唐果敬
【摘要】隨著基礎(chǔ)教育改革的深入和素質(zhì)教育的推廣,一些新的教育教學(xué)理念應(yīng)運(yùn)而生,同樣為了適應(yīng)新形勢(shì)下教育和學(xué)習(xí)的需要,一些新的學(xué)習(xí)策略和學(xué)習(xí)思維也相伴而生。高中數(shù)學(xué)作為高中階段學(xué)習(xí)難度系數(shù)較大,知識(shí)點(diǎn)較多的學(xué)科,對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)確實(shí)困難重重,學(xué)習(xí)效率和學(xué)以致用的能力普遍較低。本文中,筆者結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)歷,探究了一些提升學(xué)生解題能力的方法,其中就以數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用為例,希望能對(duì)高中數(shù)學(xué)的教育教學(xué)發(fā)展起到一定的積極影響。
【關(guān)鍵詞】新形勢(shì) 高中數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合 教學(xué)質(zhì)量 學(xué)以致用
新形勢(shì)下,高中數(shù)學(xué)的教學(xué)目的不是簡(jiǎn)單的把數(shù)學(xué)公理、定理和公式等講授給學(xué)生,讓學(xué)生掌握住這些抽象的理論知識(shí),而是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)這里知識(shí)的同時(shí)能夠利用它們解決生活中的一些難題,做到活學(xué)活用,學(xué)以致用。換句話來(lái)說(shuō),在教學(xué)中不僅僅要傳授知識(shí),更重要的是讓學(xué)生掌握住學(xué)習(xí)的方法,學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和學(xué)會(huì)解答疑難問(wèn)題,做到“授人以漁,這樣才能培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和解題思維,進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。數(shù)形結(jié)合思想簡(jiǎn)言之就是通過(guò)給出的已知信息和待求問(wèn)題,并有效的整合學(xué)習(xí)的內(nèi)容,實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的信息轉(zhuǎn)化或者找出對(duì)應(yīng)關(guān)系,進(jìn)而簡(jiǎn)化解題過(guò)程,化抽象模糊為具體形象,通常表現(xiàn)為以數(shù)助形,以形解數(shù)等形式。函數(shù)圖像在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有很大比重,它包括兩個(gè)層次的要求,一是能準(zhǔn)確繪出已知函數(shù)的圖像或能根據(jù)圖像得出函數(shù)基本性質(zhì);二是能夠應(yīng)用函數(shù)圖像來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題,一般來(lái)說(shuō),前者較易掌握,而后者卻難度較大。很多問(wèn)題如果借用函數(shù)圖像來(lái)分析,會(huì)有意想不到的效果,特別易于理解。因此作為教師要多引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中利用函數(shù)圖像,讓學(xué)生逐漸形成用函數(shù)圖像分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
一、數(shù)形結(jié)合在求函數(shù)定義域方面的應(yīng)用
案例:求函數(shù) 的定義域.
解析:若要解決該函數(shù)的定義域,
則有 ,要解決此類(lèi)不等式的解集,
需要借助圖像,如右圖:
由圖像可以看出,若要 ,
只需 或 ,再由 ,得出該函數(shù)的定義域即為: .
隨著學(xué)生做題熟練程度的增強(qiáng),二次不等式的求解已不用再畫(huà)圖。因此在求函數(shù)定義域方面,多見(jiàn)于畫(huà)數(shù)軸選擇出取值范圍。
二、數(shù)形結(jié)合在求函數(shù)值域方面的應(yīng)用
案例:求函數(shù) 的值域.
