巧用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想提高高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的實(shí)踐研究

余傳銘

【摘要】在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們常常將困難問題轉(zhuǎn)化為容易問題，陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題，這就是轉(zhuǎn)化思想。它是解決新問題、獲得新知識(shí)的重要思想，其他許多重要的數(shù)學(xué)思想，例如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程與函數(shù)思想、整體思想等均體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化過程，因此轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想的核心和精髓，是數(shù)學(xué)思想的靈魂。高中課改教材中蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化思想的知識(shí)點(diǎn)極多，教學(xué)過程中，如果能重視對(duì)轉(zhuǎn)化思想的滲透和應(yīng)用，將大大提高學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的有效性，減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，讓學(xué)生逐漸將新知識(shí)、新的解題方法轉(zhuǎn)化為自己的經(jīng)驗(yàn)，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人翁。

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化思想 化未知為已知 化繁為簡(jiǎn)

一、轉(zhuǎn)化思想概述

所謂轉(zhuǎn)化思想，就是在處理問題時(shí)把那些待解決的問題或難解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，最終求得原問題的解答的一種數(shù)學(xué)思想。合理運(yùn)用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想是解決問題的關(guān)鍵。例如解析幾何就是把幾何問題通過轉(zhuǎn)化歸結(jié)為代數(shù)問題，函數(shù)圖像是把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為幾何圖形來解決的一種工具。數(shù)學(xué)問題的解決過程就是不斷地發(fā)現(xiàn)新的、陌生的問題，分析新的、陌生的問題，對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一類已經(jīng)能被解決或者容易解決的問題的過程。下面來談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)中比較常用的三種轉(zhuǎn)化。

二、高中數(shù)學(xué)中常用的三種轉(zhuǎn)化

1、普通語言向數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化

審題作為解題的第一步，對(duì)一道題的解答起著至關(guān)重要的作用，而如何將一道題中的各種由普通語言所表述的條件，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，則是解題過程中極其重要的一個(gè)步驟。

例1：函數(shù) 在 上是二次函數(shù)，且在 時(shí)函數(shù)取得最小值

，且有 ，求 的解析式。

分析：本題解題的關(guān)鍵在于如何合理地將題干中的普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言。如果僅僅是很直接地將函數(shù)設(shè)為 ，那么求解 三個(gè)參數(shù)的值，將變得相當(dāng)復(fù)雜。相反，仔細(xì)琢磨“且在 時(shí)函數(shù)取得最小值 ”這句話，會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果將所求二次函數(shù)設(shè)為頂點(diǎn)式，就將大大簡(jiǎn)化解題的難度，即設(shè) 。這樣的話，要求解該二次函數(shù)，只要求出函數(shù)中的唯一一個(gè)參數(shù)，而求解這一個(gè)參數(shù)，只要得到一個(gè)關(guān)于該參數(shù)的方程即可，即 。因此，本題解決的關(guān)鍵，就在于如何理解題干中的普通語言，將之巧妙的化為更容易求解的數(shù)學(xué)語言。

2、陌生、復(fù)雜題型向熟悉、簡(jiǎn)單題型的轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，為了最終的高考，往往提倡題海戰(zhàn)術(shù)，有時(shí)候一個(gè)學(xué)生高中三年要做幾千甚至幾萬題。在茫茫題海中，真的需要一道一道的去“砍”題么？在學(xué)習(xí)解題的過程中，如何應(yīng)用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，把一道道陌生，復(fù)雜的，看似沒有見過的題型，轉(zhuǎn)化、分割成一些基本的，已經(jīng)熟練掌握的題型，就變得相當(dāng)重要。

例4：已知點(diǎn)P（x，y）滿足方程 ，求 的最值

分析：表面上看，本題是一道關(guān)于“ ”的最值問題，但該方程最終無法轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量“ ”的函數(shù)形式，因此無法運(yùn)用最值問題來求解。

解法一：從另一個(gè)角度看，這個(gè)方程是圓的一般方程，所有滿足題意的實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）都在該圓上。而“ ”可以視作“ ”，即圓上的任意一點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)（0，0）連成的直線的斜率。于是本題就轉(zhuǎn)化為了圓上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所構(gòu)成的直線的斜率的最值問題。然后作出圖像，如左圖所示，過原點(diǎn)分別作出圓的兩條切線，切圓于A（ ）和B（ ）點(diǎn)，則這兩條切線所在的直線的斜率值，就是上述問題中的斜率的最值。然后再將圖像的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用向量垂直建立方程就可以分別求出A點(diǎn)與B點(diǎn)的坐標(biāo)。

