基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視域談初中幾何教學(xué)

廣東省廣州市二中蘇元實驗學(xué)校(510000) 王碧瑩

幾何教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分,在增強學(xué)生的基本技能、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中擔(dān)負(fù)著不可替代的作用.但是,幾何難學(xué)是學(xué)生的心聲,幾何教學(xué)難提效是廣大一線教師的苦惱,一條輔助線難倒一大片,千教萬囑難成效,幾何成了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的攔路虎.如何提高幾何教學(xué)效率成了教師們關(guān)注的熱點話題之一.筆者結(jié)合自身的教學(xué)實踐,從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度出發(fā),探究提升初中幾何教學(xué)效率的做法,以期拋磚引玉.

1 直觀抽象互助力

幾何是一門邏輯性十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科,它的嚴(yán)謹(jǐn)性突出表現(xiàn)在幾何語言的表述上.這給初中生的學(xué)習(xí)造成了不小的困惑,讀起來朗朗上口,用起來一頭霧水,歸結(jié)起來就是太抽象.因此,在幾何教學(xué)中,教師應(yīng)有意識地運用直觀手段,讓學(xué)生在直觀的情景中經(jīng)歷知識的產(chǎn)生和形成的過程,進(jìn)而提升思維品質(zhì).同時,教學(xué)也應(yīng)滲透抽象能力的培養(yǎng),從直觀經(jīng)驗中,抽象得出幾何的元素,探究幾何性質(zhì),豐富學(xué)生的感知,讓幾何知識在學(xué)生的學(xué)習(xí)中變得有血有肉.有直觀參與的經(jīng)歷,有抽象而成的過程,直觀抽象互助力,從而加深學(xué)生對知識的理解和運用.

1.1 案例1:“兩條直線平行的判定”教學(xué)片斷

活動1:

師: 同學(xué)們,我們剛學(xué)了兩條直線平行的概念,你能夠畫出兩條互相平行的直線嗎?

學(xué)生基本都沿著尺子對邊描出兩條直線來.

師: 老師再考考你,大家先畫一條直線a,在直線外任意畫一個點P,你能夠過點P畫直線,讓它與直線a平行嗎?

學(xué)生獨立思考嘗試,同桌交流,教師引導(dǎo)學(xué)生一起參與,一步步畫圖,如圖1 所示.

師: 反思剛才的畫圖過程,你有什么發(fā)現(xiàn)呢?

學(xué)生討論,老師把學(xué)生的結(jié)論一一板書:

(1)只畫出了一條直線;

(2)畫出來的直線互相平行;

(3) 畫圖時直尺不動, 推動三角板移動.教師根據(jù)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究.

追問1: 你能用自己的語言描述發(fā)現(xiàn)(1)嗎?

圖1 畫平行線圖

生: 直線a和點P固定,只能畫出一條直線與a平行.

追問2: 點P的位置有特別要求嗎? 如果點P在直線a上,在直線a外,你畫圖的結(jié)果會怎樣?

生: 點P在直線a外,可以畫一條;點P在直線a上,畫不出來.因此,點P在直線外是能夠畫出平行線的前提.

教師引導(dǎo)學(xué)生完成結(jié)論(1),并用數(shù)學(xué)語言表示出來.

平行公理過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行.

追問3: 如果把“過直線外一點”這個條件去掉,你能畫出幾條直線與直線a平行呢? 同學(xué)們?nèi)我庠谥本€外再找一個點Q,過Q再畫直線a的平行線,你有何發(fā)現(xiàn)呢?

生: 過點Q又可以畫一條,不要求過點P的話,可以畫出很多條直線與直線a平行.

追問4: 這些直線有什么特征呢?

生: 互相平行.

師生歸納,得出平行傳遞性: 如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行.用符號語言描述為: 如果a//b,b//c,那么a//c.

追問5: 在畫圖過程中,三角板起到什么作用? 如果把直尺看成一條直線,你有什么發(fā)現(xiàn)?

生: 尺子看成一條直線l,三角板就是一個角,在畫圖中,直線l是截線,直線a,b是平行線,三角板形成的是同位角,在推動時,同位角不變.師生歸納,從畫圖中發(fā)現(xiàn): 同位角不變,則畫出來的直線互相平行.

活動2: 教師用幾何畫板畫出任意兩條直線a,b和截線c,標(biāo)記一對同位角為∠1,∠2,并顯示∠1,∠2 的度數(shù),如圖2所示.在此基礎(chǔ)上,教師轉(zhuǎn)動直線b,在轉(zhuǎn)動的過程中,引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察直線a,b的位置和∠1,∠2 的度數(shù)變化.在幾何畫板的動態(tài)演示中,學(xué)生發(fā)現(xiàn),當(dāng)∠1,∠2 的度數(shù)相同時,兩條直線a,b就平行,如圖3 所示.

