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    “構(gòu)造函數(shù)”在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

    2015-05-30 10:48:04王凱
    高中生學(xué)習(xí)·高二版 2015年5期
    關(guān)鍵詞:構(gòu)造函數(shù)攔路虎王凱

    王凱

    構(gòu)造函數(shù)是處理導(dǎo)數(shù)題的重要方法,也是解決導(dǎo)數(shù)的重要途徑,通過不斷地構(gòu)造函數(shù)把遇到的“攔路虎”一個個地克服掉,最終解決這類問題.通過一題多解讓我們打開思維的閘門,也使我們的思維得到了訓(xùn)練,因此我們在平時練習(xí)中要能夠體會構(gòu)造函數(shù)的數(shù)學(xué)價值.

    例 ?已知函數(shù)[f(x)=lnx-a(x-1)],[a∈R].當(dāng)[x≥1]時,[f(x)]≤[lnxx+1]恒成立,求[a]的取值.

    解法1 ?[f(x)-lnxx+1=xlnx-a(x2-1)x+1],

    令[g(x)=xlnx-a(x2-1)(x≥1),]

    [g(x)=lnx+1-2ax,令F(x)=g(x)=lnx+1-2ax,]

    [F′(x)=1-2axx].

    (1)若[a≤0,][F′(x)>0,][g′(x)]在[[1,+∞)]上遞增,[g′(x)≥g′(1)=1-2a>0,]

    [∴g(x)在[1,+∞)上遞增,g(x)≥g(1)=0].[f(x)≥lnxx+1.]

    (2)若[00,]

    [∴g(x)]在[(1,12a)]上遞增,[g(x)≥g(1)=0.][f(x)≥lnxx+1.]

    (3)[若a≥12,F(xiàn)(x)≤0在1,+∞上恒成立,]

    [∴g(x)在[1,+∞)上遞減,g(x)≤g(1)=1-2a≤0].

    [∴g(x)在[1,+∞)上遞減,g(x)≤g(1)=0,f(x)-lnxx+1≤0.]

    [綜上所述,a的取值范圍是 12,+∞].

    解法2 ?[當(dāng)x≥1時,f(x)≤lnxx+1恒成立等價于][lnx-][lnxx+1≤a(x-1)].

    [令h(x)=lnx-lnxx+1=xlnxx+1, g(x)=a(x-1)],

    [h(x)=x+1+lnx(x+1)2, ]

    [∵x≥1, ][∴h(x)>0,即h(x)在1,+∞上是增函數(shù).]

    [g(x)=a,∵當(dāng)a>0時,∴g(x)在1,+∞上是增函數(shù).]

    [又∵h(yuǎn)(1)=g(1)=0],

    [∴h(x)≤g(x)(x≥1)恒成立,只需h(1)≤g(1)].[即12≤a.]

    解法3 ?[當(dāng)x≥1時,f(x)≤lnxx+1恒成立等價于lnx-][lnxx+1≤a(x-1)],

    [(1)當(dāng)x=1時,顯然恒成立,∴a∈R].

    [(2)當(dāng)x>1時,] [上式等價于lnxx-1+lnxx2-1≤a]

    [?lnxx-1+lnxx2-1max≤a.]

    [令F(x)=lnxx-1+lnxx2-1,則F(x)=x2-1-lnx-x2lnx(x2-1)2].

    [令g(x)=x2-1-lnx-x2lnx,則g(x)=x2-1-2x2lnxx].

    [令h(x)=x2-1-2x2lnx,則h(x)=-4xlnx].

    [∵x>1,∴h(x)<0,那么h(x)在(1,+∞)上是減函數(shù).∴h(x)

    [∴g(x)<0,有g(shù)(x)

    [∴F(x)≤limx→1+F(x)=limx→1+(xlnx)(x2-1)=limx→1+1+lnx2x=12,即12≤a.]

    [綜上所述,a的取值范圍是12,+∞.]

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