解法二：將本方程配方化簡(jiǎn)為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 后，可以通過換元：令 轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題：求三角函數(shù) 的最值。對(duì)于這類題型，學(xué)生比較熟悉，可以利用萬能置換公式或者輔助角公式來進(jìn)行求解。

小結(jié)：一道看上去并不熟悉的問題，用第一種解法，將之轉(zhuǎn)化為直線斜率問題，過定點(diǎn)作直線與圓相切并求切點(diǎn)的問題，成功的將一道看上去不熟悉的問題，分割轉(zhuǎn)化為若干個(gè)小的、基本的、熟練掌握的問題，便于學(xué)生解答；第二種解法將一個(gè)與“ ”相關(guān)的最值問題轉(zhuǎn)化為了學(xué)生熟悉的三角函數(shù)最值問題中的一種形式?？梢?，數(shù)學(xué)中許多問題，看上去陌生，但往往可以轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過并熟練解答的問題。

3、數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化

代數(shù)向圖像的轉(zhuǎn)化，比較有代表性的，就是研究非初等方程的解的個(gè)數(shù)的問題。

例7：若 為何值時(shí)，關(guān)于 的方程： ，有兩解、一解、無解？

分析：本題若沒有給定區(qū)間，定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，那將變得非常簡(jiǎn)單，事實(shí)上，有許多學(xué)生在解答該類問題時(shí)，或者沒注意到這個(gè)給定區(qū)間，或者是注意到了，但對(duì)題目所給定的區(qū)間對(duì)本題的意義沒有一定了解，所以在解題的時(shí)候，就將本題當(dāng)成了定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)的類型來解答，僅僅考慮了判別式對(duì)根的影響。

本題可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)無參數(shù)的二次函數(shù)與可以上下移動(dòng)的水平線之間的交點(diǎn)問題。

<解>

至此，原來的關(guān)于 的、在給定區(qū)間上的解的問題，就轉(zhuǎn)化為了一個(gè)關(guān)于 的二元二階方程組的解的問題。下一步是將該問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖像形式。

由左圖可以看到，原來的問題已經(jīng)轉(zhuǎn)化為紅色的拋物線與水平的直線的交點(diǎn)問題，有幾個(gè)交點(diǎn)既為幾個(gè)解。由左圖可以很清晰的看出，當(dāng) 時(shí)，無交點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)。之后只是一些相當(dāng)簡(jiǎn)單的運(yùn)算。

本題原本是一個(gè)較難解決的問題，如果僅僅從代數(shù)方面去研究，利用求根公式求出根，或者利用韋達(dá)定理研究根的分布情況，都顯得十分復(fù)雜。但如果秉承著數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想，最終轉(zhuǎn)化為圖像上2個(gè)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，則顯得非常的簡(jiǎn)單。

四、結(jié)論

高中的數(shù)學(xué)，知識(shí)點(diǎn)既多，向外擴(kuò)展的范圍和力度也很大，各種題型層出不窮，如果不能夠理解數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，想通其中的奧妙，只是一味追求做題多，見多不怪，那么到最后的結(jié)果，只能是人外有人，天外有天，千奇百怪的題目永遠(yuǎn)做不完。數(shù)學(xué)何嘗不是，掌握好轉(zhuǎn)化思想，學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)和定義，然后利用好轉(zhuǎn)化思想，用轉(zhuǎn)化思想去串聯(lián)新舊知識(shí)，學(xué)習(xí)新公式，新性質(zhì)，用轉(zhuǎn)化思想把一道冗長(zhǎng)的題目轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單明了的數(shù)學(xué)語言，用轉(zhuǎn)化思想將數(shù)形轉(zhuǎn)化，用轉(zhuǎn)化思想將一道復(fù)雜的題目最終轉(zhuǎn)化成一個(gè)方程組，一個(gè)方程，一個(gè)不等式等等。這樣，才能笑傲高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

【參考文獻(xiàn)】

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