圖2 同位角不相等圖

圖3 同位角相等圖

活動3: 教師拿出教具:L型尺子和長方體木塊,把尺子緊貼在木板,推動尺子,畫出一條條直線,如圖4 所示.引導(dǎo)學(xué)生觀察畫出來的圖,你有什么發(fā)現(xiàn)嗎?

生: 畫出來的直線CD//EF.

師: 在畫圖中,尺子起到什么作用呢?

生: 尺子緊貼著木塊,尺子與木塊夾角90°,推動尺子的過程中,這些角都是同位角,都保持90°.

師: 同學(xué)們,從這幾個活動中,你發(fā)現(xiàn)它們具有什么共同特點? 能用自己的語言描述這個發(fā)現(xiàn)嗎?

學(xué)生討論歸納: 只要同位角相等,兩條直線就平行.

用數(shù)學(xué)語言表述,得到判定方法1: 兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行.簡單說成:同位角相等,兩直線平行.

平行公理、平行傳遞性、平行判定定理,這些都是學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何的基礎(chǔ)知識,之后的幾何學(xué)習(xí)皆由此衍生.因此,對于這起始的知識要點,在教學(xué)中,我精心設(shè)計直觀情景的教學(xué)活動,從動手畫一畫的親身操作、幾何畫板具體數(shù)據(jù)的動態(tài)演示、用木匠工具畫一畫的直觀體驗中, 學(xué)生動手、動眼、動腦,積累直觀經(jīng)驗,得出自然語言的結(jié)論.另一方面,在活動中教師引導(dǎo)學(xué)生把直觀對象抽象成幾何的點、線、面等,從直觀思維上升到形象思維,再嘗試用數(shù)學(xué)語言描述自己的發(fā)現(xiàn),“冰冷”的幾何不再是難以觸摸,而是學(xué)生鮮活的實踐和發(fā)現(xiàn).

圖4 木匠畫平行圖

圖5 案例2 圖

2 動靜結(jié)合總相宜

在初中幾何教學(xué)中,教師要教給學(xué)生解決幾何問題的策略和方法.在問題解決中,教師要暴露探究的思維過程,突破學(xué)生的解題難點,提煉通用的解題方法,讓學(xué)生從解決具體問題的過程中學(xué)會怎樣解題,習(xí)得處理問題的方法,提升數(shù)學(xué)能力.

2.1 案例2

如圖5,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,M是AD邊的中點,N是AB邊上的動點,將?AMN沿MN所在直線折疊,得到?A′MN,連接A′C,則A′C的最小值是____.

在圓的教學(xué)中,我設(shè)計了這個問題.由于翻折、動點的問題一直是九年級剛開始學(xué)習(xí)圓知識時學(xué)生的難點之一,難處一是翻折前后圖形的特征學(xué)生挖掘不到位, 二是由于點N是動點,此題?AMN,?A′MN都是動態(tài)圖形,對翻折問題理解的難度更大.鑒于此,在教學(xué)中,教師采用搭“腳手架”的方式,引導(dǎo)學(xué)生從動中求定,通過定量、定點關(guān)系挖掘題目的不變量.在引導(dǎo)的過程中,讓學(xué)生體驗動靜結(jié)合的妙用,克服面對動態(tài)圖形的畏懼心理,提高學(xué)生的幾何解決能力.教學(xué)片斷如下:

師: 同學(xué)們先讀題目,再獨立思考(2 分鐘),說說解決這題你的難處是什么?

生1: 點N是動點,除了題目的圖形,還有很多種情況,我找不出方法.

生2: ?AMN是動的,翻折后?A′MN也是動的,點A′也是動的,很亂,我找不出A′C的求法.

師: 大家都覺得?AMN的情況很多種,我們不防先以題目的圖做參考,大家說說“將?AMN沿MN所在直線折疊,得到?A′MN”,從這句話你可能想到什么?

生3: 對應(yīng)邊相等, 對應(yīng)角相等.AM=A′M,AN=A′N,∠AMN=∠A′MN,∠ANM=∠A′NM.

師: 這些關(guān)系式涉及的邊角中,有固定的量嗎?

生4: 有.AM=A′M=1,∠MAN=∠MA′N=90°.

師: ∠MAN= ∠MA′N= 90°, 那 么∠MAN+∠MA′N是多少呢? 它們還有什么關(guān)系嗎?

