2023年新高考Ⅰ卷第17題的多解、溯源、變式

高考真題是命題專家集體智慧的結(jié)晶，既具有選拔功能，又對教學(xué)起著導(dǎo)向作用.教師只有深入研究高考真題，才能提高教學(xué)效益.下面是筆者對2023年新高考Ⅰ卷第17題的一些思考，與大家交流.

1 考題再現(xiàn)

（2023年全國高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第17題）已知在△ABC中，已知A+B=3C，2sin（A－C）=sin B.

（1）求sin A;

（2）設(shè)AB=5，求AB邊上的高.

這是一道解三角形與三角函數(shù)綜合的解答題，突出考查解三角形的基本知識和轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查三角函數(shù)的基本關(guān)系式和化簡變形，考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，是一道具有研究價(jià)值的好題.

2 解法探究

2.1 第（1）小題的解法

第（1）問考查三角函數(shù)的基本關(guān)系式和化簡變形，可從多角度入手求解.基本策略是變角、變名、變結(jié)構(gòu)，逐步化簡三角關(guān)系式，求出sin A.

解：由A+B+C=π，A+B=3C，得

A+B=3π4，C=π4.

根據(jù)2sin（A－C）=sin B，得

2sinA－π4=sin3π4－A.

整理得sin A=3cos A.

結(jié)合sin 2A+cos2A=1，A∈（0，π），可得

sin A=31010.

評注：如何處理A+B=3C和2sin（A－C）=sin B是難點(diǎn)，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和公式以及兩角和（差）的三角公式是解題的關(guān)鍵.

2.2 第（2）小題的解法

對于解三角形中的“三線”問題，通常有“邊化角”與“角化邊”兩個(gè)變形方向，根據(jù)題設(shè)條件與目標(biāo)進(jìn)行分析，容易想到三角形高的定義.

解pT4TZMRy9S2ME6ZkLS7OQ+qenCgG2j+FH1eJ2jG6viM=法1：正弦定理+解三角形.

由正弦定理，得BCsin A=ABsin C，則

BC=ABsin C＼5sin A=35.

因?yàn)閟in A>sin C，所以A>C.

由（1）得sin A=3cos A，則

cos A=1010.

所以sin B=sin（A+C）=255.

由正弦定理，得ACsin B=ABsin C，則

AC=ABsin C＼5sin B=210.

設(shè)AB邊上的高為h，則h=AC＼5sin A=210×31010=6，所以

AB邊上的高為6.

解法2：正弦定理+三角函數(shù).

由tan A=3>0，得π4<A<π2，則cos A=1010.

所以sin B=sin（A+C）=255.

由正弦定理，得ACsin B=ABsin C，則

AC=ABsin C＼5sin B=210.

設(shè)AB邊上的高為h，則h=AC＼5sin A=210×31010=6，

故AB邊上的高為6.

解法3：正弦定理+面積法.

由tan A=3>0，得π4<A<π2，則cos A=1010.

所以sin B=sin（A+C）=255.

由正弦定理，得sin A∶sin B∶sin C=BC∶AC∶AB=31010∶255∶22.

結(jié)合AB=5，可得AC=210，BC=35.

設(shè)AB邊上的高為h，則S△ABC=12AB＼5h=12AC＼5BC＼5sin C=15，解得h=6.

故AB邊上的高為6.

評注：根據(jù)題設(shè)條件與目標(biāo)進(jìn)行分析，容易想到高的定義，再聯(lián)想三角形面積公式，借助算兩次的思想和方程思想，將問題化繁為簡.

解法4：幾何法+等面積法.

由（1）知tan A=3tan C.如圖1所示，過點(diǎn)B作BG⊥AC，垂足為G，過點(diǎn)G作GM⊥AB，垂足為M，過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H.

設(shè)AG=x，則BG=CG=3x，

于是|AB|=10x=5，得x=102.

由S△AGB=12AG＼5BG=12AB＼5GM，可得

GM=35x2=32.

由AC=4AG，可得CH=4GM=6.

解法5：三角恒等變換+幾何法.

由（1）知tan A=3，結(jié)合A+B+C=π，可得

tan B=－tan（A+C）=－tan A+tan C1－tan Atan C=2.

如圖2，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D.設(shè)CD=h，則

|AB|=|AD|+|DB|=htan A+htan B=h3+h2=5，

解得h=6.

故AB邊上的高為6.

解法6：三角恒等變換法.

由（1）知tan A=3.如圖2，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)AD=m，則CD=3m.

由正弦定理，得

BCsin A=ABsin C.

所以BC=ABsin C＼5sin A=35.

