關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系之探討

崔興清

摘 要：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是歷年高考的重點(diǎn)、難點(diǎn)，當(dāng)然也是熱點(diǎn)問(wèn)題，其經(jīng)常扮演著“把關(guān)題”的角色，是區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的關(guān)鍵性題目。以“直線和圓錐曲線的位置關(guān)系”為研究重點(diǎn)，分析了有關(guān)此重點(diǎn)的理論知識(shí)，隨之利用各種數(shù)學(xué)實(shí)例具體探討了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，幫助學(xué)生真正領(lǐng)悟“學(xué)以致用”的道理。

關(guān)鍵詞：直線；圓錐曲線；基礎(chǔ)理論；位置關(guān)系

從某種層面來(lái)看，直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題，匯集了高中階段整個(gè)解析幾何與圓錐曲線的知識(shí)點(diǎn)，而且還涉及函數(shù)、方程及方程組、不等式、平面幾何、三角形等諸多內(nèi)容，并形成軌跡、參數(shù)、數(shù)值等一大堆數(shù)學(xué)問(wèn)題。由此可見(jiàn)，此類知識(shí)點(diǎn)確實(shí)具有超強(qiáng)的綜合性，而且對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力要求頗高，所以高中老師在講授此知識(shí)點(diǎn)時(shí)，應(yīng)該格外注意的好。

一、概述與直線和圓錐曲線相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度來(lái)看，可以分成三種，分別是：無(wú)公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及兩個(gè)相異公共點(diǎn)，意思就是：當(dāng)直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合時(shí)，直線與拋物線也只有一個(gè)交點(diǎn)。從另一種層面來(lái)看，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系又可以分為三種，即相交、相切、相離。后面這種說(shuō)法的提出，常用代數(shù)方法即解方程組來(lái)計(jì)算，原因在于方程組解的個(gè)數(shù)與兩線交點(diǎn)直接代表了兩線之間的位置關(guān)系，而且計(jì)算起來(lái)相對(duì)簡(jiǎn)單一些，因此在直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題上常采納后者的代數(shù)方法。

2.以上所提三種關(guān)系的判斷條件

如果a=0，當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí)，直線l與雙曲線的漸進(jìn)線平行或重合；

當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，直線l與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合。

3.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式

二、利用具體教學(xué)實(shí)例鞏固學(xué)生的知識(shí)掌握能力

本題主要考查了直線與圓錐曲線相交這一知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題，從題目中“橢圓C上有兩個(gè)不同的點(diǎn)”便可得出Δ>0的結(jié)論，又因?yàn)閮蓚€(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，因此可以輕松列出方程組，從而求得m的范圍。在此題目中，學(xué)生一定要找出題目中的隱含條件，避免陷入解題的尷尬境地。

三、課后及時(shí)歸納總結(jié)與反思

1.總結(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的誤區(qū)

關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系這一知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容，由于直線和圓錐曲線具有三種位置關(guān)系，而這三種位置關(guān)系卻因?yàn)槿惽€而各自存在特殊性，這就導(dǎo)致它們的相交狀況也不相同，因此容易走進(jìn)一些解題誤區(qū)。常見(jiàn)的解題誤區(qū)有四種：一是忽略題目中所要求的隱含條件，二是忽略直線與雙曲線的特殊位置關(guān)系，三是忽略直線與拋物線特殊的位置關(guān)系，四是忽視直線與圓錐曲線相交的前提條件。因此，在老師授課以及解析題目的過(guò)程中，務(wù)必要解釋清楚一些模棱兩可的問(wèn)題，以免學(xué)生陷入解題誤區(qū)。

2.歸納解題過(guò)程中所用的定理和思維方法

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直為高考的熱點(diǎn)，這類問(wèn)題常涉及圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、垂直問(wèn)題，因此分析問(wèn)題時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)設(shè)。與此同時(shí)，直線與圓錐曲線有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法。

3.改進(jìn)并完善課堂教學(xué)方法以及作業(yè)布置

現(xiàn)下，新課標(biāo)明確提出老師應(yīng)該給予學(xué)生充分的參與教學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，應(yīng)該視學(xué)生為課堂主體，挖掘他們自主學(xué)習(xí)能力。因此，老師需要改進(jìn)并完善課堂教學(xué)方法，可以嘗試采用學(xué)案教學(xué)、師生互動(dòng)探究以及小組討論學(xué)習(xí)的方法，讓學(xué)生親身去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題。與此同時(shí)，老師在練習(xí)作業(yè)的設(shè)置上，最好具有一定的針對(duì)性、靈活性，真正實(shí)現(xiàn)鞏固學(xué)生所學(xué)的目的。

總的來(lái)說(shuō)，關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系這一知識(shí)點(diǎn)，不管在老師教學(xué)還是學(xué)生的學(xué)習(xí)方面，都具有一定的難度，以上即為筆者簡(jiǎn)單的闡釋和舉例說(shuō)明，希望起到拋磚引玉的作用。當(dāng)然，與直線與圓錐曲線的位置關(guān)系相關(guān)的實(shí)例不止以上幾種，掌握好這些實(shí)例對(duì)學(xué)生領(lǐng)悟解析幾何的思想方法，提高學(xué)生對(duì)解析幾何的解題能力是大有裨益的。

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編輯 謝尾合