淺談《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》教學(xué)中形象思維的運(yùn)用

王美華

【摘要】對(duì)任何概念和概念體系的接受過程，都是抽象思維與形象思維的共同作用。在目前的教學(xué)教育中，存在著偏重抽象思維、忽視形象思維的傾向。事實(shí)上，形象思維對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著非常重要的輔助作用，它與抽象思維相輔相成。在我所教的《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》這門課的教學(xué)中，形象思維的培養(yǎng)與訓(xùn)練往往也容易被忽視。本文擬通過說明形象思維在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，談一點(diǎn)不成熟的想法，力圖闡述形象思維能力對(duì)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性。

【關(guān)鍵詞】形象思維；經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)；教學(xué)

形象思維作為人類的一種思維方式，正如馬克思在論述政治經(jīng)濟(jì)學(xué)中的研究方法時(shí)所說的“整體，當(dāng)它在頭腦中作為被思維的整體而出現(xiàn)時(shí)，是思維中的頭腦的產(chǎn)物”^[1]，它被運(yùn)用于許多領(lǐng)域的研究與創(chuàng)作中。提到經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，人們往往立刻會(huì)聯(lián)想到一些抽象的公式、定理、結(jié)論以及一大堆枯燥的符號(hào)、計(jì)算、證明?！俺橄髱缀跏菙?shù)學(xué)的同義語”^[2]。的確，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)是一門非常抽象的學(xué)科，數(shù)學(xué)思維只有擺脫了具體形象，才能給出簡(jiǎn)潔而有用的結(jié)論。由于這樣，形象思維常常被看成是思維的低級(jí)階段，因此，在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中形象思維也容易被忽視，許多老師也熱衷培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，對(duì)于形象思維則不聞不問、聽之任之。但是從思維的過程來看，這種看法帶有片面性，在我們思考問題時(shí)，當(dāng)抽象思維不能繼續(xù)下去時(shí)就必須借助于形象，其實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中形象思維與抽象思維是并重的，找到抽象的方向，發(fā)現(xiàn)新的解決問題的契機(jī)。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的許多抽象概念和過程可以作形象化的解釋，因此在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中利用形象思維幫助學(xué)生增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)習(xí)效率是有一定意義的。

一、形象思維的概念

哲學(xué)中所說的形象思維，主要是指人們?cè)谡J(rèn)識(shí)世界的過程中，對(duì)事物表象進(jìn)行取舍時(shí)形成的，是只要用直觀形象的表象解決問題的思維方法。具有形象性、非邏輯性、粗略性、想象性等特點(diǎn)。形象思維是反映和認(rèn)識(shí)世界的重要思維形式，是培養(yǎng)人、教育人的有力工具，在科學(xué)研究中，科學(xué)家除了使用抽象思維以外，也經(jīng)常使用形象思維。在企業(yè)經(jīng)營中，高度發(fā)達(dá)的形象思維，是企業(yè)家在激烈而又復(fù)雜的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中取勝不可缺少的重要條件。愛因斯坦是一個(gè)具有極其深刻的邏輯思維能力的大師，但他卻反對(duì)把邏輯方法視為唯一的科學(xué)方法，他十分善于發(fā)揮形象思維的自由創(chuàng)造力，他所構(gòu)思的種種理想化實(shí)驗(yàn)就是運(yùn)用形象思維的典型范例。這些理想化實(shí)驗(yàn)并不是對(duì)具體的事例運(yùn)用抽象化的方法，舍棄現(xiàn)象，抽取本質(zhì)，而是運(yùn)用形象思維的方法，將表現(xiàn)一般、本質(zhì)的現(xiàn)象加以保留，并使之得到集中和強(qiáng)化。例如，愛因斯坦著名的廣義相對(duì)論的創(chuàng)立實(shí)際上就是起源于一個(gè)自由的想象。一天，愛因斯坦正坐在伯爾尼專利局的椅子上，突然想到，如果一個(gè)人自由下落，他是會(huì)感覺不到他的體重的。愛因斯坦說，這個(gè)簡(jiǎn)單的理想實(shí)驗(yàn)“對(duì)我影響至深，竟把我引向引力理論”。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不光需要抽象思維，邏輯思維，形象思維也是必不可少的。

二、形象思維的種類

對(duì)數(shù)學(xué)形象思維中的“形象”，人們的認(rèn)識(shí)僅僅局限于幾何圖形，從而對(duì)數(shù)學(xué)形象思維能力的培養(yǎng)也存在著一定的局限性。事實(shí)上，數(shù)學(xué)形象包括很多類：

1．直觀形象

直觀形象包括平面幾何圖形、立體幾何圖形、函數(shù)圖像等，常用于研究具有直觀特點(diǎn)的幾何問題。如：畫出文字語言所表示的圖形，添加幾何證明中的輔助線以及把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何問題等皆屬于直觀形象思維。

