函數(shù)連續(xù)的新概念

張錚 陳天宇 李俊

【摘要】本文基于對(duì)“連續(xù)”的直觀認(rèn)識(shí)，從函數(shù)點(diǎn)連續(xù)的基本定義出發(fā)，討論了函數(shù)點(diǎn)連續(xù)和域連續(xù)的關(guān)系，揭示了函數(shù)點(diǎn)連續(xù)和域連續(xù)的本質(zhì)一致性，從而說(shuō)明函數(shù)點(diǎn)連續(xù)和域連續(xù)的概念是相對(duì)的，是函數(shù)連續(xù)的具象表現(xiàn).本文的研究有助于拓寬和深化對(duì)函數(shù)連續(xù)的理解和認(rèn)識(shí).

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；連續(xù)；點(diǎn)連續(xù)；域連續(xù)

引言

在高等數(shù)學(xué)中，對(duì)于函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)的定義是十分清晰的，即函數(shù)在該點(diǎn)極限存在且有定義且函數(shù)值等于極限值；對(duì)函數(shù)在域內(nèi)的連續(xù)的定義也是十分明確的，即以域內(nèi)逐點(diǎn)連續(xù)定義域連續(xù).但令人疑惑的是，函數(shù)的連續(xù)是以函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)結(jié)合域連續(xù)加以說(shuō)明的，反而缺乏對(duì)函數(shù)連續(xù)的直接定義.這樣的方式固然可以較好的建立符合“連續(xù)”的直觀認(rèn)識(shí)的函數(shù)連續(xù)的說(shuō)明，但作為對(duì)函數(shù)連續(xù)的定義，并不夠本質(zhì)和直觀，使得函數(shù)連續(xù)這樣一個(gè)最基本的概念無(wú)法形成清晰嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x.

一、基礎(chǔ)定義

設(shè)D是n維歐氏空間Rn的一個(gè)子集，即DRn，那么映射f：D→R稱為n元函數(shù)，其中D稱為函數(shù)f的定義域，f（D）R稱為函數(shù)f的值域.

（一）函數(shù)的極限

如上所述，對(duì)于點(diǎn)a∈D（DRn），有數(shù)l，對(duì)于任意給定的小數(shù)ε > 0，總是存在正數(shù)δ，當(dāng)0<‖ x - a ‖<δ（x∈D）（以下用“Bδ（a）”表示）時(shí)，有|f（x）- l |<ε，則稱函數(shù)f在點(diǎn)a處有極限l，也就是說(shuō)，當(dāng)x趨向于a時(shí)，f（x）趨向于l，記作

limx→ax∈Df（x）=l

或者簡(jiǎn)記為：x→a：f（x）→l

（二）函數(shù)的連續(xù)

在函數(shù)極限存在的前提下，對(duì)于DRn，f：D→R，a∈D，如果任意給定小數(shù)ε > 0，總有正數(shù)δ，使得在Bδ（a）內(nèi)，|f（x）- f（a）|<ε成立，則稱函數(shù)f在點(diǎn)a連續(xù).

當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)域D內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，則稱f（x）在域D內(nèi)連續(xù)，f（x）也稱為域D上的連續(xù)函數(shù).

如上所述，函數(shù)連續(xù)以函數(shù)在一點(diǎn)的點(diǎn)連續(xù)為基礎(chǔ)，進(jìn)而建立“逐點(diǎn)連續(xù)”的域連續(xù)，從而說(shuō)明函數(shù)連續(xù).

二、關(guān)于函數(shù)“點(diǎn)連續(xù)”和“域連續(xù)”概念的再認(rèn)識(shí)

和數(shù)學(xué)（也包括其他科學(xué)分支）中的其他基礎(chǔ)概念一樣，“連續(xù)”的概念也來(lái)自于客觀存在和人的感官意識(shí)，江水川流，山脈逶迤，草原綿延，等等……這也是對(duì)函數(shù)連續(xù)的一般認(rèn)識(shí)，在人們的潛意識(shí)里，連續(xù)甚至（基本或者叫“幾乎”）等同于可微.如果我們考察下雨這個(gè)現(xiàn)象，用“（單位區(qū)域的）降雨量”這個(gè)概念去描述降雨的大小，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)降雨量在降雨的時(shí)間域內(nèi)是連續(xù)的（甚至是關(guān)于時(shí)間可微的），但在考察區(qū)域的子域內(nèi)（例如，幾何尺度比考察區(qū)域小一個(gè)量級(jí)的范圍內(nèi)），降雨量既非均勻也非連續(xù).實(shí)際上，雨是一滴一滴下的.函數(shù)“連續(xù)”這個(gè)概念雖然以點(diǎn)連續(xù)為基礎(chǔ)，進(jìn)而定義域連續(xù)，但仍然是一個(gè)宏觀的連續(xù)概念，仍然建立于人對(duì)自然界連續(xù)現(xiàn)象的直觀感知；在“微觀的尺度”上，連續(xù)不一定或者不必要成為一個(gè)“概念”，從根本上講，ε-δ定義體系無(wú)法排除函數(shù)趨近某一定值過(guò)程的非一致性.

