)學(xué)教材中都是按下面的順序進(jìn)行介紹學(xué)習(xí)的：

數(shù)列（函數(shù)）的極限理論→連續(xù)函數(shù)→導(dǎo)數(shù)→不定積分→定積分→級(jí)數(shù)→多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)→廣義積分→重積分、曲線積分、曲面積分

從教材的編排順序中就可以看出，極限理論是高等數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)，同時(shí)也是最重要的內(nèi)容.極限理論的出現(xiàn)不僅使我們做到了無(wú)限的過(guò)程，而且使我們的認(rèn)識(shí)變得越來(lái)越精確.

極限理論為微積分打下了基礎(chǔ).可以說(shuō)微積分處處有極限，微積分就是一門以極限為基礎(chǔ)，以極限理論為主要工具去研究函數(shù)的學(xué)科.教師在課堂教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該處處時(shí)時(shí)提醒學(xué)生用極限的思想去思考、處理問(wèn)題，教師要把這些重要概念的極限理論講清楚，使同學(xué)們掌握高等數(shù)學(xué)中重要概念的實(shí)質(zhì)性問(wèn)題即極限問(wèn)題，強(qiáng)調(diào)極限理論在高等數(shù)學(xué)中的重要作用和地位.

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