單導(dǎo)體棒在雙軌上滑動問題分析

邢洪明

[摘要]單導(dǎo)體棒在雙軌上滑動（問題）涉及電磁感應(yīng)、歐姆定律、運動學(xué)及動力學(xué)等知識，學(xué)生對這類問題進(jìn)行分析解答時常感到難以下手。由于這類問題涉及的知識點多，分析難度大，在實際教學(xué)中，教師也常易出現(xiàn)顧此失彼的現(xiàn)象。為了便于教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)，本文對單導(dǎo)體棒在磁場中運動問題進(jìn)行分類分析。

[關(guān)鍵詞]有源回路無源回路力和運動功能視角

[中圖分類號]G633.7[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2015）140000

單導(dǎo)體棒在磁場中切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，若回路閉合，則產(chǎn)生感應(yīng)電流。導(dǎo)體棒在磁場中運動時，因受安培力作用而使導(dǎo)體棒的運動發(fā)生變化，同時產(chǎn)生不同形式的功和能之間的轉(zhuǎn)換。從能量轉(zhuǎn)化角度看，一是將其他形式的能轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體棒的機械能和閉合回路的焦耳熱，二是消耗導(dǎo)體棒的機械能，轉(zhuǎn)為閉合回路的焦耳熱。

安培力與磁場強度、電流強度、導(dǎo)體棒的有效切割長度有關(guān)。導(dǎo)體棒切割運動速度影響通過導(dǎo)體的電流，進(jìn)而影響導(dǎo)體棒所受的安培力。但反過來導(dǎo)體棒所受的合外力又影響導(dǎo)體棒的運動速度，在這樣的相互作用下，導(dǎo)體棒的運動趨向一種相對穩(wěn)定的狀態(tài)。在實際教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析清楚這一變化過程，這樣能有效提高學(xué)生的分析能力和解決實際問題的能力。導(dǎo)體棒在磁場中的運動問題可分為導(dǎo)體棒所在回路有源和無源兩類，本文從以下幾方面作些分析探討。

一、有源和無源回路比對分析

依據(jù)導(dǎo)體棒受力情況來分，我們可將導(dǎo)體棒在雙軌上的運動問題分為導(dǎo)體棒受外力和不受外力作用兩種情況。

二、實例分析

1.有源和無源回路中導(dǎo)體棒受外力作用對比分析

【例1】如圖1所示，甲圖中的電容器C原來不帶電，除電阻外，其余導(dǎo)體的電阻均不計，光滑且足夠長的導(dǎo)軌水平放置，現(xiàn)給導(dǎo)體棒ab水平向右的初速度v，則甲、乙、丙三種情形下，ab棒最終的運動狀態(tài)是（ ）。

圖1

A.三種情形下導(dǎo)體棒ab最終均做勻速運動

B.甲、丙中導(dǎo)體棒ab最終將以不同的速度做勻速運動，乙中導(dǎo)體棒ab最終靜止

C.甲、丙中導(dǎo)體棒ab最終將以相同的速度做勻速運動，乙中導(dǎo)體棒ab最終靜止

D.三種情形下導(dǎo)體棒ab最終均靜止

【認(rèn)知困惑點分析】

1.三幅圖中導(dǎo)體棒均因平動切割磁感線產(chǎn)生電動勢，而消耗導(dǎo)體棒的機械能——轉(zhuǎn)化為閉合回路的電能。認(rèn)知困惑點是如何判定圖（丙）中感生電動勢和原電源提供電壓的疊加關(guān)系。

2.圖（甲）是含容電路，電容器兩極板之間的絕緣電介質(zhì)使電路處于斷路，但由于導(dǎo)體棒運動速度變化使平動切割產(chǎn)生的電動勢不斷改變，實現(xiàn)對電容器充或者放電，形成了充或者放電電流，電路好像處于“閉合”狀態(tài)。判斷甲圖中是否有電流是此問題的難點。

3.導(dǎo)體棒趨向穩(wěn)態(tài)過程中消耗的機械能轉(zhuǎn)化為何種形式的能是求解本題的關(guān)鍵，也是對比分析純電阻電路和含容電路的重點。

[基金項目]

本文系山東省教學(xué)研究十二五重點課題《關(guān)于“標(biāo)準(zhǔn)”和認(rèn)知心理下的有效構(gòu)建的教學(xué)設(shè)計研究》（課題編號：在zd20130085）階段性成果。

解析：圖甲中ab棒以v速度向右運動，切割磁感線產(chǎn)生動生電動勢E=BLv，由右手定則判斷Ua>Ub。對電容器充電形成了充電電流i=Δq/Δt，金屬棒受到向左的安培力F安=BLΔq/Δt作用，而做減速運動，產(chǎn)生的電動勢E=BLv隨速度減小而減小，當(dāng)導(dǎo)體棒產(chǎn)生

的感生電動勢與電容的充電電壓相等時，電路中沒有電流，導(dǎo)體棒也不再受安培力作用，此時，導(dǎo)體棒做勻速直線運動，終態(tài)時v

從功能角度看 ：充電電流流經(jīng)閉合回路，使導(dǎo)體棒受到安培力作用，消耗的機械能轉(zhuǎn)化為電容器儲存的電能和充電電流流進(jìn)閉合回路時產(chǎn)生的焦耳熱。

圖乙中，ab棒向右運動切割磁感線，產(chǎn)生動生電動勢E=BLv，Ua>Ub。閉合回路產(chǎn)生感應(yīng)電流I=BLvR+r，導(dǎo)體棒受安培力F安=B2L2vR+r，作用做加速度減小，速度減小的變減速運動，最終停下來。從功能角度講是消耗的機械能轉(zhuǎn)化為閉合回路的焦耳熱。

