感悟不等關(guān)系，建立不等式（組）模型

龔雪霜 仲秀英

不等式（組）是繼方程（組）之后的又一個重要數(shù)學(xué)模型，在學(xué)習(xí)的過程中，我們要結(jié)合具體情境體會不等式的意義，探索不等式的性質(zhì)，并體會探索過程中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，學(xué)會挖掘具體情境中的不等關(guān)系，建立不等式（組）模型解決實(shí)際問題.

一、結(jié)合具體情境，體會不等多的意義

數(shù)量之間既可以相等，也可以不等.在日常生活中我們會發(fā)現(xiàn)，相等關(guān)系只是一種特殊的數(shù)量關(guān)系，不等關(guān)系才是最普遍的數(shù)量關(guān)系，比如從自己身邊找兩名同學(xué)，他們的體重一般不會正好完全相同，中午的溫度一般比早上的溫度高，這些情境中都包含了數(shù)量之間的不等關(guān)系，在數(shù)學(xué)中，我們通常用“>”“<”“≠”等符號來表示不等關(guān)系，用不等號表示數(shù)量關(guān)系的式子就稱為不等式，使不等式成立的未知數(shù)的值叫作不等式的解.例如，按照規(guī)定，每100g某種食品中的防腐劑不能超過0.5g.它的意思就是在100g這種食品中，防腐劑的質(zhì)量小于或等于0.5g.若設(shè)100g這種食品中防腐劑的質(zhì)量為fg，則f≤0.5，所有小于或等于0.5的正數(shù)都是該不等式的符合實(shí)際問題的解，

生活中的不等關(guān)系無處不在，我們要學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、發(fā)現(xiàn)，并嘗試用不等式這樣的數(shù)學(xué)語言來描述，反之，對于具體的不等式，我們也可以結(jié)合具體情境來體會它所表達(dá)的意義.

二、探索不等式的性質(zhì)，感悟不等關(guān)系

我們已經(jīng)知道，在等式的兩邊加上（或減去）同一個數(shù)或式子，乘（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不為0），等式仍成立.那么，不等式是否也有類似的性質(zhì)呢？我們可以采用數(shù)軸法、賦值法、現(xiàn)實(shí)情境法等進(jìn)行探索.在此，我們以數(shù)軸法為例來說明.

設(shè)有不等式a>b，則a>b在數(shù)軸上的幾何意義是，表示數(shù)a的點(diǎn)在表示數(shù)b的點(diǎn)的右側(cè)（如圖1，我們只討論a>b>0的情況，其他情況大家可以類比進(jìn)行探索）.

在不等式a>b的兩邊加上（或減去）同一個數(shù)，會得到什么樣的結(jié)果呢？先假設(shè)不等式兩邊加上（或減去）的這個數(shù)為c.如果c=0，則數(shù)軸上表示a、b的點(diǎn)不動，a±c>6±c；如果c>0，則a+c和b+c就相當(dāng)于在數(shù)軸上將表示a、b的點(diǎn)同時向右平移c個單位長度（如圖2），a-C和b-c就相當(dāng)于在數(shù)軸上將表示a、b的點(diǎn)同時向左平移c個單位長度（如圖3），從而可以得到a±c>b±c：如果c<0（此時一c是一個正數(shù)）.則a+c和b+c分別是a-（-c）和b-（一c）.相當(dāng)于在數(shù)軸上將表示a、b的點(diǎn)同時向左平移一c個單位長度（圖略），a-c和b-c分別是a+（一c）和b+（一c），相當(dāng)于在數(shù)軸上將表示a、b的點(diǎn)同時向右平移一c個單位長度（圖略），從而可以得到a±c>b±c.于是我們得到不等式的性質(zhì)1.

性質(zhì)1：不等式兩邊加上（或減去）同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變，即如果a>b，那么a±c>6±c.

在不等式a>b的兩邊乘（或除以）同一個數(shù)，會得到什么樣的結(jié)果呢？首先，不等式兩邊乘（或除以）的這個數(shù)不能為0（不能同除以0是因?yàn)?不能作除數(shù)，為什么不能同乘0

通過以上探究過程我們可以看出，不等式兩邊加上（或減去）同一個數(shù)或式子，乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變：不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.這個探索過程蘊(yùn)涵了類比思想、分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想等，同學(xué)們要仔細(xì)體會這些數(shù)學(xué)思想，并學(xué)會運(yùn)用它們解決數(shù)學(xué)問題.

三、建立不等式（組）模型， 解決實(shí)際問題

通過以前的學(xué)習(xí)，我們知道利用方程（組）可以解決實(shí)際生活中的相等關(guān)系問題，類似地，利用不等式（組）可以解決生活中的不等關(guān)系問題.利用不等式（組）解決實(shí)際問題，實(shí)質(zhì)上就是從實(shí)際情境中抽象出不等關(guān)系，建立溝通已知數(shù)與未知數(shù)的不等式（組），解不等式（組），然后回到實(shí)際問題進(jìn)行檢驗(yàn)，得到實(shí)際問題的解.具體操作過程見圖6.

下面我們借助實(shí)例來說明.

例1某公司為了擴(kuò)大經(jīng)營，決定購買6臺機(jī)器用于生產(chǎn)某種活塞.現(xiàn)有甲、乙兩種機(jī)器可供選擇，其中每種機(jī)器的價格和每臺機(jī)器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如表1.經(jīng)過預(yù)算，本次購買機(jī)器所用資金不能超過34萬元.

（1）按該公司的要求共有幾種購買方案？

（2）若該公司購買的6臺機(jī)器的日生產(chǎn)總量不能少于380個，那么為了節(jié)約資金應(yīng)選擇哪種購買方案？

解析：（1）第一步，根據(jù)實(shí)際問題尋找不等關(guān)系.

結(jié)合題意，由“不能超過”可知，購買甲、乙兩種機(jī)器所用資金小于或等于34萬元，從而找到不等關(guān)系.

第二步，根據(jù)不等關(guān)系建立不等式（組）.

設(shè)購買甲種機(jī)器x臺（x≥0），則購買乙種機(jī)器（6-x）臺.用含x的代數(shù)式表示出購買兩種機(jī)器所用的資金，根據(jù)前面分析所得的不等關(guān)系，列出不等式7x+5（6-x）≤34.

第三步，求解不等式（組）.

經(jīng)過去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等步驟，解得x≤2.

第四步，根據(jù)問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)不等式（組）的解，從而解決實(shí)際問題.

根據(jù)題意，x表示購買甲種機(jī)器的臺數(shù)，應(yīng)為自然數(shù)，所以x可以取0、1、2.該公司有如下三種購買方案：①不購買甲種機(jī)器，購買乙種機(jī)器6臺；②購買甲種機(jī)器1臺、乙種機(jī)器5臺；③購買甲種機(jī)器2臺、乙種機(jī)器4臺.

（2）方案①所用資金為5x6=30（萬元），新購買機(jī)器日生產(chǎn)總量為60x6=360（個）；

方案②所用資金為7x1+5x5=32（萬元），新購買機(jī)器日生產(chǎn)總量為100×1+60×5=400（個）；

方案③所用資金為7×2+5×4=34（萬元），新購買機(jī)器日生產(chǎn)總量為100×2+60×4=440（個）.

通過比較可知，選擇方案②既能滿足日生產(chǎn)總量不少于380個的要求，又相對節(jié)約資金，故應(yīng)選擇方案②.

同學(xué)們在學(xué)習(xí)本章知識的過程中，要注意體會和感悟不等關(guān)系，學(xué)會在具體情境中提煉不等關(guān)系，建立不等式（組）模型解決實(shí)際問題.