2．經(jīng)驗(yàn)形象

解代數(shù)題時(shí)，根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想與之對(duì)應(yīng)的幾何圖形，把代數(shù)題轉(zhuǎn)化到幾何領(lǐng)域，通過研究幾何圖形的性質(zhì)解決代數(shù)問題的方法是一種經(jīng)驗(yàn)形象，就是我們平時(shí)所說的“數(shù)形結(jié)合”。另外，代數(shù)公式、命題及命題推理論證等的整體形象也屬于經(jīng)驗(yàn)形象范疇。

3．創(chuàng)新形象

創(chuàng)新形象就是對(duì)一個(gè)新的問題情景，在經(jīng)驗(yàn)形象的基礎(chǔ)上創(chuàng)造出一種新的形象。笛卡兒在創(chuàng)立解析幾何時(shí)，進(jìn)行的就是創(chuàng)新形象思維。

4．意會(huì)形象

意會(huì)形象則因人而異，它只存在于個(gè)人的頭腦中，是個(gè)人對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的一種整體把握。我們?cè)谒伎嫉臅r(shí)候，往往會(huì)有各自對(duì)數(shù)學(xué)語言獨(dú)特的理解和思維方式，這種時(shí)而清楚時(shí)而模糊的把握和聯(lián)想，就應(yīng)該屬于意會(huì)形象了。

三、形象思維在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

數(shù)學(xué)形象思維是人們通過形象反映數(shù)學(xué)對(duì)象間關(guān)系的過程，它既具有形象性，又具有抽象概括性，它不僅活躍在幾何教學(xué)里，而且在代數(shù)中也有廣泛的作用。因此數(shù)學(xué)形象思維與抽象思維具有互補(bǔ)關(guān)系，在學(xué)習(xí)中，二者應(yīng)互相配合，相輔相成。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，兩種思維的訓(xùn)練均不可輕而視之，更不可缺少任一方面。然而對(duì)于每個(gè)不同的學(xué)生來說，存在著傾于形象和傾于抽象思維兩種不同的風(fēng)格。

具有形象思維傾向的學(xué)生能迅速的把可以形象化的抽象的式子、結(jié)論等與腦中的形象聯(lián)系起來，進(jìn)行類比，然后把類比的結(jié)果抽象化，從而得出結(jié)論。但是這類學(xué)生往往無法表達(dá)出他們的思維過程。帶有形象思維傾向的學(xué)生的特點(diǎn)是具有較多的形象儲(chǔ)備。因此在教學(xué)過程中教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的不同情況在課程設(shè)計(jì)中安排相關(guān)內(nèi)容，逐步培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力，增加他們進(jìn)行形象思維的經(jīng)驗(yàn)和將抽象體形象化的聯(lián)想、類比能力。

1．概念教學(xué)中形象思維的廣泛應(yīng)用

人們認(rèn)識(shí)事物一般是從感性認(rèn)識(shí)開始，數(shù)學(xué)概念也是如此由感性到理性逐步深化，通過數(shù)與形的對(duì)比引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)概念，從具體圖形的感知中進(jìn)行抽象；從圖形結(jié)構(gòu)的變化中掌握概念的實(shí)質(zhì)。例如微積分學(xué)中間斷點(diǎn)類型的概念教學(xué)，教師首先通過圖表的形式讓學(xué)生對(duì)間斷點(diǎn)的分類有一個(gè)直觀的感受：

再例舉各種常見類型間斷點(diǎn)的函數(shù)圖像，可以進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)概念的理解：

第一類間斷點(diǎn)（跳躍間斷點(diǎn)），如 在 處，作圖1

第一類間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)），如 在 處，作圖2

第二類間斷點(diǎn)，如 在 處，作圖3

圖1??????????????? 圖2????????????? 圖3

通過直觀形象，學(xué)生不僅理解了本概念，對(duì)連續(xù)的概念也可以有進(jìn)一步的體會(huì)。

再如，《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》中閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、最小值定理的教學(xué)，為了區(qū)別極值點(diǎn)與最值點(diǎn)的不同，可以形象地作圖演示，讓學(xué)生首先有個(gè)感官上的認(rèn)識(shí)，從而更明確地掌握最大、最小是定理的兩個(gè)條件：（1）區(qū)間是閉的；（2）函數(shù)是連續(xù)的。

如果函數(shù) 滿足這兩個(gè)條件，那么在區(qū)間[ ]上一定能找到兩點(diǎn) ，使得 分別是 在區(qū)間[ ]上的最大值和最小值。

在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中，可以利用直觀形象幫助學(xué)生理解的地方還有很多：函數(shù)的極限、凹凸性、介值定理、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等等，當(dāng)這些直觀形象被學(xué)生接受，就可以轉(zhuǎn)化為經(jīng)驗(yàn)形象，從而達(dá)到長久記憶、靈活運(yùn)用的目的。

