淺談中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的類比法

潘寶民

人們在認(rèn)識客觀世界的過程中，總是通過觀察與比較、分析與綜合，歸納與演繹等邏輯方法，去探求自然與社會的規(guī)律性。教學(xué)過程是一個認(rèn)識過程，從而應(yīng)當(dāng)是教師引導(dǎo)學(xué)生去探求并獲得知識的過程，在這個過程中必須逐步使學(xué)生掌握獲取知識的邏輯方法。本文在筆者多年教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上，試圖淺論類比教學(xué)法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用。

一、類比法教學(xué)的意義與作用

辯證唯物主義告訴我們，客觀現(xiàn)象盡管千差萬別，但存在著廣泛而深刻的內(nèi)在聯(lián)系，揭示這種聯(lián)系的一種方法是比較法。比較分為對比與類比兩種。把我們研究對象進(jìn)行比較，找出它們的異同點(diǎn)，特別是不同點(diǎn)，這就是對比，而類比雖然也是比較，但比較的重點(diǎn)是相同點(diǎn)。這里必須強(qiáng)調(diào)指出，某些研究對象初看起來似乎差異較大，毫不相關(guān)，但從某一側(cè)面，某一結(jié)構(gòu)，某一屬性，某一關(guān)系來看，卻具有極大的相似性或共同點(diǎn)。正是由于這個原因，類比法在中學(xué)乃至大學(xué)教學(xué)及科學(xué)研究中得到了廣泛的應(yīng)用，成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要手段之一。

從心理學(xué)的角度來看，中學(xué)生正處于體力與智力的發(fā)展階段。在這個階段，他們一方面對世界感到陌生好奇；另一方面，他們已初步接觸了一些自然與社會現(xiàn)象，儲備了小學(xué)（或初中）的知識，這就為在中學(xué)運(yùn)用類比教學(xué)法打下了初步基礎(chǔ)。

從教學(xué)法的角度來看，類比教學(xué)法符合辯證唯物主義的認(rèn)識論，它具有很多優(yōu)點(diǎn)。

簡化教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中，常要引入新概念，作出新判斷，給出新關(guān)系。這里，下面的兩種教學(xué)方法均不可取的：一是照本宣科，就事論事，它使學(xué)生感到突然，認(rèn)為數(shù)學(xué)神秘莫測；一種是旁征博引，重復(fù)累贅，它使學(xué)生不得要領(lǐng)。正確的方法應(yīng)當(dāng)是盡可能找到學(xué)生已熟悉的相類似的概念，判斷或關(guān)系，并與之進(jìn)行類比。這樣作既有啟發(fā)意義，又可達(dá)到簡化教學(xué)的目的。

明確思路為了解決數(shù)學(xué)問題B，我們聯(lián)想到一個與問題B有類似屬性的問題A，于是試圖用解決問題A的類似方法去解決問題B，問題B終于獲得解決。這是用類比法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的一種常用模式，這種模式，按照在比較中認(rèn)識事物的原則，容易被學(xué)生接受與掌握。

它具有明確思路的優(yōu)點(diǎn)。

加深理解數(shù)學(xué)的門類很多，即使在中學(xué)，也可分為幾何，代數(shù)，三角等多個部分，它們當(dāng)然各有自己的特點(diǎn)，但在概念的形成，理論的推導(dǎo)，結(jié)論的形成等諸多方面，都有極大的相似性，在這個意義上，它們又緊密相連，故名之日“數(shù)學(xué)”（數(shù)學(xué)并非只是數(shù)的學(xué)問）。一旦我們從比較中去認(rèn)識它們，就能揭示它們的聯(lián)系與相似性，從而加深對它們的理解。

增強(qiáng)記憶如上所述，類比法是把一些具有相似結(jié)構(gòu)，相似屬性與相似關(guān)系的事物拿來進(jìn)行比較的方法，故能加深理解，從而增加記憶，人們常說的“似曾相識”，正形象地說明了人們由一種事物引發(fā)的對另一相似事物的聯(lián)想。

總之，類比教學(xué)法是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常采用的一種具有較好教學(xué)效果的重要教學(xué)手段。運(yùn)用好這種教法，不僅可提高教師的教學(xué)質(zhì)量，而且可以提高學(xué)生的認(rèn)識能力，使他們終生受益。

二、創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景，運(yùn)用類比方法

學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識過程，是一個由未知到已知的探索學(xué)習(xí)過程，在這個過程中，就需要教師引導(dǎo)學(xué)生對新舊知識間的共同特征進(jìn)行分析和類比，從“已知”中發(fā)現(xiàn)“未知”，達(dá)到由未知到已知的目的。