解析:看到所求函數(shù)為二次函數(shù),由于函數(shù)
是非單調(diào)的,所以并不能代端點(diǎn)值去求出值域,
因此需要借助圖像來(lái)觀察,如右圖:
借助圖像的直觀表達(dá)可知道,具有區(qū)間范圍的
該二次函數(shù)的圖像應(yīng)為黃色區(qū)域部分,此函數(shù)的最
小值是在對(duì)稱(chēng)軸處取得,即當(dāng) 時(shí), 。
從而該函數(shù)的值域?yàn)椋?。
對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題是學(xué)生的常見(jiàn)出錯(cuò)點(diǎn),學(xué)生們習(xí)慣于直接帶入端點(diǎn)值得出其值域,因此對(duì)于給定區(qū)間上的二次函數(shù)值域問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想是非常重要的。
三、數(shù)形結(jié)合在函數(shù)單調(diào)性方面的應(yīng)用
案例:已知 在 上是減函數(shù),求實(shí)數(shù) 的取值范圍。
解析:函數(shù)解析式中含有字母,因此函數(shù)在坐標(biāo)系內(nèi)的具體位置不能固定,需要畫(huà)圖分析,看何種情況才能滿足題干要求:
通過(guò)圖像分析可知:若要滿足函數(shù)在給定區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),只能是后兩種情況,也就是函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸不能出現(xiàn)在所給區(qū)間內(nèi),從而解題找到突破口。 所給函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸方程: ,由圖像分析可知,需有 ,從而 。該類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)于二次函數(shù)中,因其單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)軸的位置有關(guān),故通常畫(huà)圖分析更能直觀得出題目所需情況,從而快速得出結(jié)論。
四、巧用數(shù)形結(jié)合,解決函數(shù)中的疑難問(wèn)題
高中數(shù)學(xué)遇到的函數(shù)問(wèn)題較多,隨著新課改的推行,函數(shù)問(wèn)題考察的內(nèi)容更為廣泛,考察的形式更為靈活,試題的難度系數(shù)越來(lái)越大,有些函數(shù)問(wèn)題只從代數(shù)領(lǐng)域去分析已經(jīng)找不到解題的捷徑了,眾所周知,函數(shù)關(guān)系與圖像是同時(shí)存在的,有時(shí)候還需要借助幾何圖形才能化繁為簡(jiǎn),找到解題的方法。
案例:方程4x2-2x+k=0的一個(gè)根大于-3且小于1,另一個(gè)根大于1且小于3,求k的取值范圍.
【解題過(guò)程】令y=4x2-2x+k,圖像如上
解得之-30 ∴k的取值范圍是-30 新形勢(shì)下,對(duì)于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),其目的不再是對(duì)數(shù)學(xué)定理或者基礎(chǔ)知識(shí)的掌握,而是數(shù)學(xué)解題方法、解題思想和和解題能力的培養(yǎng)。其實(shí),在數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)的過(guò)程中,數(shù)與形是最基本的概念,也可以說(shuō)是其雙腿,兩者是對(duì)立統(tǒng)一,相輔相成的,“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微”,可謂是數(shù)中必有形,形中必含數(shù)。數(shù)形結(jié)合思想就是從數(shù)形兩者的關(guān)系入手,實(shí)現(xiàn)二者對(duì)稱(chēng)信息的轉(zhuǎn)化,實(shí)現(xiàn)以數(shù)助形,以形解數(shù)。 總之,要想提升學(xué)生的解題能力,就必須要學(xué)生樹(shù)立數(shù)形結(jié)合思維,讓學(xué)生換個(gè)角度去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題,這樣才能提升解題效率。函數(shù)圖像還有在其他方面的應(yīng)用,如求方程的近似解、值域等,利用函數(shù)圖像解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于是數(shù)與形的結(jié)合,若要讓學(xué)生能夠靈活應(yīng)用函數(shù)圖像解決實(shí)際問(wèn)題,就必須使學(xué)生熟練掌握常見(jiàn)初等函數(shù)圖像及其性質(zhì),教師要做到對(duì)一些能夠利用圖像解決的問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié),使學(xué)生在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)“有規(guī)可循”、“有據(jù)可依”,以達(dá)到用函數(shù)圖像解題的最佳效果。 【參考文獻(xiàn)】 [1]李楠.淺析數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2013(04) [2]陳綺雯.淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].新課程,2012(11)