也正是在這個(gè)意義上，函數(shù)連續(xù)有其內(nèi)在的本質(zhì)特征，所謂點(diǎn)連續(xù)或者域連續(xù)不過(guò)是函數(shù)連續(xù)的具象而已.關(guān)于函數(shù)點(diǎn)連續(xù)的定義與“連續(xù)”的一般認(rèn)識(shí)之間需要建立邏輯性的理解，而所謂的函數(shù)域連續(xù)是點(diǎn)連續(xù)的“疊加”，是點(diǎn)連續(xù)的“機(jī)械論”，缺乏對(duì)“連續(xù)”遞進(jìn)性的理解.

三、關(guān)于函數(shù)點(diǎn)連續(xù)和域連續(xù)的內(nèi)在一致性

如上所述，將函數(shù)的連續(xù)性認(rèn)為是以函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)為基礎(chǔ)，將一個(gè)區(qū)域內(nèi)所有點(diǎn)的點(diǎn)連續(xù)集合在一起，加以延伸來(lái)定義函數(shù)的域連續(xù)，即域連續(xù)是一定區(qū)域內(nèi)點(diǎn)連續(xù)的集合和自然延展，從而說(shuō)明了函數(shù)的連續(xù)性.這樣關(guān)于“函數(shù)連續(xù)”的認(rèn)識(shí)使得函數(shù)點(diǎn)連續(xù)和域連續(xù)的內(nèi)在關(guān)系受到了曲解（參照前一節(jié)關(guān)于降雨的討論）：一方面，函數(shù)域連續(xù)必需基于點(diǎn)連續(xù)，則域連續(xù)對(duì)函數(shù)連續(xù)的界定受到限制；另一方面，沒有通過(guò)域連續(xù)推導(dǎo)點(diǎn)連續(xù)的途徑，則點(diǎn)連續(xù)對(duì)函數(shù)連續(xù)的描述顯得缺乏必然的“連續(xù)性”.

正是對(duì)函數(shù)點(diǎn)連續(xù)和域連續(xù)這種定義的局限（從某種意義上說(shuō)，也是函數(shù)連續(xù)內(nèi)涵表達(dá)的局限），使函數(shù)連續(xù)性的內(nèi)涵變得感性化，而非理性化.

那么，函數(shù)點(diǎn)連續(xù)和域連續(xù)有何內(nèi)在一致性呢？首先我們還是從函數(shù)點(diǎn)連續(xù)的基本定義出發(fā)（參看“1.基礎(chǔ)定義”），設(shè)DRn，f：D→R，a，x∈D，對(duì)于任意的小數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，在a點(diǎn)的鄰域Bδ（a）內(nèi)，有不等式|f（x）- f（a）|<ε成立，則函數(shù)在a點(diǎn)連續(xù).

極限的趨近過(guò)程是一種函數(shù)過(guò)程，而不簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單是一個(gè)數(shù)值，描述了函數(shù)趨近某一定值的過(guò)程、趨勢(shì)及其相關(guān)的性質(zhì).從這個(gè)意義上說(shuō)，極限取得定值，并不意味著其自變量取得相應(yīng)的定數(shù).函數(shù)的連續(xù)（特別是點(diǎn)連續(xù)）本質(zhì)上就是極限函數(shù).因此，依據(jù)函數(shù)點(diǎn)連續(xù)的基本定義，構(gòu)造任意的小數(shù)序列εi：ε1>ε2 >…εi > ε i+1>…> ε∞→0，相應(yīng)的，存在正數(shù)序列δi：δ1 > δ2 >…δi>δ i+1>…> δ∞→0，且0<‖ xi - a ‖<δi，則在a的該鄰域Bδi（a）內(nèi)，不等式|f（x）- f（a）|<εi成立.這樣的理解與函數(shù)點(diǎn)連續(xù)在本質(zhì)上是一致的.

