分類討論思想的應(yīng)用

于江洪

分類討論思想是常用的思想方法，是重要的數(shù)學(xué)思想，是一種邏輯方法。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)正確的分類，可以使復(fù)雜問(wèn)題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想和歸類整理的方法。分類的原則是：（1）分類對(duì)象的確定，標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一；（2）不重復(fù)、不遺漏；（3）分層次，不越級(jí)討論。分類的步驟是：（1）確定討論對(duì)象和全域；（2）科學(xué)分類；（3）逐步討論；（4）歸納小結(jié)，整合得出的結(jié)論?，F(xiàn)根據(jù)引起分類討論的要素闡述分類討論思想的應(yīng)用。

一、由定理，公式的條件引起的分類討論

有的概念本身是分類的，如絕對(duì)值、直線的斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)；有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論是不一樣的，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等。

側(cè)，函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a>0且n≠1）是定義在R上的奇函數(shù)。若 且 在 上的最小值為-2，求實(shí)數(shù)m的值。

解析：由 ，得 ，即 ，解得 （舍去）或a=2。

令 ，則

在R上單調(diào)遞增。

由x≥l，得 。

若 ，則當(dāng)t-m時(shí)，h（t）取得最小值-2，即 ，故m=2。

若 ，則當(dāng) 時(shí)，h（t）取得最小值-2，即 ，應(yīng)舍去。

綜上所述，m=2。

二.由參數(shù)變化引起的分類討論

某些含有參數(shù)的問(wèn)題，如含參數(shù)的方程、不等式問(wèn)題，由于參數(shù)的取值范圍的不同會(huì)導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)要運(yùn)用不同的求解或證明方法。

側(cè)2設(shè)函數(shù) ，其中ab≠o，試討論函數(shù)f（x）的極值的情況。

解析：f（z）的定義域?yàn)?，

（1）當(dāng)ab>0時(shí)，如果a>0，b>0，則f'（x）>0，故f（x）在 上單調(diào)遞增；如果a<0，b<0，則f'（x）<0，故f（x）在 上單調(diào)遞減。故當(dāng)ab>0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)極值。

（2）當(dāng) ab

①當(dāng)a>0、b<0時(shí)，f（x）、f'（x）隨x的變化情況如表1所示。

由表1可以看出：函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為 。

②當(dāng)a<0、b>0時(shí)，f（x）、f'（x）隨x的變化情況如表2所示。

由表2可以看出：函數(shù)，（x）有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為 。

綜上所述，當(dāng)ab>0時(shí)，函數(shù)f（x）沒(méi)有極值；當(dāng)a>O、b<0時(shí)，函數(shù)f（x）只有一個(gè)極小值，為 ；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f（x）只有一個(gè)極大值，為 。

三，由數(shù)學(xué)的運(yùn)算要求引起的分類討論

有些數(shù)學(xué)運(yùn)算有一定的要求，如除法運(yùn)算中除數(shù)不為0，偶次方根為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)中的真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)中的底數(shù)的要求等，解題時(shí)要進(jìn)行分類討論。

例3 集合M={b|3-|x-l|-b+l=0有實(shí)數(shù)解）， 在 上單調(diào)遞增）。設(shè) ，且定義在R上的奇函數(shù) 在D內(nèi)沒(méi)有最小值，則m的取值范圍是

。 解析：M={b|l

由 是定義在R上的奇函數(shù)，得

，則 ，故

（1）若m≤0，易得函數(shù)f （x）在D內(nèi)單調(diào)遞減，則函數(shù)f（x）在右端點(diǎn) 處取得最小值，不合題意。

（2）若m>0，令 ，則 在D內(nèi)沒(méi)有最小值可轉(zhuǎn)化為h（x）在D內(nèi)沒(méi)有最大值。下面對(duì)h（x）在D內(nèi)的最大值進(jìn)行研究。 。令h'（x）>o，可得 令h'（x）

①當(dāng) ，即 時(shí)，函數(shù)h（x）在D內(nèi)單調(diào)遞減，不存在最大值，符合題意。

②當(dāng) ，即m≤1時(shí)，函數(shù)h（z）在D內(nèi)單調(diào)遞增，存在最大值 ，不符合題意。

③當(dāng) ，即 時(shí)，函數(shù)h（x）在（）上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，必須有 成立，才能滿足函數(shù)h（x）在D內(nèi)沒(méi)有最大值。由 ，得 ，解 得 。

綜上所述，m的取值范圍是 。

四.由圖形的不確定引起的分類討論

例4 設(shè)函數(shù) 。

（1）當(dāng)a=2、b=3時(shí)，畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖像，并求出函數(shù)f（x）的零點(diǎn)。

（2）設(shè)b=-2，且對(duì)任意x∈[-1，1]，f（x）

解析：（1）當(dāng)a=2、b=3時(shí)，函數(shù)f（x）=（x-2）.|x|+3的解析式可化為： 。函數(shù)f（x）的圖像如圖1所示。當(dāng)x≥O時(shí)，由f（x）=0，得X²-2x+3=0，此時(shí)方程f（x）=0無(wú)實(shí)根。

當(dāng)x<0時(shí)，由f（x）=0，得X²-2x-3=O，解得x=3（舍去）或x=-1。

當(dāng)a=2、b=3時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為x=-1。

（2）當(dāng)b=-2時(shí)，由f（x）<0，得（x-a）|x|<2。

當(dāng)x=0時(shí)，a取任意實(shí)數(shù)，不等式（x-a）|x|<2恒成立。

當(dāng)O-1。

當(dāng)-1≤x<0時(shí)，不等式（x-a）|x|<2可化為 。令 。易得h（x）在[-1，0）上單調(diào)遞減，則h（x）在[-1，0）上的最大值為h（-1）=-3，故a> -3。

綜上所述，a>-1。