淺談高考數(shù)學(xué)中由遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式常見題型

李輝

數(shù)列在高考數(shù)學(xué)中是?？碱}型，而由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式尤為常見，現(xiàn)將最近幾年高考數(shù)學(xué)中由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式的題型總結(jié)如下：

類型一：已知 ， 型。

解題方法：累加法。

例：已知數(shù)列 中， ， ，

解：已知

累加得：

類型二：已知 ， 型。

解題方法：累乘法。

例：已知數(shù)列 中， ， ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式。

解：已知

累乘得：

類型三：已知 ，求 型。

解題方法：

例：（2015年全國 卷） 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和，已知 ， 。

（1） 求 的通項(xiàng)公式。

（2） 設(shè) ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和。

解：（1）、已知 ①

，得

當(dāng) 時 ②

由①—②得：

即

是以首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列。

（2）、（略）。

類型四：已知 ， 型（其中 、 均為常數(shù)）。

解題方法：構(gòu)造形如 的等比數(shù)列，其中

例：（2014全國Ⅱ卷）已知數(shù)列 滿足 ，

（1） 證明： 是等比數(shù)列，并求 的通項(xiàng)公式。

（2） 證明： 。

證明：（1）、已知

又

是以首項(xiàng)為 ，公比為3的等比數(shù)列。

（2）、（略）。

類型五：已知 ， 型。

解題方法：構(gòu)造形如 的等比數(shù)列。

例：在數(shù)列 中， ， 求數(shù)列 的通項(xiàng)公式。

解：已知

又

是以首項(xiàng)為 ，公比為2的等比數(shù)列。

當(dāng)然，已知數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的類型還有多種，采用的解題方法也各有不同，在此就只針對近幾年高考題型中常見的類型作出總結(jié)，其余類型就不再一一列舉。