對(duì)于任意一組εi - δi，存在正數(shù)mi > 1，在域Bδi（a）內(nèi)存在以a為中心的子域Zδi（a）：0<‖ x - a ‖<δi/mi，該子域內(nèi)任意點(diǎn)Xi均滿足不等式|f（x）-f（Xi）|<εi.這說(shuō)明，在定義函數(shù)點(diǎn)連續(xù)的同時(shí)，也定義了該點(diǎn)鄰域內(nèi)每個(gè)點(diǎn)的連續(xù)，也就是該點(diǎn)鄰域的域連續(xù).當(dāng)序列εi-δi趨于0時(shí)（即δ∞→0），顯然δ∞/m∞→0，但相應(yīng)子域Zδ∞（a）仍然不是單個(gè)“點(diǎn)”的概念.綜上所述，函數(shù)點(diǎn)連續(xù)的定義說(shuō)明該點(diǎn)的鄰域也是連續(xù)的，函數(shù)點(diǎn)連續(xù)和域連續(xù)在本質(zhì)上是同一事物（概念）的不同表述而已.

這不僅符合對(duì)“連續(xù)”現(xiàn)象的直觀認(rèn)識(shí)，也是函數(shù)連續(xù)的本質(zhì)特征的最直接和樸素的表達(dá).

其實(shí)，函數(shù)點(diǎn)連續(xù)研究的是以該點(diǎn)為中心的一個(gè)鄰域，而并非僅僅是這個(gè)孤立的點(diǎn)，函數(shù)在該點(diǎn)的連續(xù)性依靠該函數(shù)在該點(diǎn)鄰域的區(qū)域性來(lái)表征，反映了該點(diǎn)鄰域的特性（該鄰域趨于無(wú)窮?。?函數(shù)在一點(diǎn)所體現(xiàn)出來(lái)的性質(zhì)，并不能有力的表征其局域特性，局域所有點(diǎn)（無(wú)窮多）的集合特性才是函數(shù)性質(zhì)的完整體現(xiàn)，當(dāng)然也包含了“個(gè)體”點(diǎn)的函數(shù)性質(zhì).

綜上所述，函數(shù)連續(xù)的概念基于極限的概念，函數(shù)點(diǎn)連續(xù)本質(zhì)上反映了該點(diǎn)鄰域的連續(xù)性，函數(shù)在無(wú)窮多個(gè)連續(xù)相交的鄰域（注意：是鄰域，不是“點(diǎn)”）范圍內(nèi)所表現(xiàn)的連續(xù)性構(gòu)成了該函數(shù)的區(qū)域連續(xù)性.相比于以點(diǎn)連續(xù)構(gòu)建區(qū)域連續(xù)，從點(diǎn)鄰域的連續(xù)構(gòu)建區(qū)域的連續(xù)，顯然更為嚴(yán)謹(jǐn)和合乎邏輯.從這個(gè)意義上講，函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)就是域連續(xù)，域連續(xù)就是點(diǎn)連續(xù)，兩者共同構(gòu)建了函數(shù)連續(xù)性的“大廈”.函數(shù)連續(xù)本質(zhì)上就是域連續(xù)，而域連續(xù)必然是域內(nèi)逐點(diǎn)的點(diǎn)連續(xù)，域連續(xù)和點(diǎn)連續(xù)的概念并不是必要的.

四、結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)函數(shù)“連續(xù)”的直觀認(rèn)識(shí)，以數(shù)學(xué)的基本定義―極限、點(diǎn)連續(xù)和域連續(xù)―為基礎(chǔ)，討論了函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)和域連續(xù)，說(shuō)明在“連續(xù)”這個(gè)概念上，“點(diǎn)”和“域”在概念上有區(qū)別但本質(zhì)上是統(tǒng)一的，沒有截然對(duì)立、相互排斥的“點(diǎn)連續(xù)”和“域連續(xù)”的概念；點(diǎn)連續(xù)的概念具有域連續(xù)的性質(zhì)，而域連續(xù)是點(diǎn)連續(xù)對(duì)域的描述的明示化，也就是說(shuō)點(diǎn)連續(xù)和域連續(xù)是相對(duì)的和相應(yīng)的.更重要的是，函數(shù)連續(xù)其本質(zhì)就是區(qū)域連續(xù)，從這個(gè)角度，傳統(tǒng)的點(diǎn)連續(xù)和域連續(xù)是函數(shù)連續(xù)的一種反映.本文的討論對(duì)培養(yǎng)研究問(wèn)題的方法，訓(xùn)練解決問(wèn)題的思路，激發(fā)思考和學(xué)習(xí)興趣，都是十分有益的.