生5: 互補.兩個角相對,又互補,它們在一個圓上.

師生分析: 點A,M,N,A′都在同一個圓上,所以點A′雖在運動,但它是在以MN為直徑的圓上運動,問題轉(zhuǎn)化為求點C與圓上點連線段的最小值.分析至此,學(xué)生恍然大悟,接下來,教師放手給學(xué)生,讓學(xué)生自己完成題目的解決.

在此題教學(xué)中,教師從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)入手,引導(dǎo)學(xué)生深讀問題,迎“難”而上,從“翻折”的性質(zhì)入手分析,引導(dǎo)學(xué)生由動變靜,從而挖掘出點A′運動時保持不變的特性,借助隱圓解決問題.

2.2 案例3

如圖6,四邊形ACBD為⊙O內(nèi)接四邊形,AB為⊙O的直徑,弦CD平分∠ACB,

(1)略;(2)若AC+BC=6,求CD的值.

師: 經(jīng)過一番思考,大家說說從條件你會想到什么? 哪個條件難控制?

生1:“AB為⊙O的直徑”暗示∠ACB,∠ADB都是直角.

生2:“弦CD平分∠ACB”暗示∠ACD= ∠BCD,AD=BD,D是半圓的中點.

生3: 我還發(fā)現(xiàn)了,?ABD是等腰直角三角形.

生4:“AC+BC= 6”不好,AC,BC具體多長都不知道,題目中沒有一條線段知長度.

師: 題目中不告訴我們線段長度,但6 是具體數(shù)字,我們能不能把6 和一條線段長度掛鉤呢? 你有什么辦法呢?

圖6 案例3 圖

圖7 學(xué)生5 探究圖

生5: 可以把AC,BC移到一條直線上.我的作法是延長AC到點P, 使得CP=BC, 連接BP, 如圖7 所示, 則AP= 6,?PCB為等腰直角三角形,?BCP與?ABD相似.然后學(xué)生就說不下去了,發(fā)現(xiàn)沒辦法繼續(xù)解決問題.

此時教師引導(dǎo)學(xué)生從同伴的探究中尋找新思路,從圖7大家發(fā)現(xiàn),其實?BPC可以看成是由?ABD繞點B又旋轉(zhuǎn)又放大得到的,那么我們可以考慮用旋轉(zhuǎn)來解決問題嗎?圖中有什么暗示我們可以用旋轉(zhuǎn)呢?

生6: ?ABD是等腰直角三角形, 可以支撐旋轉(zhuǎn).將?ADC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到?BDQ,如圖8 所示,則CD=DQ,AC=BQ, 易得?CDQ是等腰直角三角形,由于圓內(nèi)接四邊形對角互補,因此點C,B,Q共線,所以CQ=6,DC=3.

問題解決后,教師再引導(dǎo)學(xué)生反思,題目中最有意思的是哪個信息? (D是半圓的中點),運用這個條件,你能自己編制一個題目考考老師和同學(xué)們嗎?

在此題的解決過程中,教師從靜態(tài)的圖形,運用旋轉(zhuǎn)的方法,讓圖形動起來,把分散的線段AC,CD集中在一條線上,從而化變量AC,CB為定量CQ= 6,動靜結(jié)合,解決問題.既教給學(xué)生知識,又教給學(xué)生方法,教會學(xué)生思考.

圖8 學(xué)生6 探究圖

圖9 案例4 圖

3 數(shù)助形來相益彰

在幾何教學(xué)中,教師要重視數(shù)學(xué)思想方法的落實,才能真正提高幾何教學(xué)的質(zhì)量,如數(shù)形結(jié)合思想,就是幾何問題常用的數(shù)學(xué)思想方法之一.在幾何中,用數(shù)助形,常起到意想不到的效果.

3.1 案例4

如圖9,在平面直角坐標(biāo)系中,點B坐標(biāo),P是x軸上一動點,將線段BP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到線段PC,則線段OC的最小值為____.

這是初三第一輪“三角形”復(fù)習(xí)時課堂上學(xué)生提出的題目,最后班上的學(xué)生都因為想不出解決方法產(chǎn)生了興趣.本題的難處一是數(shù)據(jù)很少,二是由于點P在x軸上運動,可能在x正半軸,也可能在x負(fù)半軸,點C的位置也隨著變化,可能在第一象限,也可能在別的象限,是否要分類討論.我順勢引導(dǎo)學(xué)生利用這道題做一個幾何思想方法的頭腦風(fēng)暴,先用特殊情況猜測點C的可能情況,再猜測內(nèi)涵的歸律尋找解決的方向.

