淺析行列式

譚森

【摘要】本文主要介紹了行列式的相關(guān)知識(shí)。在理解行列式之前，首先需對(duì)排列的知識(shí)，然后從解多元一次方程組引入行列式。了解行列式的相關(guān)概念和性質(zhì)以及克萊姆法則和拉普拉斯理論的應(yīng)用，本文也對(duì)幾種常見(jiàn)的特殊行列式如范德蒙德行列式作了介紹，并列舉了四種題型進(jìn)行求解。將行列式的知識(shí)應(yīng)用到解決線性代數(shù)問(wèn)題中，學(xué)會(huì)行列式的相關(guān)計(jì)算將會(huì)對(duì)矩陣及其他代數(shù)問(wèn)題有很大的幫助。

【關(guān)鍵詞】行列式;克萊姆;拉普拉斯;范德蒙德

1、準(zhǔn)備知識(shí)

定義1?由組成的一個(gè)有序數(shù)組成為一個(gè)級(jí)排列。

定義2?在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，及前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱(chēng)為一個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱(chēng)為這個(gè)排列的逆序數(shù)。

定義3?逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱(chēng)為偶排列;逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱(chēng)為奇排列。

定理1?對(duì)換改變排列的奇偶性。即經(jīng)過(guò)一次對(duì)換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列。

推論?在全部級(jí)排列中，奇、偶排列的個(gè)數(shù)相等，各有個(gè)。

定理2?任意一個(gè)級(jí)排列與排列都可以經(jīng)過(guò)一系列對(duì)換互變，并且所作變換的個(gè)數(shù)與這個(gè)排列有相同的奇偶性。

2、行列式及相關(guān)名詞的概念

2.1階行列式

階行列式

是所有取自不同行不同列的個(gè)元素成績(jī)的代數(shù)和，它由項(xiàng)組成，其中帶正號(hào)與帶負(fù)號(hào)的項(xiàng)各占一半，表示的逆序數(shù)，當(dāng)是偶排列時(shí)，該項(xiàng)的前面帶正號(hào);當(dāng)是奇排列時(shí)，該項(xiàng)前面帶負(fù)號(hào)，表示對(duì)所有階排列求和。

2.2余子式和代數(shù)余子式

用行或列展開(kāi)公式計(jì)算行列式

其中，，

是中去掉行列元素后的階行列式，稱(chēng)之為的余子式;而給余子式帶有符號(hào)即，則稱(chēng)為的代數(shù)余子式。

3、行列式的性質(zhì)

1. 經(jīng)轉(zhuǎn)置的行列式的值不變，即;
2. 行列式中的某一行各元素如有公因數(shù)，則可以提到行列式符號(hào)外。特別地，若行列式中某行元素全是零，則行列式的值為零;
3. 如果行列式中某行的每個(gè)元素都是兩個(gè)數(shù)的和，則這個(gè)行列式可以拆成兩個(gè)行列式的和;
4. 對(duì)換行列式中某兩行的位置，行列式的值只改變正負(fù)號(hào)。特別低，如兩行元素對(duì)應(yīng)相等（或成比例），則行列式的值是零;
5. 把某行的倍加至另一行，行列式的值不變;
6. 行列式一行（列）元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和必為零，即

;

1. 若是階矩陣，且是矩陣的特征值，則，，;
2. 若是階可逆矩陣，則;
3. 若都是是階矩陣，則;
4. 若矩陣相似，則;

4、幾種特殊的行列式

1. 對(duì)角形行列式：主對(duì)角線以外的元素全為零的行列式稱(chēng)為對(duì)角形行列式
2. 級(jí)范德蒙德（Vandermonde）行列式，對(duì)任意的，級(jí)范德蒙德行列式等于這個(gè)數(shù)的所有可能的差的乘積。

1. 拉普拉斯（Laplace）展開(kāi)式：設(shè)是階矩陣，是階矩陣，則

1. 爪型行列式，如

，對(duì)于爪型行列式把每一行的適當(dāng)倍數(shù)加至第一行可以化為下三角行列式。

5、行列式在線性代數(shù)中的應(yīng)用

1. 當(dāng)時(shí)，齊次方程組有非零解，而此時(shí)的非齊次方程組沒(méi)有唯一解（可能無(wú)解，可能有無(wú)窮多解）。而當(dāng)時(shí)，由克萊姆法則，可求出的唯一解。

1. 可證明矩陣可逆，并可由伴隨矩陣求出
2. 對(duì)個(gè)維向量可通過(guò)計(jì)算行列式是否為零來(lái)判斷它們是否線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)
3. 矩陣的秩是用中非零子式的最高階數(shù)來(lái)定義的
4. 求矩陣的特征值，其中一個(gè)重要方法是通過(guò)計(jì)算
5. 判斷二次型的正定性，可用順序主子式全大于零。

參考文獻(xiàn)：

[1]《高等代數(shù)》[M]王萼芳，石生明?高等教育出版社