圖丙中，涉及外電源供電和導(dǎo)體棒平動切割產(chǎn)生電動勢。因?qū)w棒向左或向右運動方向的差異而出現(xiàn)正向和反向電動勢的差別。對于圖示中的向右運動，E總=E外+BLv，導(dǎo)體棒受到向后

F安=BLE+BLvR+r

作用而做減速運動，直至停下來。在這一過程中消耗的機械能轉(zhuǎn)化為閉合回路焦耳熱的一部分（還有電源提供的電能轉(zhuǎn)化為另一部分焦耳熱）。電源向外電路供電，導(dǎo)體棒又開始向左做加速運動，當(dāng)外部電源提供的電壓U路=RR+rE

和加速后平動切割產(chǎn)生的反電動勢E′=BLv相等時，導(dǎo)體棒以v=RBL（R+r）E做勻速直線運動，所以答案選B。

2.無源回路中導(dǎo)體棒受外力作用問題分析

無源回路中導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上受外力作用，做切割磁感線運動，若回路閉合，則有感應(yīng)電流，導(dǎo)體棒受F安作用，從而改變導(dǎo)體棒的加速度，關(guān)聯(lián)性制約使得導(dǎo)體棒最終趨向穩(wěn)定的狀態(tài)，通過外力做功使得外部其他形式的能量發(fā)生轉(zhuǎn)化。

圖2

【例2】如圖2所示，兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L。導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器，電容為C。導(dǎo)軌處于勻強磁場中，磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面。在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，棒可沿導(dǎo)軌下滑，且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g，忽略所有電阻。讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開始下滑，求：

（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系;

（2）金屬棒的速度大小隨時間變化的關(guān)系。

【認(rèn)知困惑點分析】

1.電容器在電路中“隔直流通交流”，無法組成穩(wěn)恒直流通路，所以不少學(xué)生認(rèn)為導(dǎo)體棒切割磁感線運動，“有勢無流”，故導(dǎo)體棒不受F安作用，只有重力做功，誤認(rèn)為沿光滑軌道做a=gsinθ的勻加速直線運動。

2.沒有認(rèn)清導(dǎo)體棒運動切割產(chǎn)生變化的電動勢對電容器持續(xù)性充電，形成充電電流這一事實，誤將直流通路中I=E/R的計算認(rèn)定為唯一計算電流的方式，缺少了i=Δq/Δt，致使表征F安時依然用直流通路電流來表征，錯誤使用F安=B2L2vR+r

來計算，結(jié)果造成了無法找到電阻R，而出現(xiàn)求解困難;

3.導(dǎo)體棒趨向穩(wěn)態(tài)過程中消耗的機械能向何種形式的能轉(zhuǎn)化，是求解本題的關(guān)鍵，也是對比分析純電阻電路和含容電路的要點。從本題解析可以看出，導(dǎo)體棒下滑過程中減少的重力勢能轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體棒的動能、電容器儲存的電能和電流產(chǎn)生的焦耳熱。

解析：導(dǎo)體棒PQ在重力作用下沿光滑導(dǎo)軌下滑，切割磁感線運動產(chǎn)生電動勢，由右手定則判定可知UQ>UP，產(chǎn)生的電動勢全部加在電容器兩極板上U=E=BLv;

∵C=qU=qBLv，∴q=CBLv

對電容器充電形成充電電流：i=Δq/Δt=CBLv/t

分析導(dǎo)體棒受力可得：mgsinθ-B2L2Ctv-μmgcosθ=mv/t

解得：v=mg（sinθ-μcosθ）m+B2L2Ct

含容電路中因?qū)w棒切割磁感線運動產(chǎn)生變化的電動勢，對電容器持續(xù)充電形成充電電流，當(dāng)充電電流流進(jìn)閉合回路時，導(dǎo)體棒受安培力作用而做負(fù)功，這一部分能量轉(zhuǎn)化為電阻的焦耳熱。對電容器充電使得電容器儲存的電能不斷增加，因此導(dǎo)體棒減少的機械能轉(zhuǎn)化為電路的焦耳熱和電容器儲存的電能。

【引申探究】如果在電容器兩端并聯(lián)一個電阻，電路將成為直流通路和含容電路的充電通路，這也因此使得導(dǎo)體棒減少的機械能轉(zhuǎn)化為閉合回路的焦耳熱和電容器的電能，這兩種形式能量轉(zhuǎn)化的途徑是克服安培力做功來實現(xiàn)的。

圖3

【例3】如圖3所示，在光滑裸導(dǎo)軌的左端接一定值電阻R，在R的右端并聯(lián)一個電容為C的電容器，導(dǎo)體棒ab在恒力F的作用下向右勻速運動，勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為B，試判定該導(dǎo)體棒克服安培力所做的功能否等于回路中產(chǎn)生的焦耳熱？

解析：導(dǎo)體棒勻速運動產(chǎn)生恒定的電動勢，在由定值電阻組成的閉合回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流I=BLv/R，電流通過電阻時，電流所做的功為Q=I2Rt。

感生電動勢加在電容器兩端，電容器充電后儲存的電場能EC=12CU2=12qU。

導(dǎo)體棒勻速運動時，F(xiàn)=F安=B2L2v/R

，在勻速運動的過程中流經(jīng)導(dǎo)體棒的電流為I=BLv/R，在電容器充電階段，導(dǎo)體棒中的電流為iab=（E/R）+i充電，從能量守恒角度講WF=ΔQ+ΔEC。

（責(zé)任編輯易志毅）