例談優(yōu)化解題方法，回避繁瑣討論

崔純

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常要用到的分類討論的思想成為數(shù)學(xué)教學(xué)的熱門話題，也是高考命題的熱點(diǎn)問題。高中生雖然了解分類討論思想，但缺乏靈活運(yùn)用能力。事實上，有不少含有分類因素的數(shù)學(xué)試題，如果我們事先對問題深入研究，挖掘其潛在的信息，并能靈活地采用恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，則往往可以避免繁瑣討論步驟。下面我們通過幾個例題來談優(yōu)化解題方法，從而巧妙回避繁瑣討論。

一、“反客為主”，變換主元法

數(shù)學(xué)中有的多元參數(shù)問題，若按常規(guī)思路確定主元，會導(dǎo)致問題復(fù)雜化，若能針對題目的結(jié)構(gòu)特征，改變思考的角度，選擇某參變量為主元，反客為主，往往可使問題化難為易，迅速獲解。

例1.已知 ，若不等式 對上述 都成立，解此不等式。

解析：此題是關(guān)于 的一元二次不等式，通常對參數(shù) 進(jìn)行討論求解，顯然繁瑣，不如將 看做主元，化歸成關(guān)于 的一元一次不等式，構(gòu)造函數(shù) 。問題轉(zhuǎn)化成：當(dāng) 恒成立。

故只要滿足 ，解得

所以原不等式的解集為

二、分離參數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求解

已知方程或不等式的解的特點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍，是高中數(shù)學(xué)的一個重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)問題.此類題解法靈活多樣，其中將參數(shù)與變量分離于等式或不等式兩端，通過求變量函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)的范圍，是一種不錯的方法。

例2.已知 是實數(shù)，函數(shù) ，若函數(shù) 在區(qū)間 上有零點(diǎn)，求 的取值范圍。

解析： 在區(qū)間 上有零點(diǎn)

在區(qū)間 上有解

在區(qū)間 上有解

在區(qū)間 上有解

于是問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù) 在 上的值域

設(shè) 則 ，函數(shù)

當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立。

， ，

的取值范圍是

通過分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題，巧妙回避討論，省時省力。

例3.奇函數(shù) 是R上的增函數(shù)，若對任意的 ，不等式 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍。

解析：當(dāng) 時，

是R上的奇函數(shù)、增函數(shù)

恒成立

= ， ， 的取值范圍是

解決此類題型時，一般先分離參數(shù)，化成 、 等恒成立問題，再利用 、 求出參數(shù)范圍，巧妙簡化解題過程。

三、挖掘內(nèi)涵，有效回避討論

例4.已知函數(shù) ，是否存在實數(shù) 使得函數(shù) 的定義域、值域都是 ？若存在，求出 的值；若不存在，說明理由。

解析：常規(guī)的思維是對 和 （函數(shù) 的對稱軸是 ）的大小進(jìn)行繁瑣的討論，惟其如此，才能確定函數(shù)的值域。但如果我們先看看函數(shù) 的值域， ，即函數(shù)值沒有小于 的，即 ，從而函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，所以

解得 又因為 ，所以 的值不存在。

此題依據(jù)“函數(shù)在整體區(qū)間上的最小值不大于在局部區(qū)間上的最小值”這一事實，挖掘出 ，從而避免討論函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性。

四、“正難則反”，利用補(bǔ)集思想

解題一般總是從正面入手，習(xí)慣正向思維，但有些數(shù)學(xué)問題如果從正面入手，求解繁瑣、難度較大。在解題時，可調(diào)整思路，從問題的反面入手，探求已知與未知的關(guān)系，這樣就能化難為易，化隱為顯，這就是“正難則反”的解題策略。即考慮問題的相反方面，結(jié)合補(bǔ)集思想，利用“對立事件”，往往能開拓解題思路、簡化運(yùn)算過程，下面舉例說明。

例5.已知集合A和集合B各含9個元素。 含有2個元素。求同時滿足下面條件的集合C的個數(shù)。① ，且 中含有三個元素。②

解析：因為 較為抽象，如果直接法解此題，要找到分類標(biāo)準(zhǔn)，依次進(jìn)行分類分步求解。而 容易掌握，故從條件的反面入手，顯得簡捷。

的元素個數(shù)16個，故滿足條件①的集合 的個數(shù)共 個，不滿足條件

②，即 的集合 的元素，只能從屬于B但不屬于A

的7個元素中取得，有 個，因此所有集合 的個數(shù)是 - =525（個）

例6.隨機(jī)抽取的9個同學(xué)中，至少有2個同學(xué)在同一月份出生的概率是多少？（默認(rèn)每個月的天數(shù)相同，結(jié)果精確到0.001）.

解析：正面解答過程繁瑣，所以我們從對立面入手。設(shè)事件 為“至少有2位同學(xué)在同一月出生”，則 的對立事件 為“所有人出生的月份“所有人出生的月份均不相同”，則

五、數(shù)形結(jié)合，“以形助數(shù)”

華羅庚先生說：“ 數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好 ”。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題能迎刃而解。在高中數(shù)學(xué)解題過程中，“數(shù)”與“形”是相互依賴、相互滲透的。因此，在解題過程中要將二者結(jié)合起來，才能更好地提高解題的正確性和效率。數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)中主要應(yīng)用于以下幾 個方面：集合運(yùn)算問題、方程根的個數(shù)問題、三角函數(shù)問題、最值問題、線性規(guī)劃問題、復(fù)數(shù)問題和不等式證明等。這里我們就方程根的個數(shù)問題給予舉例說明。

例7.關(guān)于 的方程 只有一個實根，求 的取值范圍。

解析：本例轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù) 和 的圖像只有一個交點(diǎn)的問題。由于函數(shù) 過定點(diǎn)（0，1）且繞定點(diǎn)（0，1）轉(zhuǎn)動的直線，借助于圖像可直觀看出與半圓一個交點(diǎn)時斜率 的范圍。

如圖所示，可以直觀看出 的取值范圍為：

數(shù)學(xué)在漫長的發(fā)展過程中不僅建立起嚴(yán)密的知識體系，而且形成一套行之有效的思想方法。巴甫洛夫有一段名言：“科學(xué)是依賴于方法的進(jìn)步為前提的”，這句話很有哲理。方法每前進(jìn)一步，和每上一個臺階一樣，它會為我們展開更為廣闊的視野，因而看到前所未有的現(xiàn)象。當(dāng)前高考命題中層出不窮的新穎題型對思維模式、思維容量、思維層次的要求較高。因此，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，優(yōu)化解題方法，勢在必行。這也要求教師在教學(xué)過程中，注意對數(shù)學(xué)思想方法的引導(dǎo)和滲透，讓學(xué)生在潛移默化中接受。

參考文獻(xiàn)：

[1]李正興.高中數(shù)學(xué)實戰(zhàn)秘笈[M].上?？茖W(xué)普及出版社，2012，6.

[2]郝世富，張振華.避免或簡化分類討論的方法和技巧[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2004（12）：95-97