數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

黃彥芹

在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想占據(jù)著極其重要的地位，其本質(zhì)是“數(shù)”與“形”之間的相互轉(zhuǎn)換。數(shù)形結(jié)合思想就是將數(shù)量關(guān)系和空間圖形結(jié)合起來考查的思想方法。根據(jù)需要，可把量的問題轉(zhuǎn)化為圖的問題去研究，或者把圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題去研究。數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題過程中有重要的指導(dǎo)意義，它不僅可以簡潔地使一些題目得到解決，使復(fù)雜、抽象的問題具體化、簡單化，同時(shí)還可以開拓解題思路，運(yùn)用“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”的方法優(yōu)化解題途徑，為研究和探求數(shù)學(xué)問題提供鮮明和創(chuàng)新的思路。在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將“數(shù)”和“形”有機(jī)結(jié)合起來，便可以達(dá)到快速、巧妙、精確解題的目的?，F(xiàn)結(jié)合具體例題，談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

一，有關(guān)動(dòng)曲線與定曲線的問題

例1 已知函數(shù) 若 ，則a的取值范圍是（）。

A.

B.

C.[-2，1]

D.[-2，0]

解析：函數(shù) 的圖像如圖1所示。

當(dāng)x≤0時(shí)，由g'（x）=2x-2，得曲線g（x） =X²-2x在原點(diǎn)（O，0）處的切線的斜率為k=g'（O）=-2，則-2≤a≤O時(shí)，|f（x）|≥ax恒成立。

當(dāng)r>0時(shí)，若直線y=ax與曲線g（x）=ln（x+1）有公共點(diǎn)，則O

.

綜上所述，a的取值范圍為[-2，O]。

二.函數(shù)的奇偶性問題

例2 定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+2），當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=2-|x-2|，則（）。

A.

B.f（sin l>f（cos l）

C.f（tan 3）

D.f（sin 2）

解析：由f（x）=f（x+2），得函數(shù)f（x）的周期為2，則可畫出它的大致圖像（如圖2）。

由|sin 2|、|cos 2 |均屬于區(qū)間（O，1），且|sin 2|>|cos 2|，函數(shù)y=f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，得f（sin 2）

三、函數(shù)、方程的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

例3 已知函數(shù) 有下列關(guān)于函數(shù)y=f[f（x）]+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，正確的是（）。

A.當(dāng)k>0時(shí)有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)k<0時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)k>0時(shí)有4個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)k<0時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)

C.無論k為何值，均有2個(gè)零點(diǎn)

D.無論k為何值，均有4個(gè)零點(diǎn)

解析：（1）當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖像如圖3所示。由f[f（x）]+1=O，得f[f（z）]=-1，則 或f（x）=t₂∈（o，1）。

由f（x） =t₁，得存在兩個(gè)零點(diǎn)x₁、X₂；由f（x）=t₂，得存在兩個(gè)零點(diǎn)X₃、X₄。

此時(shí)共存在4個(gè)零點(diǎn)。

（2）當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖像如圖4所示。由f[f（x）]+1=O，得，f[f（x）]=-1，則f（x）=t∈（O，1），此時(shí)僅有1個(gè)零點(diǎn)xo。

應(yīng)選B。

四.幾何概型問題

例4 向平面區(qū)域 ，o≤y≤1）內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在曲線（下轉(zhuǎn)第18頁）這個(gè)數(shù)字說明，死海的水面在過去40年里正以每年0.5m的速度（現(xiàn)在還有水位每年下降Im的說法）在下降。

X³（O≤z≤1），

下方的概率為

。

解析：作出圖形（如圖5）。

平面區(qū)域 的面積為

由圖5得曲線y=X³（O≤z≤1），

與x軸圍成的區(qū)域可分為兩部分，分別記其面積為

所求概率為

五.解析幾何中的最值問題

例5 （1）在直線l：3x-y-l=0上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A（4，1）和C（3，4）的距離之和最小。

（2）在直線：3x-y-l=0上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A（4，1）和B（O，4）的距離之差最大。

解析：如圖6。

（1）點(diǎn)A（4，1）和C（3，4）在直線l：3x-y-l=0的同側(cè)。

易得點(diǎn)c關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為 。

直線AC.的方程為19x+17y-93=0。

聯(lián)立19x+17y-93=0和3x-y-1=o，可得點(diǎn) 。

（2）點(diǎn)A（4，1）和B（O，4）在直線l：3x-y-l=O的兩側(cè)。

易得點(diǎn)B關(guān)于直線l：3x-y-l=0的對稱點(diǎn)為B₁（3，3）。

直線AB₁的方程為2x+y-9=0。

聯(lián)立2x+y-9=O和3x-y-1=0，可得點(diǎn)M（2，5）。

六，立體幾何問題

例6 一個(gè)四面體相對的棱長度分別相等，分別為 ，則該四面體的體積為

。

解析：如圖7，構(gòu)造一長方體ABCD-A₁8₁C₁D₁。

設(shè)四面體AB₁D₁C三組相對的A棱的長度分別為 ，長方體的棱長分別為x、y、z。