《圓》教材分析

高飛

通過(guò)對(duì)教材進(jìn)行分析，筆者對(duì)《圓》這一部分內(nèi)容提出自己的一點(diǎn)看法和教學(xué)上的建議，請(qǐng)大家批評(píng)指正.

一、課程標(biāo)準(zhǔn)要求的變化

《圓》是義務(wù)教育階段“圖形與幾何”部分的重要內(nèi)容，作為第三學(xué)段的最后一部分幾何內(nèi)容，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)“圖形的性質(zhì)”中“圓”的部分作了較大的增刪變動(dòng)，以適應(yīng)學(xué)生在該學(xué)段的思維發(fā)展的要求，為學(xué)生推理能力與幾何直觀的發(fā)展、應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展奠基.

（一）新舊課標(biāo)對(duì)照分析

通過(guò)對(duì)照分析《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》與《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，發(fā)現(xiàn)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)知識(shí)掌握的要求更加詳細(xì)，也對(duì)我們的數(shù)學(xué)教學(xué)提出了更加具體的要求.

（二）增刪內(nèi)容說(shuō)明

1.刪除的內(nèi)容主要是探索并了解圓與圓的位置關(guān)系和會(huì)計(jì)算圓錐的側(cè)面積和全面積.

2.增加的內(nèi)容包括兩個(gè)部分，一個(gè)是必學(xué)內(nèi)容，一個(gè)是選學(xué)內(nèi)容.

選學(xué)內(nèi)容的增設(shè)主要是從課程理念出發(fā)，為學(xué)生個(gè)性的發(fā)展提供機(jī)會(huì)和可能.在規(guī)定了所有學(xué)生應(yīng)該達(dá)到的標(biāo)準(zhǔn)同時(shí)，也為學(xué)有余力、有特殊需求的學(xué)生提供了發(fā)展空間.

二、新舊教材對(duì)照分析

通過(guò)對(duì)新舊教材進(jìn)行對(duì)照分析，發(fā)現(xiàn)新修訂的教材保留了舊教材中的6節(jié)內(nèi)容，垂徑定理從《圓的對(duì)稱性》一節(jié)中脫離出來(lái)，獨(dú)立成節(jié)；添加了切線長(zhǎng)定理和圓內(nèi)接正多邊形兩節(jié)；刪去了圓和圓的位置關(guān)系和圓錐的側(cè)面積兩節(jié).這樣的修改更加符合《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)《圓》的要求.

三、教學(xué)建議

（一）整體把握

1.關(guān)注變化，把握好教學(xué)的度

根據(jù)知識(shí)的變化，及時(shí)調(diào)整課時(shí)安排，結(jié)合任課班級(jí)的學(xué)情，調(diào)整教學(xué)進(jìn)度，對(duì)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容要增加學(xué)生活動(dòng)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生的問(wèn)題，要詳細(xì)分析原因，及時(shí)糾正，練習(xí)鞏固.此外，適當(dāng)控制難度，一般學(xué)生應(yīng)控制在教材要求的范圍內(nèi)，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生可作研究性學(xué)習(xí)展開：如垂徑定理的推論、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理等.

2.突出圖形性質(zhì)的探索過(guò)程，重視直觀操作和邏輯推理的有機(jī)結(jié)合

（1）結(jié)合圓的對(duì)稱性，發(fā)現(xiàn)垂徑定理及其推論；

（2）利用圓的旋轉(zhuǎn)不變性，發(fā)現(xiàn)圓中弧、弦、圓心角之間的關(guān)系；

（3）通過(guò)觀察、度量，發(fā)現(xiàn)圓心角與圓周角、圓周角之間的關(guān)系；

（4）利用直觀操作，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)和圓、直線和圓之間的位置關(guān)系.在學(xué)生通過(guò)觀察、操作、變換探究出圖形的性質(zhì)后，還要求學(xué)生能對(duì)發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行證明，使直觀操作與演繹推理有機(jī)的整合在一起，使推理論證成為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的自然延續(xù).

3.注意理論聯(lián)系實(shí)際

通過(guò)例題與練習(xí)，幫助學(xué)生從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，樹立建模意識(shí)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

4.重視滲透數(shù)學(xué)思想方法

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中“圓”的部分用了5個(gè)“探索”，分別為：探索并了解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、探索并證明垂徑定理、探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系、探索切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑的關(guān)系、探索并證明切線長(zhǎng)定理，暗示此部分內(nèi)容為應(yīng)用性知識(shí)，故知識(shí)本身以外的方法滲透、應(yīng)用、推理能力的培養(yǎng)尤為重要.

（二）具體建議

下面結(jié)合兩個(gè)章節(jié)，談?wù)劸唧w建議.

第六節(jié)直線和圓的位置關(guān)系

1.從“地平線與太陽(yáng)的位置關(guān)系”、“固定圓，移動(dòng)直尺”等實(shí)際情境引入，強(qiáng)調(diào)切線、切點(diǎn)的概念.從公共點(diǎn)個(gè)數(shù)、直線和圓的位置關(guān)系、圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系這三個(gè)方面強(qiáng)化概念，體現(xiàn)分類意識(shí)和數(shù)形結(jié)合思想.

2.關(guān)于“探索切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑的關(guān)系”，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》只要求知道“圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”和“過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線”，并“會(huì)用三角尺過(guò)圓上一點(diǎn)畫圓的切線”，沒(méi)有提出圓的切線的性質(zhì)定理與判定定理的字眼.

3.新教材去掉了利用反證法證明切線的性質(zhì)的過(guò)程，教師可指導(dǎo)學(xué)生從對(duì)稱性角度探索分析.對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生可引導(dǎo)其思考并使用反證法證明，并可以引導(dǎo)其歸納總結(jié)：“垂直于切線”、“過(guò)切點(diǎn)”、“過(guò)圓心”這三個(gè)條件，已知其中兩個(gè)可以推出第三個(gè)的結(jié)論.指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)歸納切線的判定，會(huì)用三角尺過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線、作三角形的內(nèi)切圓，體現(xiàn)應(yīng)用意識(shí)，并歸納內(nèi)心的概念.對(duì)切線的判定，可從如下例題及變式加以鞏固.

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)推理能力的要求是：推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中.推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論.

波利亞很早就注意到“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面……用歐幾里得方式提出來(lái)的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)卻是實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)”.因此，與之相適應(yīng)，應(yīng)該有兩類推理：用合情推理獲得猜想，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；用演繹推理驗(yàn)證猜想，證明結(jié)論.