師: 大家說這道題有哪些量是固定的?

生1: 點B,OB=∠BPC=120°,BP=CP.

師: 剛才的討論中,同學(xué)們有什么想法呢?

生2: 我是想通過120°,60°這個條件來解決,但要怎么做我想不出來.

師: 同學(xué)們的想法都很好,下面我們站在同學(xué)們討論的肩膀上,解決問題吧.

教師通過幾何畫板演示,生成點C的運動路線,如圖10,學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)點C的軌跡是一條直線.教師再引導(dǎo)學(xué)生如何畫出這條直線,啟發(fā)利用“兩點確定一條直線”找特殊點的方法解決.

師: 怎么找60°角呢? 120°的補角就是60°, 比如∠BPO= 60°的話點C在哪? 120°的半角就是60°, 此時點C在哪? 坐標(biāo)分別是什么?

生: 如圖11, 當(dāng)P1(1,0) 時∠BP1O= 60°, 此時點C1在x軸上,P1C1= 2;當(dāng)P2(?1,0)時∠BP2O= 60°,此時點C2在y軸上,OP2=所以點C在直線C1C2上運動.問題轉(zhuǎn)化為求點O與直線C1C2上點的連線段的最小值,運用面積法可解決.

圖10 點C 的軌跡圖

圖11 特殊點定位圖

由于初中學(xué)生的直觀思維強但形象思維弱,因此,對運動點的問題教師運用歸納推理法,引導(dǎo)學(xué)生用特殊點的方法猜測結(jié)果,再解決問題.數(shù)學(xué)思想方法給學(xué)生幾何學(xué)習(xí)插上思維的翅膀: 直觀圖(幾何畫板)——猜測——研究.雖然幾何畫板的圖形生成帶給了學(xué)生直觀的依據(jù),而初中生由于知識儲備不夠,也只能通過感知解決問題.但是,從理論上,這是不完全歸納法,還需理論支撐,此時,代數(shù)方法來助攻.

如圖12,過點C作CH ⊥x軸于點H,設(shè)∠BPO=θ,則BP=∠CPH= 60° ?θ, ∴化簡得消元得∴點C的軌跡是一條直線.

圖12 代數(shù)法解決圖

圖13 案例5 圖

3.2 案例5

如圖13, 矩形ABCD中,AB= 4,AD= 2,E為AB的中點,F為EC上一動點,P為DF中點,連接BP,則BP的最小值是____.

在幾何教學(xué)中應(yīng)重視數(shù)學(xué)閱讀的訓(xùn)練,教師在學(xué)生深讀題目條件的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生分析, 由于F是動點,DF,P,BP也是變化的,這是一個動態(tài)圖形求最值的問題,執(zhí)果索因,由于B點是固定,所以BP的最值要看P點的變化情況,即尋找P點的軌跡.

方法一: 幾何法

探究1: 點P的運動有什么規(guī)律?

對初中學(xué)生來說直觀想象比較擅長,所以教師從特殊點的角度引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)點P的軌跡.

(1)當(dāng)點F與C重合時,如圖14 所示,P在P1處,此時P1是線段DC中點.

(2)當(dāng)點F與E重合時,如圖14 所示,P在P2處,此時P2是線段DE中點.

從圖形可猜測,點P是在線段P1P2上運動,教師打開幾何畫板生成點P的軌跡,如圖15 所示,驗證學(xué)生的猜想.

圖14 特殊點定位圖

圖15 點P 軌跡圖

探究2: 為什么點P的軌跡是線段P1P2?

教師啟發(fā)學(xué)生研究題目條件,最顯眼的是“中點”,由此你想到了什么呢? 在此基礎(chǔ)上,學(xué)生互相補充,在?DCF中,點P,P1分別是DC,DF中點,∴PP1//CE,在?DEF中,點P,P2分別是DF,DE中點,∴PP2//CE,由平行公理可得P,P1,P2三點共線,所以點P在線段P1P2上運動.

探究3: 如何解決問題?