創(chuàng)設(shè)問題情景，誘發(fā)類比聯(lián)想 。聯(lián)想是人們認(rèn)識事物的過程中，根據(jù)事物間的某種聯(lián)系，由一事務(wù)想到另一事務(wù)的思維過程，它在人們的認(rèn)識活動中起著橋梁和紐帶的作用，在學(xué)習(xí)中，學(xué)生容易產(chǎn)生廣泛的聯(lián)想，如前面提到的從長方形的對角線聯(lián)想到長方體的對角線，但也存在一些與就知識的聯(lián)系不那么直接和明顯的內(nèi)容，學(xué)生無法自己找到類比的對象，因此，需要教師創(chuàng)設(shè)問題情景，誘發(fā)學(xué)生聯(lián)想，喚起學(xué)生記憶中的相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，把與之類比的對象找出來。

創(chuàng)設(shè)類比情景，展現(xiàn)思維過程。在教學(xué)過程中，要恰如其分的創(chuàng)設(shè)類比情形，展示數(shù)學(xué)的思維過程，把每一個層次和環(huán)節(jié)展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生觀察和類比，參與探索發(fā)現(xiàn)知識的活動過程。

指導(dǎo)學(xué)生閱讀，學(xué)會類比方法。在教學(xué)中，教師不僅在教學(xué)上運(yùn)用類比法，還要創(chuàng)設(shè)條件，讓學(xué)生自己去學(xué)會類比，對于關(guān)系并類的兩個數(shù)學(xué)對象，由于它們類比的內(nèi)容很多，因而對后一對象的學(xué)習(xí)，教師要指導(dǎo)學(xué)生，結(jié)合教材，讓學(xué)生與前一對象進(jìn)行類比，獨(dú)立自主獲得知識。

三、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的幾種類比法

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的類比法多種多樣，這里選取幾種常用的簡述如下。

概念類比在引入新概念時，與原來的已知概念進(jìn)行類比。由于中學(xué)數(shù)學(xué)是小學(xué)算術(shù)的繼續(xù)與發(fā)展，存在著大量的類似概念。例如：數(shù)與式，整數(shù)與整式，分?jǐn)?shù)與分式，整數(shù)的分解與整式的因式分解，等式與方程等等。又如對數(shù)概念的引入，應(yīng)以逆運(yùn)算的思想為指導(dǎo)，與加法和減法，乘法和除法等互逆運(yùn)算進(jìn)行類比，就容易被學(xué)生接受。

屬性類比把不同對象各自具有的相似性質(zhì)進(jìn)行類比。例如，把數(shù)與式的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行類比，把等式的變形與方程的同解變形進(jìn)行類比，把對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行類比，把有理指數(shù)冪與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行類比，等等。

關(guān)系類比把相似的數(shù)量關(guān)系或相似的圖形關(guān)系進(jìn)行類比。例如，相等關(guān)系與不等關(guān)系，本來是本質(zhì)上不同的關(guān)系，但就其“傳遞性”這一關(guān)系上都是相同的，可把這種相同點(diǎn)進(jìn)行類比。再如，在△ABC中，若sin2A+sin2B+ sin2C—sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB，求證△ABC是正三角形，可引導(dǎo)學(xué)生與關(guān)系式a2+b2+c2=bc+ca+ac進(jìn)行類比，從而由后一關(guān)系可得（a-b） 2+（b—c）2+（c—a）2一O，于是本題迎刃而解。

經(jīng)驗(yàn)歸納類比要解一個一般性數(shù)學(xué)問題，首先可考慮其特殊情形，若后一情形的解法可推廣到一般情形，則此數(shù)學(xué)問題可解決，這就是經(jīng)驗(yàn)歸納類比。例如，在Rt△ABC中，求證：an+bn

降維類比我們經(jīng)常說，空間是三維的，平面是二維的，直線是一維的，立體幾何問題，常可與平面幾何問題類比，這就是降維類比。通常可考慮將“線、面、體”降維成“點(diǎn)、線、面”。例如，求圓錐體中側(cè)面積最大的內(nèi)接圓柱體這類立體幾何題，可用軸截面降維為一個平面幾何題。

以上，我們強(qiáng)調(diào)了類比法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法是多方面的，類比法只是其中的一種。如果只是一味強(qiáng)調(diào)類比法而排斥其它方法，就會造成一種思維定勢，就會削弱對學(xué)生求異思維及逆向思維等能力的培養(yǎng)。所以當(dāng)我們說類比法是教學(xué)的主要手段，是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉時，不要忘記，它只是手段與源泉之一而己。