在Rt△BDC中，

BD2+CD2=BC2，則

（5-m）2+9m2=45.

解得m=2.

故AB邊上的高為6.

評注：根據(jù)題設(shè)條件與目標(biāo)進(jìn)行分析，容易想到高的定義，巧妙利用數(shù)形結(jié)合及方程思想，將問題化繁為簡.

3 問題溯源

高考試題是高考復(fù)習(xí)中必備的課程資源，尋找高考數(shù)學(xué)試題的生長點(diǎn)、命題背景，探究題源，挖掘命題的"題根"，有利于把握高考命題的風(fēng)向標(biāo)，選擇或命制相似的題目進(jìn)行針對性的訓(xùn)練，能夠有效提升對解題思想的理解，同時(shí)對提高復(fù)習(xí)效率有很大的意義.問題的條件（在△ABC中，A+B=3C，2sin（A－C）=sin B）是該題最大的亮點(diǎn).看到這道題，筆者認(rèn)為該題是2004年高考全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)理科第17題的“翻版”.

溯源1（2004年高考全國Ⅱ卷理科第17題）已知銳角三角形ABC中，sin（A+B）=35，sin（A－B）=15.

（1）求證：tan A=2tan B;

（2）設(shè)AB=3，求AB邊上的高.

解：（1）（詳解略）.

（2）由A+B∈π2，π，sin（A+B）=35，可得cos（A+B）=－45，則tan（A+B）=－34，即tan A+tan B1－tan Atan B=－34.

又tan A=2tan B，解得tan A=2+6，tan B=2+62.

設(shè)AB邊上的高為h，則htan A+htan B=3，解得h=2+6.

溯源2（2016年新課標(biāo)Ⅲ卷數(shù)學(xué)理科第8題）在△ABC中，B=π4，BC邊上的高等于13BC，則cos A等于（）.

A.31010

B.1010

C.－1010

D.－31010

解：設(shè)△ABC中角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠DAC=θ.

因?yàn)樵凇鰽BC中，B=π4，AD=h=13BC=a3，所以

BD=AD=a3，CD=2a3.

在Rt△ADC中，有

cos θ=ADAC=a3a32+2a32=55.

所以sin θ=255.

故cos A=cosπ4+θ=cosπ4cos θ－sinπ4＼5sin θ=22×55－22×255=－1010.故選：C.

通過上面的例子可以看出，在強(qiáng)調(diào)命題改革的今天，通過改編、創(chuàng)新等手段來賦予往年高考真題新的生命，已成為高考命題的一種新趨勢.因此，在高考復(fù)習(xí)的過程中務(wù)必要注意對往年高考真題進(jìn)行變式訓(xùn)練，做到探索變式，豐富成果，對解題思路進(jìn)行內(nèi)化、深化探索，總結(jié)升華;把握其實(shí)質(zhì)、掌握其規(guī)律、規(guī)范其步驟.

4 拓展變式

對于這道有價(jià)值的高考試題，我們不能滿足于僅給出其解法，還應(yīng)該充分挖掘其價(jià)值，可以通過適當(dāng)改變試題的條件或求解目標(biāo)，對其進(jìn)行變式，并將有些問題推廣到一般情況，這對高考復(fù)習(xí)備考是很有意義的.

案例典型“三線”問題及其變形

問題在△ABC中，已知AB=5，AC=8，BC=12，D為線段BC上一點(diǎn).

（1）若D為線段BC的中點(diǎn)，求AD的長;

（2）若AD平分∠BAC，求AD的長;

（3）若AD⊥BC，求AD的長.

評注：從典型問題和基礎(chǔ)問題出發(fā)，對問題進(jìn)行變形，可使得研究由淺入深、知識不斷得以鞏固、核心素養(yǎng)能力得以提升.這種研究問題的形式有助于對知識的學(xué)習(xí)和鞏固.

5 教學(xué)啟示

對于一道典型的高考真題從多個(gè)角度對其剖析，充分挖掘其價(jià)值.通?？梢运伎既缦聠栴}：你能用多種方法求解這個(gè)問題嗎？這個(gè)問題的命題意圖是什么？改變條件或求解目標(biāo)，這些方法還適用嗎？這個(gè)問題能否推廣到一般情形？等等.只有真正弄清這個(gè)問題的來龍去脈，把握其各種變化，在遇到新問題時(shí)我們才能做到靈活處理，隨機(jī)應(yīng)變.“磨刀不誤歡柴工”，高三復(fù)習(xí)與其盲目刷題，不如多回歸“典型”，在典型的問題和情境中提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力，提高高三復(fù)習(xí)的效率，這樣的復(fù)習(xí)不失為高效的復(fù)習(xí).