∵AD= 2,AB= 4,E是AB中 點, ∴AE=BE= 2, 即?ADE,?BCE都是等腰直角三角形, ∴∠CEB= ∠DCE= 45°.∵P1,P2分別為DC,DE中點, ∴P1P2//EC, ∴ ∠DP1P2= 45°.∵P1是DC中點, ∴?BCP1也是等腰直角三角形, ∴∠CP1B= 45°,∴∠BP1P2= 90°.即BP1⊥P1P2,∴BP1是BP的最小值,為

在解決問題時,教師啟發(fā)學(xué)生從點F的運動情況,探究P點的軌跡,從特殊情況定點,猜測軌跡,再用幾何畫板直觀驗證猜測,最后從理論上證明猜測的正確性.教師帶著學(xué)生經(jīng)歷“特殊情況——猜測——直觀感知——推理論證”的幾何研究過程,發(fā)展學(xué)生的思維,教會學(xué)生幾何研究的方法,教會學(xué)生解決幾何問題的策略.在問題解決后,教師再引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度研究解決問題的方法.

方法二: 代數(shù)法

以點A為原點,AD所在直線為y軸,AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則D(0,2),B(4,0),設(shè)F(2+a,a)(0 ≤a≤2),則

方法1：由點P坐標(biāo)可知點P在直線y=x上運動,∵DE:y=?x+2,∴DE ⊥P1P2,∴BP1⊥P1P2,故BP1的長是BP的最小值.

方 法 2:BP2=, ∴當(dāng)a= 2 時BP取得最小值

4 基礎(chǔ)知識應(yīng)儲備

幾何基礎(chǔ)知識是指幾何的基本定義、基本定理法則、基本圖形等.幾何教學(xué)中,條理清晰、層次分明的規(guī)范推理表述,有賴于幾何基礎(chǔ)知識的儲備;解決問題、分析思路有賴于基礎(chǔ)知識的應(yīng)用;深度掌握概念定理,甄別法則的區(qū)別與聯(lián)系,有賴于基礎(chǔ)知識、基本經(jīng)驗的經(jīng)歷和遷移.但是,在實際教學(xué)中,學(xué)生卻不重視幾何基礎(chǔ)知識的積累,對概念、定理等覺得會背就可以.但是由于不理解,在應(yīng)用時往往出現(xiàn): 該用時想不起,用到時記不全,定理張冠李戴是常態(tài).因此,教師要重視幾何基礎(chǔ)知識的教學(xué)、重視學(xué)生幾何基礎(chǔ)知識的儲備,狠抓基礎(chǔ),為學(xué)生幾何學(xué)習(xí)、研究提供理論支撐,讓培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力更好地落實在幾何教學(xué)中,真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

比如,在菱形判定的教學(xué)中,學(xué)生經(jīng)常覺得特殊四邊形判定中最難的就是菱形,有的學(xué)生甚至用了三四次全等去證明,最后自己陷入邏輯“死循環(huán)”,耗時廢力.

4.1 案例6

如圖16, 在?ABC中,AC=BC= 6, ∠ACB ＞90°, ∠ABC的平分線交AC于點D,E是AB上一點, 且BE=BC,CF//ED交BD于點F,連接EF.

圖16 案例6 圖

(1)求證: 四邊形CDEF是菱形;(2)略.

這是課堂上學(xué)生的自我檢測題目,學(xué)生們都是用全等的方法,展示出來的成果如下:

∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD

在?EBF和?CBF中

∴?EBF∽= ?CBF(SAS)

∴∠EFB=∠CFB,EF=CF,∴∠EFD=∠CFD

在?EFD和?CFD中

∴?EFD∽= ?CFD(SAS)

∴DE=DC.

到這一步,因為有CF//ED,很多學(xué)生都想通過對邊平行且相等的思路解決問題,但解決不了DE=CF,甚至有學(xué)生想作輔助線等,企圖通過對角線關(guān)系來解決問題.其實題目至此,在平行的條件下,利用內(nèi)錯角相等及等腰三角形的性質(zhì),即可得到ED=EF,順利解決問題.但是由于學(xué)生對基礎(chǔ)知識儲備不夠,運用時不能流暢地接上,或者思維定勢,從而錯失了解決問題的機(jī)會.因此,在幾何教學(xué)中,教師要注重幾何基礎(chǔ)知識的教學(xué),舍得花功夫,舍得花時間,精心創(chuàng)設(shè)情景,讓學(xué)生親歷知識產(chǎn)生的過程,“細(xì)嚼慢咽”,巧設(shè)探究,讓學(xué)生豐富直觀經(jīng)驗,厘清知識形成的來龍去脈,幫助學(xué)生建構(gòu)知識框架,發(fā)展學(xué)生的思維.

“流水不腐,戶樞不蠹”,幾何教學(xué)是難教、難學(xué),因為這不僅是教師教的問題,也是學(xué)生學(xué)習(xí)的問題.但是,教師們的不懈探究,同行們的思維碰撞,不停地給幾何教學(xué)注入了源源不斷的活水,帶來幾何教學(xué)有效性的提升.