巧妙引入?yún)?shù)，求解平面向量問(wèn)題

胡彬

我們知道引入?yún)?shù)可以構(gòu)造函數(shù)、方程及不等式，并且通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、方程及不等式可以解決求值及求范圍問(wèn)題，而在這其中常用到待定系數(shù)法。平面向量中的向量平行、三點(diǎn)共線、點(diǎn)的軌跡、最值問(wèn)題都可以利用待定系數(shù)法，從而轉(zhuǎn)化為方程求解。

一、三點(diǎn)共線背景下引入?yún)?shù)

例1 如圖1，向量，設(shè)M是直線OP上的一點(diǎn)（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）。

（l）求使取最小值時(shí)的。

（2）對(duì)（1）中求出的點(diǎn)M，求∠AMB的余弦值。

分析：M是直線OP上的一點(diǎn)，可設(shè)，并將表示成λ的函數(shù)。

解：（l）因?yàn)镺，P，M三點(diǎn)共線，所以設(shè)，則，當(dāng)λ=2時(shí)，取最小值，這時(shí)

（2）由，可得

點(diǎn)評(píng)

上述解法的“點(diǎn)睛”之處就是根據(jù)O，P，M三點(diǎn)共線引入?yún)?shù)λ，將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ的函數(shù)20λ+12，從而可以利用函數(shù)求最值。

二、平面向量基本定理背景下引入?yún)?shù)

例2

如圖2，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN一2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP：PM的值。

分析：選擇一組適當(dāng)?shù)南蛄孔骰?，用這組基底可表示平面內(nèi)的有關(guān)向量，再由向量共線條件列出等式，用待定系數(shù)法求解。

因?yàn)锽C和AC上有已知分點(diǎn)，所以選向量BM和CN為一組基底。

解：設(shè)，則

因?yàn)辄c(diǎn)A，P，M和點(diǎn)B，P，N分別共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，μ使得

所以

又，所以由平面向量基本定理得，所以，即AP：PM=4：1。

點(diǎn)評(píng)

基底建模是向量法解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，其關(guān)鍵在于選取的基底是否合適，選好基底就是邁出了成功的第一步。

三、點(diǎn)的軌跡背景下引入?yún)?shù)

例3 平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3，1），B（-1，3），若點(diǎn)C滿足，其中a，β∈R，a+β=l，則點(diǎn)C的軌跡方程為（）。

A.3x+2y-ll=0

C.2x-y=O

D.x+2y-5=0

分析：求軌跡方程的基本思路就是設(shè)點(diǎn)列方程。由題設(shè)條件“點(diǎn)C滿足，其中a，β∈R，a+β=l”，可知點(diǎn)C的軌跡為一條直線，即A，B，C三點(diǎn)共線。利用方程a+β=l把點(diǎn)C（x，y）的坐標(biāo)聯(lián)系在一起，即可得到點(diǎn)C的軌跡方程。

解：設(shè)。由（3a-β，a+3β），可得（x，y）=（3a-β，a+3β）. 所以，解得

因?yàn)棣?β=1，所以x+2y-5=0，應(yīng)選D。

點(diǎn)評(píng)

上述解法體現(xiàn)了向量法和坐標(biāo)法的相互關(guān)系及轉(zhuǎn)換方法。由本題可得到一個(gè)一般性的結(jié)論：若點(diǎn)C滿足，其中α，β∈R，α+β=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為過(guò)A，B的一條直線。