2．解題中形象思維的體現(xiàn)

我們經(jīng)常提到的便是數(shù)形結(jié)合，用數(shù)形結(jié)合的思想方法研究問題，就是注意數(shù)與形的結(jié)合，或者把幾何圖形轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系問題，運(yùn)用代數(shù)知識(shí)去討論；或者把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的圖形性質(zhì)問題，借助于幾何知識(shí)加以解決。后者利用圖形直觀的各種優(yōu)勢(shì)，往往能使我們更快的找到解決途徑或簡(jiǎn)化解題過程。這種數(shù)形結(jié)合的思想方法一般是利用數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)形象構(gòu)圖解題：

例：求定積分 的值

分析：這個(gè)形式的積分，一般歸類為第二類換元積分中的三角替換。但 很容易聯(lián)想到圓： ，于是利用定積分的幾何意義：

形象思維不僅僅局限于圖像，利用以往解題的經(jīng)驗(yàn)幫助拓寬思路，達(dá)到解題目的也屬于此范疇。例如構(gòu)造函數(shù)法：

例：求極限

解：令 ，由于 在[1，2]上連續(xù)，則有

3． 形象思維在數(shù)學(xué)建模中也有著重要的作用

建模就是由實(shí)際問題提煉出數(shù)學(xué)模型的過程。每一種數(shù)學(xué)模型都是形象思維與抽象思維的完美結(jié)合。建模是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)形象思維，培養(yǎng)創(chuàng)造才能，促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的有效方法，在教學(xué)中應(yīng)引起足夠的重視。

比如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，通常用“平均”和“邊際”這兩個(gè)概念來形象地描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量相對(duì)于另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的變化程度。在經(jīng)濟(jì)管理中，企業(yè)為了達(dá)到最佳的經(jīng)濟(jì)效果，需要研究一定條件下的最大利潤問題。

例：設(shè)生產(chǎn)某種型號(hào)彩電的總成本函數(shù)為 通過市場(chǎng)調(diào)查，預(yù)計(jì)該彩電的年需求量為 其中 （單位：元）是銷售價(jià)， （單位：臺(tái)）是需求量，試求使利潤最大的銷售量和銷售價(jià)格。

分析：由此實(shí)際問題找到數(shù)學(xué)模型，先列出總利潤函數(shù)，再利用極值最值等數(shù)學(xué)知識(shí)，求出邊際利潤，找到駐點(diǎn)，從而解決問題。

解：總收入函數(shù)為

利潤函數(shù) =

因?yàn)?，令 得到唯一的駐點(diǎn)

由問題的實(shí)際意義可知， 是利潤函數(shù) 的極大值點(diǎn)，也是它的最大值點(diǎn)，最大利潤為 （元）

當(dāng)銷售量 （臺(tái)）時(shí)，彩電的銷售價(jià)格為 （元）。

運(yùn)用形象思維給我們的解題帶來了許多方便，也將優(yōu)美的解題過程形象的展現(xiàn)在我們面前。而與此同時(shí)，由于不注意構(gòu)作圖形的準(zhǔn)確性、合理性、全面性及數(shù)形轉(zhuǎn)換的等價(jià)性，形象思維也會(huì)導(dǎo)致解題的錯(cuò)誤。如：因草率畫圖致誤、因忽視圖形的制約范圍而致誤、未分析圖形的存在性，未討論圖形的特殊情形，圖形選取不合理等等，這些都是在教學(xué)過程中值得我們注意的。

例：比較定積分 與 的大小

錯(cuò)解：由定積分的性質(zhì)：令 ，

則只需比較 在[0，1]上的大小

由圖知 ，故

剖析：草率的作圖，沒有注意到函數(shù)圖像的相對(duì)位置，導(dǎo)致了錯(cuò)誤的產(chǎn)生。

綜上，形象思維在抽象的《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》中也無處不在，并且有著舉足輕重的地位。長期以來我們習(xí)慣了教師講、學(xué)生聽的教學(xué)方法，即使是經(jīng)過改革后的啟發(fā)式教學(xué)也存在著把學(xué)生的思維限制在教師所規(guī)定的范圍內(nèi)的弊病。我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)盡可能的考慮不同類型學(xué)生的特征，合理安排教學(xué)內(nèi)容，將形象思維滲透到日常教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，并在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有機(jī)地溝通數(shù)學(xué)各分支的內(nèi)在聯(lián)系。

參考文獻(xiàn)：

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[2]郭思樂，俞偉.數(shù)學(xué)思維教育論[M].上海：上海教育出版社

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